微積分的期末復(fù)習(xí)的總結(jié)資料(精品)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案微積分期末復(fù)習(xí)總結(jié)資料（精品）首先，就是要有正確的復(fù)習(xí)方法。在這里，我們也給大家提供幾種有效的方法以供參考：第一、 大家首先要克服浮躁的毛病，養(yǎng)成看課本的習(xí)慣。其實(shí)，所有的考試都是從課本知識(shí)中發(fā)散來(lái)的，所以在復(fù)習(xí)時(shí)就必須看課本，反復(fù)的看，細(xì)節(jié)很重要，特別是基本概念和定理。詳細(xì)瀏覽完課本之后， 認(rèn)真復(fù)習(xí)課本上的課后習(xí)題和學(xué)習(xí)指導(dǎo)上每章的復(fù)習(xí)小結(jié)，力爭(zhēng)復(fù)習(xí)參考題每題都過(guò)關(guān)。復(fù)習(xí)小結(jié)了然于心，然后再?gòu)?fù)習(xí)。第二、制定復(fù)習(xí)計(jì)劃，把時(shí)間合理分配到四個(gè)章節(jié)，尤其是第二章極限尤為重點(diǎn)，是整個(gè)上學(xué)期微積分理論的基礎(chǔ)。學(xué)好極限，對(duì)于理解連續(xù)還有導(dǎo)數(shù)有著重要意義，很多同學(xué)覺(jué)得越學(xué)越吃力的原因還是在于學(xué)期

2、初沒(méi)有扎實(shí)的打好知識(shí)基礎(chǔ)。第三、理清知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖（極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、不定積分），然后根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖去發(fā)散、聯(lián)想基礎(chǔ)概念和基本定理和每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用計(jì)算題， 對(duì)本章節(jié)的內(nèi)容有個(gè)清晰的思路，這樣就可以在整體上把握書本知識(shí)。 從整體上把握書本知識(shí)有利于我們對(duì)于試卷中的一些基本的題目有一個(gè)宏觀的把握，對(duì)于試卷中的問(wèn)答題，可以從多角度去理解和把握，這樣就能夠做到回答問(wèn)題的嚴(yán)密性。第四、將課上老師所講授的典型例題及做習(xí)題過(guò)程遇到的難題還有易錯(cuò)的題歸納整理，分析。數(shù)學(xué)當(dāng)中很容易出現(xiàn)同一個(gè)問(wèn)題有幾種不同的解決方法的情況，但是經(jīng)過(guò)總結(jié)歸納之后在應(yīng)試時(shí)可以選取一個(gè)最簡(jiǎn)單而且效率最高的解法。比如，求極限的13

3、 種方法要分別練習(xí)，還有求導(dǎo)、求微分及求不定積分公式表要經(jīng)?；仡?。第五、有條件的話可以看看往年的考試真題，針對(duì)出現(xiàn)較頻率較高的題型，適當(dāng)?shù)淖鲂┯嗅槍?duì)性的模擬試題。另外，應(yīng)該多做那些自己認(rèn)為知識(shí)點(diǎn)理解、應(yīng)用薄弱的題，對(duì)一些難題可在自己思考的基礎(chǔ)上加強(qiáng)與同學(xué)、老師的交流，對(duì)于那些偏題、怪題笑而棄之。其次， 有了好的復(fù)習(xí)方法，還要注意復(fù)習(xí)內(nèi)容，也就是復(fù)習(xí)要點(diǎn)。微積分上學(xué)期的主要內(nèi)容及基本要求經(jīng)過(guò)詳細(xì)整理分類主要包括以下三個(gè)部分，希望能夠?qū)Υ蠹业膹?fù)習(xí)起到事半功倍的效果：函數(shù)、極限與連續(xù)( 一) 基本概念1函數(shù)：常量與變量，函數(shù)的定義精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2函數(shù)的表示方法：解析法，圖示法、表格法3函數(shù)的性

4、質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性4初等函數(shù)：基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)，分段表示的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系5極限：數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限、極限四則運(yùn)算，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，無(wú)窮小量的性質(zhì)，無(wú)窮小量的比較，兩個(gè)重要極限6連續(xù)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，左右連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)及其分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的敘述重點(diǎn)：函數(shù)概念，基本初等函數(shù)，極限的計(jì)算難點(diǎn)：建立函數(shù)關(guān)系，極限概念( 二) 基本要求1. 理解函數(shù)的概念，了解分段函數(shù)。能熟練地求函數(shù)的定義域和函數(shù)值。2. 了解函數(shù)的主要性質(zhì) ( 單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性) 。3. 熟練掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定

5、義域、主要性質(zhì)和圖形。4. 了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。5. 會(huì)列簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。6. 了解極限的概念，知道數(shù)極限的描述性定義，會(huì)求函數(shù)的左、右極限。7. 了解無(wú)窮小量的概念，了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)窮大量的關(guān)系，以及無(wú)窮小量的比較等關(guān)系。8. 掌握極限的四則運(yùn)算法則 .9. 掌握用兩個(gè)重要極限求一些極限的方法。10. 了解函數(shù)連續(xù)性的定義，會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案11. 了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。12. 記住初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)的性質(zhì)，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)。一元函數(shù)微分學(xué)( 一) 基本概念1導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義

6、，函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法舉例，用參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法則，高階導(dǎo)數(shù)2微分：微分的概念與運(yùn)算，微分基本公式表，微分法則，一階微分形式的不變性3中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的敘述4導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：用洛比達(dá)法則去求七種未定式極限問(wèn)題，函數(shù)的單調(diào)性判別法，函數(shù)的極值及其求法，函數(shù)圖形的凹凸性及其判別法，拐點(diǎn)及其求法，水平與垂直漸近線，最大值、最小值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的應(yīng)用重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，極值，最大利潤(rùn)問(wèn)題難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用( 二) 基本要求1. 理解導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。會(huì)求曲

7、線的切線和法線方程。知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。2. 熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則。3. 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。4. 掌握隱函數(shù)的微分法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，以及用參數(shù)表示的函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)的方法。5. 知道一階微分形式的不變性。6. 了解高階導(dǎo)數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的方法。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案7. 了解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；知道柯西定理的條件和結(jié)論。會(huì)用拉格朗日定理證明簡(jiǎn)單的不等式 .掌握洛比達(dá)法則求極限問(wèn)題9. 了解駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、凹凸、拐點(diǎn)等概念10. 掌握用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點(diǎn)（包括判別）的方法，了解可導(dǎo)函數(shù)極值

8、存在的必要條件。知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系11. 掌握用二階導(dǎo)數(shù)求曲線凹凸（包括判別）的方法，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)12. 會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線13. 掌握求解一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中最大值和最小值的方法不定積分( 一) 基本概念1不定積分：原函數(shù)、不定積分概念，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式表2積分法：第一換元積分法，第二換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)積分舉例，三角有理式積分舉例，積分表的使用重點(diǎn)：積分概念與計(jì)算，在幾何上的應(yīng)用難點(diǎn)：積分的計(jì)算及其應(yīng)用( 二) 基本要求1. 理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)( 微分 ) 的關(guān)系2. 熟記積分基本公式，熟練掌握第一換

9、元積分法和分部積分法3. 了解不定積分概念 ( 定義、幾何意義、物理意義 ) 和不定積分的性質(zhì)4. 熟練掌握求解不定積分的方法精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案最后一點(diǎn)，還要提醒大家的就是復(fù)習(xí)時(shí)的注意事項(xiàng)。在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)該注意調(diào)整我們的狀態(tài)和注意休息，一般地說(shuō)，我們的大腦集中于某一學(xué)科的時(shí)間不是很長(zhǎng)的，時(shí)間一長(zhǎng)，我們的思維就可能處于停滯的狀態(tài)，所以我們應(yīng)該合理地安排時(shí)間，爭(zhēng)取在復(fù)習(xí)時(shí)將所學(xué)的幾門學(xué)科都能夠交叉安排，這樣保證大腦的高效率。同時(shí)，還應(yīng)該注意休息?？荚嚻陂g的復(fù)習(xí)效率很低，那時(shí)看看書適當(dāng)放松，把習(xí)題簡(jiǎn)單回顧一下足矣。考前注意保持充足的睡眠，現(xiàn)在很多同學(xué)在期末考試前點(diǎn)燈熬夜，晚上不注意休息，考試沒(méi)

10、有精神，甚至睡著了，導(dǎo)致很容易的題目也沒(méi)有時(shí)間做了；還有不容忽視的一點(diǎn)就是，在考試的過(guò)程中，要注意卷面干凈、書寫整潔，還要有清晰的解題思路和完整的答題步驟，對(duì)于沒(méi)有思路的題可以先放放以免耽誤答題時(shí)間，否則會(huì)影響自己的卷面得分。最后，希望大家保持一個(gè)健康的身體和良好的心態(tài)，做好期末復(fù)習(xí)，祝大家取得好成績(jī)！提前祝大家元旦快樂(lè)！精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)§1.1 函數(shù)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖區(qū)間定義域不等式定義集合對(duì)應(yīng)法則表格法表達(dá)方法圖象法初等函數(shù)解析法非初等函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的特性奇偶性函數(shù)周期性有界性定義反函數(shù)重要的函數(shù)存在性定理復(fù)合函數(shù)1,x0,符號(hào)函數(shù)： sgn x 0,x0,

11、1,x0.幾個(gè)具體重要的函數(shù)取整函數(shù)：f x x ，其中 x 表示不超過(guò)x 的最大整數(shù) .1,x為有理數(shù) ,狄里克雷函數(shù)：D x0,x為無(wú)理數(shù) .§1.2 內(nèi)容提要與釋疑解難一、函數(shù)的概念定義 : 設(shè) A、 B 是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f ，使得對(duì) A 中任何一個(gè)實(shí)數(shù)x，在 B 中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y 與 x 對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)法則f 是 A 上的函數(shù)，記為f : xy或f : AB .y 稱為 x 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，記為yf x , xA .精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案其中 x 叫做自變量， y 又叫因變量， A 稱為函數(shù) f 的定義域，記為 （D f ），f ( A)f (x) x

12、A ,稱為函數(shù)的值域，記為R （f） ，在平面坐標(biāo)系Oxy下，集合(x, y)yf ( x), xD 稱為函數(shù) y=f(x) 的圖形。 函數(shù)是微積分中最重要最基本的一個(gè)概念，因?yàn)槲⒎e分是以函數(shù)為研究對(duì)象，運(yùn)用無(wú)窮小及無(wú)窮大過(guò)程分析處理問(wèn)題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。1 、由確定函數(shù)的因素是定義域、對(duì)應(yīng)法則及值域，而值域被定義域和對(duì)應(yīng)法則完全確定，故確定函數(shù)的兩要素為定義域和對(duì)應(yīng)法則。從而在判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，只要看這兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，至于自變量、因變量用什么字母，函數(shù)用什么記號(hào)都是無(wú)關(guān)緊要的。2 、函數(shù)與函數(shù)表達(dá)式的區(qū)別：函數(shù)表達(dá)式指的是解析式子，是表示函數(shù)的主要形式，而函數(shù)除

13、了用表達(dá)式來(lái)表示，還可以用表格法、圖象法等形式來(lái)表示，不要把函數(shù)與函數(shù)表達(dá)式等同起來(lái)。二、反函數(shù)定義設(shè)y fx) ，x D，若對(duì)R f) 中每一個(gè) y，都有唯一確定且滿足f(x)的x D與之對(duì)應(yīng)，= (y=則按此對(duì)應(yīng)法則就能得到一個(gè)定義在R（ f ）上的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為f 的反函數(shù)，記作f 1 : R fD 或 x f 1 y , y R f .由于習(xí)慣上用x 表示自變量， y 表示因變量，所以常把上述函數(shù)改寫成yf 1x ,xR f .1 、由函數(shù)、反函數(shù)的定義可知，反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。2 、函數(shù) y=f(x) 與 x=f -1 (y) 的圖象相同， 這

14、因?yàn)闈M足 y=f(x) 點(diǎn)（ x,y ）的集合與滿足 x=f -1 (y) 點(diǎn) (x,y)的集合完全相同，而函數(shù) y=f(x)與 y=f -1 (x) 圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱。3 、若 y=f(x) 的反函數(shù)是 x=f-1 (y) ，則 y f f 1 ( y) ,x f 1 f x .4 、定理 1（反函數(shù)存在定理）嚴(yán)格增（減）的函數(shù)必有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)。三、復(fù)合函數(shù)定義設(shè) yf u , uE, ux , xD ，若 D ( f )R，則 y 通過(guò) u 構(gòu)成 x 的函數(shù)，稱為由 y=f(u) 與 ux 復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱為復(fù)合函數(shù)，記作yf ( x) 。復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閤 xD且

15、(x)E ，其中 x 稱為自變量， y 稱為因變量， u 稱為中間變量，x 稱為內(nèi)函數(shù)， f(u) 稱為外函數(shù)。1、在實(shí)際判斷兩個(gè)函數(shù)yf (u), ux 能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，只要看 yf (x ) 的定義域是否為非空集，若不為空集，則能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，否則不能復(fù)合函數(shù)。2、在求復(fù)合函數(shù)時(shí)，只要指出誰(shuí)是內(nèi)函數(shù)，誰(shuí)是外函數(shù)，例如y=f(x), y=g(x),若 y=f(x)作為外函數(shù)， y=g(x) 作為內(nèi)函數(shù)。則復(fù)合函數(shù)yf ( g x ) ，若 yg x 作為外函數(shù)，yf x 作為內(nèi)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為y=g(f(x)。3、我們要學(xué)會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，既要會(huì)把幾個(gè)函數(shù)復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，又要

16、會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分拆成幾個(gè)函數(shù)的復(fù)合。四 初等函數(shù)常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。大家一定要記住基本初等函數(shù)的定義域，值域，會(huì)畫它們的圖象，并且要知道這些函數(shù)在哪些區(qū)間精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案遞增，在哪些區(qū)間遞減，是否經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是什么？以后我們常常要用到。由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。不是初等函數(shù)稱為非初等函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如f xx,x, x0x x2 ，是由 yu , u x2復(fù)合而成。x0五具有某些特性的函數(shù)1奇（偶）函數(shù)定 義設(shè)D 是

17、 關(guān) 于 原 點(diǎn) 對(duì) 稱 的 數(shù) 集 ， y=f(x)為 定 義 在D 上的 函 數(shù) ， 若 對(duì) 每 一 個(gè)xD這時(shí) 也有xD ，都有 fxf xfxf x，則稱 y=f(x)為 D 上的奇（偶）函數(shù)。（ 1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件。（ 2）若 f(x) 為奇函數(shù)，則f(0)=0，事實(shí)上，由定義知f(-0)=-f(0)，有 f(0)=-f(0)，得 f(0)=0.2 周期函數(shù)定義設(shè) y=f(x)為定義在D 上的函數(shù)，若存在某個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)一切xD ，都有f(x+T)=f(x)，則稱 y=f(x)為周期函數(shù)，T 稱為 y=f(x)的一個(gè)周期。顯然，若 T 是 f(

18、x) 的周期，則kT kZ 也是 f （ x）的周期，若周期函數(shù)f(x)的所有正周期中存在最小正周期，則稱這個(gè)最小正周期為f(x)的基本周期，一般地，函數(shù)的周期是指的是基本周期。必須指出的是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如f(x)=c（ c 為常數(shù)），因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)常數(shù) T，都有 f(x+T)=f(x)=c 。所以 f(x)=c 是周期函數(shù)，但在實(shí)數(shù)里沒(méi)有最小正常數(shù)，所以，周期函數(shù) f(x)=c 沒(méi)有最小正周期。如果 f(x)為周期函數(shù)，且周期為T，任給 xD ，有 f(x)=f(x+kT)，知 xkTD kZ 。所以D 是無(wú)窮區(qū)間，即無(wú)窮區(qū)間是周期函數(shù)的必要條件。3 單調(diào)函數(shù)定義 設(shè)

19、y=f(x)為定義在D 上的函數(shù)，若對(duì)D中任意兩個(gè)數(shù)x1,x 2 且 x1<x2, 總有f x1fx2f x1f x2，則稱 y=f(x)為 D 上的遞增（遞減）函數(shù)，特別地，若總成立嚴(yán)格不等式f x1fx2f x1f x2，則稱 y=f(x)為 D 上嚴(yán)格遞增（遞減）函數(shù)。遞增和遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格遞減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。4 分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)應(yīng)于不同的 x 范圍有著不同的表達(dá)形式，則稱該函數(shù)為分段函數(shù)。注意分段函數(shù)不是由幾個(gè)函數(shù)組成的，而是一個(gè)函數(shù)，我們經(jīng)常構(gòu)造分段函數(shù)來(lái)舉反例，常見的分段函數(shù)有符號(hào)函數(shù)、狄里克雷函數(shù)、取整函數(shù)。5 有界函數(shù)與無(wú)

20、界函數(shù)定義設(shè) y=f(x)為定義在D 上的函數(shù)，若存在常數(shù)N M，使對(duì)每一個(gè)xD ，都有Nf xM則稱 f(x) 為 D上的有界函數(shù)，此時(shí)，稱N 為 f(x)在 D 上的一個(gè)下界，稱M為 f(x)在 D 上的一個(gè)上界。由定義可知上、下界有無(wú)數(shù)個(gè)，我們也可寫成如下的等價(jià)定義，使用更加方便。定義設(shè) y=f(x)為定義在D 上的函數(shù)，若存在常數(shù)M>0，使得對(duì)每一個(gè)xD ，都有精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案f xM則 f(x)為 D 上的有界函數(shù)。幾何意義，若f(x) 為 D上的有界函數(shù)，則f(x) 的圖象完全落在直線y=-M 與 y=M之間。注意：直線y=-M， y=M不一定與曲線相切。有界函數(shù)定義的反

21、面是定義設(shè) y=f(x)為定義在D 上的函數(shù)，若對(duì)每一個(gè)正常數(shù)M（無(wú)論 M多么大），都存在 x0D ，使f x0M ，則稱 f(x) 為 D 上的無(wú)界函數(shù)。6 函數(shù)的延拓與分解有時(shí)我們需要由已知函數(shù)產(chǎn)生新的函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，這里我們從函數(shù)的特性出發(fā)，開拓由已知產(chǎn)生新的函數(shù)的方法。設(shè) yf x , x0, a ，我考慮區(qū)間 - a, a 上的函數(shù) F(x) ，它是偶函數(shù)， 且在 0, a 上，使 F(x)=f(x)，則應(yīng)有 F xf x ,x0, a ,fxxa,0 .稱 F（ x）是 f(x)的偶延拓同樣可給出 f(x)的奇延拓，即函數(shù)F（ x）在 -a, a 上的奇函數(shù)，且在（0, a）上

22、， F（ x） =f(x)，f x , x0, a則應(yīng)有 Fx0,x0這樣，研究 f(x) 只要，研究 F（ x）就可以了。fx , xa,0同樣，對(duì)于函數(shù)y=f(x), xa, b，可以構(gòu)造一個(gè)以（b- a）為周期的周期函數(shù)F（x），在（ a,b ）上， F（ x） =f(x)，則有 F xf x ,xa, bf x n b a , x nb n 1 a, n 1 b na , n z這就是函數(shù) f(x)的周期延招，研究f(x)只要研究 F（ x）就可以了。此外，定義在區(qū)間（- a, a）上的任何一個(gè)函數(shù)f(x) 都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和事實(shí)上 fxf xfxf xfx22設(shè) f

23、1 xf xfx , f 2 xf xfx ,22由奇偶函數(shù)的定義知，f 1(x)是奇函數(shù)。f 2(x)是偶函數(shù)，且fxf1 xf 2x .我們還可以證明f 1 (x) ， f 2(x)是唯一存在，如果f xg1xg 2x ,其中 g1(x) 是奇函數(shù)， g2(x) 是偶函數(shù)，于是f xg1 xg2 x, fxg1 xg2xg1 xg2 x,解得 g1 xfxfxx ， g 2 xfxfxf2x2f12§1.3 解題基本方法與技巧一、求函數(shù)定義域的方法1若函數(shù)是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式子，則其定義域應(yīng)是使這式子有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案且在（ 1）分式的分母不能為零

24、；（ 2）偶次根號(hào)下應(yīng)大于或等于零；（ 3）對(duì)數(shù)式的真數(shù)應(yīng)大于零且底數(shù)大于零不為1； （ 4）arc sinx 或 arc cosx ，其x；1（ 5） tanx ，其 kx k, kz; cot x ,其 kx k,k z.22（ 6）若函數(shù)的表達(dá)式由幾項(xiàng)組成，則它的定義域是各項(xiàng)定義域的交集；（ 7）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。2. 若函數(shù)涉及到實(shí)際問(wèn)題， 定義域是除了使數(shù)學(xué)式子有意義還應(yīng)當(dāng)確保實(shí)際有意義自變量取值全體組成的集合。3. 對(duì)于抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，要依據(jù)函數(shù)定義及題設(shè)條件。例 1 求下列函數(shù)的定義域：（1） y3xx 3；（ 2） yarcsin2x3xx301 x解（

25、 1）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足?；?jiǎn)有x x3 x30 ,即x3 x x30 .解之，得定義域?yàn)閤,30,3。（2）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足2 x1，即2x1 ，1x11 x化簡(jiǎn)有 1221 ，321，11xx不等式各邊除以（-2 ）有， 3111 ，2x2各邊取倒數(shù)得，21 x 2 。解之，得函數(shù)的定義域?yàn)?3x 1 。3例 2不清設(shè)f xx，求 f(x)的定義域。11x 2解 要使函數(shù)式子有意義，必須滿足11x10即x2x2x20故所給函數(shù)的定義域?yàn)閤 : x R且 x1, x2。注意：如果把x化簡(jiǎn)為 x x2，那么函數(shù)的定義域?yàn)閤 1 的一切實(shí)數(shù)，因此，求函數(shù)的11x 1x

26、2定義變形式時(shí)需特別小心，避免出錯(cuò)。例 3 已知 f xex2, f x 1x 且x0 ，求 x并寫出它的定義域。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解由 ex2ln 1 x ，1 x ，得 x由 ln 1x0 ，得 1x1，即 x 0，所以xln 1x , x0 。例 4 設(shè) f ( x) 的定義域?yàn)?0 ， 1 ，試求 f ( x+a)+ f ( x- a) 的定義域（ a>0）。解 要使 f ( x+a)+ f ( x- a) 有意義，必須滿足0xa1,得ax1a,0xa1,ax1a.當(dāng) 0 a11a ，知函數(shù)的定義域?yàn)閍x11時(shí)，由 aa 。當(dāng) a時(shí)，由 a>1 a，知定義域不22存在。二

27、、求函數(shù)值域的方法1.由定義域x 的范圍，利用不等式求出f ( x) 的范圍；2. 若 y=f ( x) 有反函數(shù) x=f - 1( y) ，求出反函數(shù)的定義域就是函數(shù)的值域；3. 利用一元二次方程的判別式求函數(shù)的值域。例 5 求下列函數(shù)值域：（1） y x1 x ；（ 2） yx1（ 3） yx22x1x；x2x。312解（ 1）令1xt, 則 x1t 2，于是 yx1 x1t 2tt155 。244當(dāng)且僅當(dāng) t1 ，即 x3 時(shí)， y5 。故函數(shù) yx1x 的值域是, 5。2444（ 2）由 yx1 ，得 (x+3)y=x+1，解之， x13y 是 yx1 的反函數(shù)，而x3y1x313y的

28、定義域是 y1 ，故函數(shù)值域是,11,。x1y（3）由原函數(shù)式變形，得y x2x1x22x1，即y 1 x2y 2 x y 1 0 。當(dāng) y-1=0 ，即 y=1 時(shí)， x=0；當(dāng) y10, 即 y1時(shí) ，y224 y20，即 0y4 y1 。故函數(shù)的值域?yàn)? ，4 。1三、判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)的方法例 6判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)：（ 1）（ i ） ysin x 0 x；（ii） s1 cos2 t 0 t,（ 2）（ i ） yx1（ ii） y1x2；。1x1解（ 1）由 y=sinx的定義域是 0 ， ， s1cos2 t 的定義域是 0 ， 。知兩函數(shù)定義域相同，精彩文檔實(shí)

29、用標(biāo)準(zhǔn)文案又 S 1 cos2 tsin2 tsin tsin t0t, 知兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則相同，故（i）（ii ）為同一函數(shù)。（ 2）由yx1x1的全體實(shí)數(shù)，y1的定義域是x 1的全體實(shí)數(shù)，知x21x 1的定義域是兩函數(shù)定義域不同，盡管當(dāng)x1時(shí)， yx11，知兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則相同，但（i ）（ ii ）不21xx1是同一個(gè)函數(shù)。四、求反函數(shù)方法中解出 x= f -1-1 (x),則 y=f - 1(x) 是 x=f - 1(y)步驟： 1.從 y=f(x)(y) ;2.改寫成 y=f的反函數(shù) .例 7 求下列函數(shù)的反函數(shù):(1) y（ 3） y1 x21x 0 ；（ 2） y3 x1 x2 3

30、x 1 x2 ；x, x1,x 2 ,1x4,2 x , x4.解（ 1）由（2）由兩邊立方得x1y 2 , y0,1 ，知反函數(shù)為 y1 x 2 ， x 0,1 。y3 x1 x23 x 1 x2y31 x233 x1 x221 x 233 ( x1 x2 ) x1 x 221 x2 , 即xxxy32x 33 x1x233 x1x22x 3y,解之x1 3yy3。12所以反函數(shù)為y3xx3,x.2Ry, y1,x, x1,（ 3）由xy ,1y16,則反函數(shù)為yx,1x16,log2 y, y16,log 2 x, x16.五、求復(fù)合函數(shù)的方法。1 代入法某一個(gè)函數(shù)中的自變量用另一個(gè)函數(shù)的

31、表達(dá)式來(lái)替代，這種構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的方法，稱之為代入法，該法適用于初等函數(shù)的復(fù)合，關(guān)健搞清誰(shuí)是內(nèi)函數(shù)，誰(shuí)是外函數(shù)。2分析法根據(jù)外函數(shù)定義的各區(qū)間段，結(jié)合中間變量的表達(dá)式及中間變量的定義域進(jìn)行分析，從而得出復(fù)合函數(shù)的方法，該方法用于初等函數(shù)與分段函數(shù)或分段函數(shù)與分段函數(shù)的復(fù)合。例 8 設(shè) f xx求f n x f f f x .,1x2n次精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案xx解f x1 x21x 2xf 2 xf f x1 f 2 xx 2，1 f 2 x1 2x 211x 2xf 3 xf f f xf f2 xf2 x12x 2xf 22x21，1x13x 212x2猜想 f n xx。1 nx2當(dāng) n=1

32、 時(shí)，結(jié)論已成立，假設(shè)n=k 時(shí)， f k xx成立，當(dāng) n=k+1 時(shí)，1kx2xfk 1xf f k x1kx2x。x21k1 x 211kx2即 n=k+1 時(shí)結(jié)論成立，故f nx。xnx21例 9 設(shè) f1,x1,f xx求 f。0, x1,解 當(dāng) x1時(shí), f x1, f f xf 1 1 ，當(dāng) x1時(shí), f x0, f f xf 01。故 f ( f ( x)=1 。例 10設(shè) f xex , x 1,xx2, x0,求f x 。x, x 1.x21, x 0,解由 fxe x ,x1,x ,x1.（ 1）當(dāng)x1 時(shí)或x 0,xx2 1,即 x0,有x1x1,?；?x 0,xx 2

33、1 1, 即 x0,x,有 0x2.22（ 2）當(dāng)x1 時(shí)或 x 0,xx 2 1, 即 x0,有 1x0 。x1,精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案或 x 0,x x 21 1,即 x0, 有 x2. 得x2或 x2ex2 , x11,fxx2,x 0,x21,0x2,ex21, x2六、判斷奇偶函數(shù)的方法偶函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱；奇函數(shù)f(x) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1. 奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)。2. 偶數(shù)個(gè)奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇函數(shù)。3. 一奇一偶的乘積為奇函數(shù)4. 兩個(gè)奇函數(shù)復(fù)合仍為奇函數(shù)，一奇一偶復(fù)合為偶函數(shù)，兩個(gè)偶函

34、數(shù)復(fù)合仍為偶函數(shù)。判斷方法1 用定義2 . 若 f(x)+f(-x)=0 ，則 f(x) 為奇函數(shù)，這種方法適合用定義比較困難的題目。例 11 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（ 1） f x3 1 x231 x；（2） f xln 1x ；21x（ 3） f x11（ a>0, a 1 常數(shù)）ax12解（ 1）由 fx121x 21 x 21x 2f x ，知 f ( x) 為偶函數(shù)3x333（2）由 f xfxln 1 xln 1x1x1x1x1x1x1xln 10, 知 f ( x) 為奇函數(shù)。lnxlnxlnx1x111（ 3）由 fx1111a x1a11ax12121 a x21 a

35、x21axa x1a x11111f x，知 f ( x) 為奇函數(shù)1 a x2 1 a x2a x1 2七、周期函數(shù)的判斷與周期的求法1 周期函數(shù)周期的求法（ 1）若 T 為 f(x)的周期，則f( ax+b) 的周期為 T a0a（ 2）若 f ( x) 的周期為 T ， g( x) 的周期為 T ，則 cf ( x)+ c g( x) 的周期為 T ， T 的最小公倍數(shù)。1212122 周期函數(shù)的判斷方法。（ 1）用定義。（ 2）用周期函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。常見函數(shù)的周期：sinx,cosx,其周期 T=2； tan x, cot x, sin x , cosx , 其周期 T=。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 12求下列函數(shù)周期（ 1）f x2 tan x3