帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題例析

1、帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題例析湖北省恩施高中 陳恩譜名師指路為L,板不帶電.現(xiàn)有質里為m、電何量為q的帶正電粒子（不計重力），從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可米用的辦法是a .使粒子的速度v<BqLB使粒子的速度5BqL v> / 4mc 使粒子的速度v>BmLD使粒子的速度BqL5BqL<v< 4m4m例1:如圖所示，長為 L的水平極板間有垂直于紙面向內的勻強磁場，磁感應強度為B，板間距離也XX* * 片左 聲+?LB北 七 斗 七”【思維導引】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之一，所有這些問題，

2、其答題通 用步驟是：第一步，找出軌跡圓圓心所有可能的位置，第二步，按一定順序盡可能多地作不同圓心對 應的軌跡圓（一般至少 5畫個軌跡圓），第三步，根據所作的圖和題設條件，找出臨界軌跡圓，從而抓 住解題的關鍵點，利用臨界軌跡圓，結合幾何關系，算出對應的軌跡半徑，進而計算相應的速度或者磁 感應強度、時間等?！疽c提醒】 入射點和入射方向已知，入射速度大小不確定一一這類問題的特點是：所有軌跡圓圓心均在過入射點、垂直入射速度的同一條直線上?！臼职咽帧?粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子軌跡圓圓心均在垂直初速度的直線上，根據 左手定則，判斷出圓心在直線的哪一側，然后作出該垂線（如圖甲）。X'

3、;圖甲圖乙【手把手】 在該直線上從下往上取不同點為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡圓和為臨界軌跡圓。軌道半徑小于軌跡圓或大于軌跡圓的粒子，均可射出磁場而不打在極板 上?！疽c提醒】 作圖時注意只畫在磁場中的圓弧部分（磁場中的軌跡），磁場外的圓弧部分不能畫因為粒子在磁場外將做直線運動或其他運動，而且作多了還會遮蔽問題，影響對問題的判斷。【手把手】 在答題卡上答題時，只需將最終需要兩條臨界軌跡作在圖上，然后利用幾何知識計算出臨界軌跡圓的半徑，結合半徑公式即可算出臨界速度，最后給出速度允許的范圍。 【解答】AB（1）粒子擦著板從右邊穿出時，圓心在 0點，由幾何關系，有ri2=

4、L2+ （ 2）2得普由ri =晉得vi =警Bq4m所以v>5BqL時粒子能從右邊穿出.4m（2） 粒子擦著上板從左邊穿出時，圓心在0點，由幾何關系，有L2=4 mv2 BqL2 Bq '得 v2- 4m所以v<BqL4m時粒子能從左邊穿出.【解后反思】 本題容易漏選 A，出錯的原因是作軌跡圓時，沒有 將r先取較小值再逐漸增大，從而未 分析出粒子速度較小 一一軌跡半徑較小時，還可以從磁場左邊界穿出的情況。例2 :如圖所示，在OWxa 0< yW范圍內有垂直手 xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。2坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質量為 m、電荷量

5、為q的帶 正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內，與y軸正方向的夾角分布在090°范圍內。己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經歷的時間恰好為粒子在磁場中 做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的（1）速度的大??；速度方向與y軸正方向夾角的正弦?！舅季S導引】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之二，所有這些問題，其答題通用步驟是：第一步，找出軌跡圓圓心所有可能的位置，第二步，按一定順序盡可能多地作不同圓心對 應的軌跡圓（一般至少 5畫個軌跡圓），第三步，根據所作的圖和題設條件，找出臨界軌跡圓

6、，從而抓 住解題的關鍵點，利用臨界軌跡圓，結合幾何關系，算出對應的軌跡半徑，進而計算相應的速度或者磁 感應強度、時間等?！疽c提醒】 入射點和入射速度大小確定，但入射方向不確定一一這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在一個“以入射點為圓心，以為半徑的圓”上一一即所謂“圓心圓”上。【手把手】本題給定的情形是粒子軌道半徑r大小確定但初速度方向不確定，所有粒子的軌跡圓都要經過入射點O,入射點O到任一圓心的距離均為 r，故所有軌跡圓的圓心均在一個“圓心圓”一一以入射點O為圓心、r為半徑的圓周上；作出該圓心圓（如圖甲）。圖乙這和前一個題型要求“半徑從【要點提醒】考慮到粒子是向右偏轉，我們從最左邊的軌跡圓

7、畫起 小逐漸取大”是同樣的目的：避免打亂仗和漏掉其中一種情況?！臼职咽帧?取“圓心圓”上不同點為圓心、r為半徑作出一系列圓，如圖乙所示；其中，軌跡對應弦長大于軌跡對應弦長 一一半徑一定、圓心角都較小時（均小于180°,弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運動時間越長?！臼职咽帧?最后一個離開磁場的粒子在磁場中運動時間最長，由題意，該粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一，其圓心角為90°由前述分析可知，軌跡對應圓心角為90°【手把手】最后將軌跡作在答題卡的題圖上，利用幾何關系 求出該臨界軌跡圓的半徑，進而求解速度的大小和方向?！窘獯稹吭O粒子的發(fā)射速度為 v,粒子做圓周

8、運動的軌道半徑 為R,根據牛頓第二定律和洛倫茲力得：2v qvB = mC解得:mvqBR當a/2<R<a時，在磁場中運動的時間最長的粒子，其軌跡是圓心為 C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切，如圖所示，設該粒子在磁場中運動的時間為t,依題意，t=T/4時，/ OCA=n /2設最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為 a,由幾何關系得：aRsin： =R , Rsin： =a-Rcos：2 sin2 二-cos :- =1解得：R = (2 6)a, v=(2- '6)aqB, sin ：二22 m【解后反思】本題容易出現(xiàn)由于作圖不仔細而把握不住6- -610“軌跡對應

9、弦長大于軌跡 對應弦長一一半 ”的錯誤， -一按粒子徑一定、圓心角都較小時(均小于180°,弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運動時間越長從而誤認為軌跡對應粒子在磁場中運動時間最長。應對這種失誤的辦法是：按一定順序作圖 偏轉方向移動圓心作圖?！纠?】如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于xOy平面向外，大小為B，沿x軸放置一個垂直于 xOy平面的較大的熒光屏，P點位于熒光屏上，地沿平面內的不同方向以大小不等的速度放射出質量為 種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，已知OA = 0P= I,求:(1 )若能打到P點，則粒子速度的最小值為多少？(2)

10、若能打到P點，則粒子在磁場中運動的最長時間為多少？【思維導引】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之三，所有這些問題，其答題通 用步驟如前文所述?！疽c提醒】 已知入射點和出射點，但未知初速度大小(即未知半徑大小)和方向一一這類問題的特 點是：所有軌跡圓圓心均在入射點和出射點連線的中垂線上?！臼职咽帧苛Ｗ蛹冉涍^A點又經過P點，因此 線上，作出該直線 OM (如圖甲)。在y軸上的A點放置一放射源，可以不斷m、電荷量+q的同P點處在亮線上， fl AP連線為粒子軌跡圓的一條弦，圓心必在該弦的中垂【手把手】在OM上取不同點為圓心、以圓心和A點連線長度為半徑由小到大作出一系列圓(如圖乙)，

11、 其中軌跡對應半徑最小，而軌跡對應粒子是點上方軌道半徑最大的，由圖可知其對應圓心角也最大。【手把手】 將軌跡和作在答題卡上，然后有幾何關系得出軌跡半徑和圓心角，算出對應的速度和 時間?！敬鸢浮?1) v2qBl ,(2)上=四2m2qB【解答】(1)粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，設粒子的速度 大小為v時，其在磁場中的運動半徑為R，則由牛頓第二定律有：v2qvB = m R若粒子以最小的速度到達 P點時，其軌跡一定是以 AP為直徑的圓(如圖中圓Oi所示）由幾何關系知：Sap=、21則粒子的最小速度2qB12m（2）粒子在磁場中的運動周期 T= 2艮=2測v qB弁A設粒子在磁場中運動時其

12、軌跡所對應的圓心角為0,則粒子在磁場中的運動時間為：t=T=2 n qB由圖可知，在磁場中運動時間最長的粒子的運動軌跡如圖中圓。2所示，此時粒子的初速度方向豎直向3上，則由幾何關系有：- 3 n2則粒子在磁場中運動的最長時間：t = 3燈2qB【解后反思】注意作好入射點和出射點連線的中垂線后，作軌跡圓時半徑一定要由小到大取至少五個不同的值，這樣才能領會到題意所需的臨界軌跡。本題容易出錯在把最小半徑當做是OA=I，這是因為作圖不夠多，且分析不到位所致一一以AP為弦的所有圓周中，以 AP為直徑的圓周半徑是最小的 。O v解題咼手【例1】在xOy平面上的某圓形區(qū)域內，存在一垂直紙面向里的勻強磁 場，

13、磁感應強度大小為 B.個質量為m、帶電量為+q的帶電粒子，由原點 O 開始沿x正方向運動，進入該磁場區(qū)域后又射出該磁場；后來，粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30° （如圖所示），已知P到O的距 離為L,不計重力的影響。（1 ）若磁場區(qū)域的大小可根據需要而改變，試求粒子速度的最大可 能值；（2）若粒子速度大小為 -qBL，試求該圓形磁場區(qū)域的最小面積。6m【提示】 本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之四：已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大?。次粗壍腊霃酱笮。?這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延長線形成的角的角平分線上。初

14、、末速度所在直線必定與粒子的軌跡圓相切，軌跡圓圓心到兩條直線 的距離（即軌道半徑）相等，因此，圓心必位于初、末速度延長線形成的角的角平分線QC上（如圖甲）;在角平分線QC上取不同的點為圓心，由小到大作出一系列軌跡圓（如圖乙），其中以C點為圓心軌跡是可能的軌跡圓中半徑最大的，其對應的粒子速度也最大。圖甲圖乙【解答】過P點作末速度所在直線，交x軸于Q點，經分析可知，粒y子在磁場中作圓周運動的軌跡的圓心必在.OPQ的角平分線QC上，如圖甲所示。設粒子在磁場中作勻速圓周運動的軌道半徑為r，則由牛頓第二定律，有2v qvB 二 m一 rmvr :qB由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度

15、 最大的粒子在磁場中運動軌跡的圓心是y軸上的C點。（1）如圖丙所示，速度最大時粒子的軌跡圓過0點、且與PQ相切于A點。由幾何關系有 0Q= Lan3p 口 =OQtan30“，可得r-3由、求得v =qBL 3m（2 ）將v代入式，可得2，粒子的運動軌跡是6m6如圖丁所示的軌跡圓 ，該軌跡圓與x軸相切于D點、與PQ相切于E點。連接DE,由幾何關系可知DE 二、3r2由于D點、E點必須在磁場內，即線段 DE在磁場內，故可知磁場面積最小時必定是以DE為直徑（如圖丁中 所示）。即面積最小的磁場半徑為則磁場的最小面積為R J DE2tR2n 248【例2】如圖所示，長方形 abed的長ad=0.6m,

16、寬ab=0.3m, 0、e分別是ad、 be的中點，以e為圓心eb為半徑的圓弧和以0為圓心0d為半徑的圓弧組成的區(qū)域內有垂直紙面向里的勻強磁場（eb邊界上無磁場）磁感應強度B=0.25T。一群不計重力、質量 m=3X10-7kg、電荷量q=+2 X1O-3C的帶正電粒子以速度 v=5 xi02m/s沿垂 直ad方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是（）A. 從0d邊射入的粒子，出射點全部分布在0a邊B. 從a0邊射入的粒子，出射點全部分布在ab邊C. 從0d邊射入的粒子，出射點分布在ab邊D. 從ad邊射人的粒子，出射點全部通過b點【提示】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大

17、類型之五：已知初速度的大?。匆阎?道半徑大小）和方向，但入射點不確定.這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在將入射點組成的邊界沿 垂直入射速度方向平移一個半徑距離的曲線上。【解答】所有進入磁場的粒子的入射點均在d0b線上，將該曲線垂直速度向上平移一個半徑r =空后得到曲線0af,此即所有粒子在磁場中做圓周運動的圓心所在曲線，在該曲線上從下到上取點作為圓心mvr =為半徑作一系列軌跡圓，其中 為從d點射入粒子的軌跡（圓心在 o點）,為從o點射入粒子qB的軌跡（圓心在a點），為從a點射入粒子的軌跡，從 d、O之間入射粒子在磁場中轉過 1/4圓周后沿eb 邊界作直線運動最終匯聚于 b點，從O、a

18、之間入射粒子先作直線運動再進入磁場做圓周運動，由作圖易 知這些粒子也匯聚于 b點。f打就 u x4 X|<【答案】D【例3】如圖所示，現(xiàn)有一質量為m、電量為e的電子從y軸上 的P（ 0，a）點以初速度v0平行于x軸射出，在y軸右側某一圓形區(qū) 域加一垂直于xoy平面向里勻強磁場，磁感應強度大小為 B.為了使 電子能從x軸上的Q（ b，0）點射出磁場。試求滿足條件的磁場的 最小面積，并求出該磁場圓圓心的坐標?！咎崾尽勘绢}是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類 型之六：已知初速度方向（所在直線）和出射點，但入射點不確定 這類問題的特點是： 所有軌跡圓的圓心均在 以初速度所在直線為準 線、出

19、射點為焦點的拋物線”上。-【解答】本題中，電子初速度所在直線已知，電子進入磁場的入射點在該直線上，則可知電子在磁場 中作圓周運動的軌跡圓與該直線相切、且經過Q點，所以電子軌跡圓圓心到該直線和到Q點的距離相等,即電子軌跡圓圓心在以該直線為準線、Q點為焦點的拋物線上。在該拋物線上從左向右去不同點為圓心，做出一些列軌跡圓，可以看出所有這些軌跡中軌跡所需圓12 a【答案】n , （ b,）42練習【練習1】兩平面熒光屏互相垂直放置， 為原點，如圖所示。在 y>0, 0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強 磁場，在y>0，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強磁場，兩區(qū)域內 的

20、磁感應強度大小均為 B。在O點處有一小孔，一束質量為m、帶電量為q （q>0 ）的粒子沿x軸經小孔射入磁場，最后打在豎直和水 平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值 之間的各種數值.已知速度最大的粒子在 0<x<a的區(qū)域中運動的時間 與在x>a的區(qū)域中運動的時間之比為 2: 5,在磁場中運動的總時間 為7T/12，其中T為該粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中作圓周運動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的范圍（不計重力的影響）。在兩屏內分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點OXXXX1 E1b:*b*9XXEh*XXkLfl1XX& _ V4y

21、【提示】本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之一，入射點和入射方向已知，入射 速度大小不確定 一一這類問題的特點是：所有軌跡圓圓心均在過入射點、垂直入射速度的同一條直線上。小2/32a 到 x = 2a a3在垂直初速度的直【答案】豎直屏上發(fā)亮的范圍從0到2a，水平屏上發(fā)亮的范圍從【解答】 粒子在0<x<a的區(qū)域中的運動屬于初速度方向已知、 線（即y軸）上取不同點為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓相切，為能打到y(tǒng)軸上的粒子中軌道半徑最大的；若粒子軌道半徑大于軌跡圓由對稱性可知，粒子在 x>a的區(qū)域內的軌跡圓圓心均在在x=2a直線上，在半徑由小取到大，可作出一系列

22、圓（如圖乙） 的速度最大的粒子的軌跡。大小不確定的情況, （如圖甲），其中軌跡圓與直線x=a ，粒子將進入x>a的區(qū)域, x=2a直線上取不同點為圓心， ，其中軌跡圓 '為半徑最小的情況，軌跡圓 為題目所要求X'yaa圖甲2a圖乙mv - rqB速度小的粒子將在 x<a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在粒子在磁感應強度為 B的勻強磁場中運動半徑為:屏上發(fā)亮的范圍從0到 2a。軌道半徑大于a的粒子開始進入右側磁場，考慮 r=a的 極限情況，這種粒子在右側的圓軌跡與 x軸在D點相切（虛 線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。速度最大的粒子的軌跡如圖中實

23、線所示，它由兩段圓弧 組成，圓心分別為x=2a直線上。設ti為粒子在 區(qū)域中運動的時間，C和C ', C在y軸上，有對稱性可知C'在主-2 t tti t2t25由式和對稱性可得0<x<a的區(qū)域中運動的時間，t2為在x>a的 由題意可知7T12y軸上，半徑的范圍從0到a，7由此解得：tT6OCM =60ti5T"12MC' N 60MC'P= 3 6 01 5 所以.NC'P =150 - 60 =9012即弧長NP為1/4圓周。因此，圓心 C'在x軸上。設速度為最大值粒子的軌道半徑為R,有直角 COC'可得2

24、Rsin60 =2aR=乙3 a x = 2a 壬 a33由圖可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標【易錯提醒】 本題容易把握不住隱含條件 一一所有在x>a的區(qū)域內的軌跡圓圓心均在在x=2a直線上,從而造成在x>a的區(qū)域內的作圖困難；另一方面，在x>a的區(qū)域內作軌跡圓時，半徑未從軌跡圓半徑開始取值，致使軌跡圓 '未作出，從而將水平熒光屏發(fā)亮范圍的左邊界坐標確定為 【練習2】如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內充滿方向垂直紙面向里的、磁感應強度為 B的勻強磁場。在t=0時刻，一位于ad邊中點0的粒子源在a-111x=a。xxxbxabcd平面內發(fā)射出大量的

25、冋種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相冋，方11111向與Od邊的夾角分布在0180°范圍內。已知沿Od方向發(fā)射的粒子在t=t0*xxxx時刻剛好從磁場邊界cd上的p點離開磁場，粒子在磁場中做圓周運動的半=111徑恰好等于正方形邊長 L,粒子重力不計，求：1xxxx11（1）粒子的比荷q/m；11ixxx11x（2）假設粒子源發(fā)射的粒子在0180范圍內均勻分布，此時刻仍在i11磁場中的粒子數與粒子源發(fā)射的總粒子數之比；dpc（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間?！咎崾尽勘绢}是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之二，入射點和入射速度大小確定， 但入射方向不確定 一一這類問

26、題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在一個以入射點為圓心，以為半徑的圓 ”上一一即所謂圓心圓”上。【答案】 9=_，5/6，（arcsi-）t0m 6Bt0二4【解答】以L為半徑、O點為圓心作圓心圓”（如圖甲）；由于粒子逆時針偏轉，從最下面的軌跡開始 畫起（軌跡），在圓心圓”取不同點為圓心、以 L為半徑作出一系列圓（如圖乙）；其中軌跡與軌跡 對稱，在磁場中運動時間相同；軌跡并不經過c點，軌跡對應弦長短于軌跡 對應弦長一一即沿軌跡運動的粒子最后離開磁場。a1 JI*11 /；1l-* 、 * f11xxxxr1141 1r11I7Ji1 '01彳/xxx1刖x9lO'iiiiI41l1

27、11r xxxx1H1111 1t11ii1xxxx111 *IIJIId_pcIO4-.O3a -XO01xxPbx圖甲圖乙(1)初速度沿Od方向發(fā)射的粒子在磁場中運動的軌跡如圖，其園心為On p, t0 6 12粒子做圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，根據牛頓第二定律得n,由幾何關系有:Bqv = m(*)2R,q _ 二m 6Bt02RPO為依題意，同一時刻仍在磁場中的粒子到O點距離相等。在t0時刻仍在磁場中的粒子應位于以園心，Op為半徑的弧pw上。pO= 6由圖知此時刻仍在磁場中的粒子數與總粒子數之比為5/6(3)在磁場中運動時間最長的粒子的軌跡應該與磁場邊界.e<5sin2b點相

28、交,設此粒子運動軌跡對應的圓心角為9,則在磁場中運動的最長時間et T2 :V512arcs in - 4tL0YaO(12arcsin 5)t0。-4【易錯提醒】本題因作圖不認真易錯誤地認為軌跡經過c點，認為軌跡對應弦長等于軌跡 對應弦長，于是將軌跡 對應粒子作為在磁場 中運動時間最長的粒子進行計算；雖然計算出來結果正確，但依據錯誤?！揪毩?】如圖所示，xOy平面內存在著沿y軸正方向的勻強電場.一 個質量為m,帶電荷量為+ q的粒子從坐標原點 O以速度v0沿x軸正方向 開始運動當它經過圖中虛線上的M(2 3a, a)點時，撤去電場，粒子繼續(xù)運動一段時間后進入一個矩形勻強磁場區(qū)域(圖中未畫出)

29、，又從虛線上的某一位置N處沿y軸負方向運動并再次經過 M點.已知磁場方向垂直 xOy平面(紙面)向里，磁感應強度大 小為B，不計粒子的重力，試求：(1) 電場強度的大小；(2) N點的坐標；(3) 矩形磁場的最小面積.【提示】 本題是帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題六大類型之四：已知初、末速度的方向(所在 直線)，但未知初速度大小(即未知軌道半徑大小)這類問題的特點是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延長線 形成的角的角平分線上。所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時間為【答案】 Smin2mw-E Xn =2 3a6qa2 2L二如/1 2q2B2粒子從O到M做類平拋運動，設時間為【解答】t，則有2J3a