新高考新教材1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(1)導(dǎo)學(xué)案-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

1、1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(1)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.2 .能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系3 .能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平而平行關(guān)系的判定定理.4 .能用向量方法證明空間中直線、平而的平行關(guān)系.重點(diǎn)難息重點(diǎn)：用向量語言表述直線與直線、直線與平而、平而與平面的平行關(guān)系難點(diǎn)：用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系一、自主導(dǎo)學(xué)(-)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1 .點(diǎn)的位置向量在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量而來表示.我們把向量而稱為 點(diǎn)尸的位置向量

2、.如圖.2 .空間直線的向量表示式如圖,a是直線/的方向向量,在直線1上取Q=a，設(shè)P是直線/上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線7上的充要條件 是存在實(shí)數(shù)乙使得加=fa,即加=/互如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)。.可以得到點(diǎn)尸在直線，上的充要條件是 存在實(shí)數(shù)L使而= 5?+a= OAtAB.式和式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確 定.IL田圖3 .空間平面的向量表示式如圖，取定空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)xy使而=EX+x靠+），獲.我 們把這個式子稱為空間平面-15C的向量表示式由此可知,空間中任意平而由空間一點(diǎn)及兩個

3、不共線向量唯如圖，直線La.取直線/的方向向量a.我們稱向量a為平面a的法向量,給定一個點(diǎn)A和一個向量a,那么過點(diǎn) 兒且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合Pla J?=O.點(diǎn)造：空間中，一個向量成為直線/的方向向量，必須具備以下兩個條件: 是非零向量;向量所在的直線與/平行或重合.（二）、空間中直線、平而平行的向量表示位置關(guān)系向量表示線線設(shè)內(nèi)小2分別是直線11,12的方向向量，則平行11120卬ROMER,使得 pi=XH2.線而設(shè)n是直線1的方向向量q是平而a的法向量，平行10a,則 la=n_LnQii n=O.而而設(shè)ni,m分別是平面af的法向量，則平行010=1】11120

4、三九£11,使得 ni=Xn2.點(diǎn)睛：1,空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行，根據(jù)共線向量定理，只需證明直線的方向向量M 人.此外，證明線而 2平行也可用共而向量定理，即只要證明這條直線的方向向量能夠用平而內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面 無公共點(diǎn)，證明平面與平而平行時也要注意兩平面沒有公共點(diǎn).二、小試牛刀L下列說法中正確的是()A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的2 .若直線I過點(diǎn)A(-134).8(12

5、1),則直線/的一個方向向量可以是()小泊)B。,一蓊OD©拉)3 .若兩個向量荏=(1,2,3),就二(3,2,1),則平面ABC的一個法向量為()A.(-l,2,-l)B.(1,2J)C.(l,2,-1)D.(-l,2,l)4 .若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5).b=(-6心，)，且兩條直線平行，則a=，產(chǎn).5 .若平而p外的一條直線I的方向向量是u=(-l,2,-3),平面£的法向量為n=(4,-1,-2)則/與£的位置關(guān)系是學(xué)習(xí)過程一、情境導(dǎo)學(xué)牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一，最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓

6、主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖， 牌樓的柱子與地而是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什 么呢？二、典例解析例1.如圖，在四棱錐P-ABCD中底而ABCO是正方形，側(cè)棱PDJ_底而"CD尸。=OC=1,E是PC的 中點(diǎn),求平面EDB的一個法向量.延伸探究：本例條件不變，你能分別求出平而PAD與平而PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何？ 利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a=(a力,c ).

7、b=(a .b ,c ). 1 1 12 2 2(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于xjn的方程組江二(4)解方程組，取其中的一個解,即得法向量.跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形HO8C,N48c=90。_1_平而ABCD.SA=AB=BC=, AD=；,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個法向量；求平面SAB的一個法向量；例2.在長方體BCD中力8=4力。=3 AA =2,點(diǎn)P,Q.RS分別是 刖,D C .AB.CC的中點(diǎn),求證:PQ iiiilitjRS.歸納總結(jié)：利用空間向量證明線與線平行的方法證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量，然后證明兩直線的方向向量共線

8、，從而證明兩直線平行.跟蹤訓(xùn)練2.在正方體A3CD-A化C巴中，點(diǎn)P在線段A產(chǎn)上，點(diǎn)Q在線段AC上，線段PQ與直線右。和AC都垂直，求證:PQ8Q.例3.如圖，在正方體A3CD-A/£4中,K/V分別是CC.fi C)的中點(diǎn)求證:MN 平面A,。.利用空間向量證明線而平行的方法利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a.b是共面向量,即滿足p=.xa+.vb(x,y £R),則pab共而,從而可證直線與平面平行.利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線，再結(jié)合線面平行的判定定理即可證 明線而平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量

9、與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直，從而證明直線與平而平 行.跟蹤訓(xùn)練3.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平而互相垂直，AB=«. AF=M是線段EF的中點(diǎn). 求證AW平而BDE.例4.如圖所示，在正方體ABCD-A產(chǎn)£?中,。為底而ABCD的中心/是O?的中點(diǎn)，設(shè)Q是上的點(diǎn)，問: 當(dāng)點(diǎn)。在什么位置時，平面。/。平而PAO?D利用空間向量證明而而平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線而平行、線線平行，然后借助向量共線進(jìn)行證明；通過證明兩個平面的法向量平行證明.跟蹤訓(xùn)練4.在長方體A8CDA BCD中,OA=2.OC=3QO =4.M.M£F分別為棱月D A B

10、 .D C .B C的中點(diǎn). 11111iiiiiiii求證:平面AA/N平面EFBD.金題典例，如圖，在正方體A8C6ABCD中，求證:平面平而BDC.達(dá)標(biāo)校測L若不重合的直線/ L的方向向量分別為a=(12-2).b=(-3,66)J()1 -A./ /IBJ ±/1212C./ J相交但不垂直D.不能確定1 22 .已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,34),B(9,2.1),則直線AB()A.與坐標(biāo)平而xOy平行B.與坐標(biāo)平而yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行D.與坐標(biāo)平面yOz相交3 .若平而a風(fēng)則下而可以是這兩個平面法向量的是()A.n =(l,2,3).n =(-3,2,

11、1)B.n =(l,2,2).n =(-2,2.1)1 212C.n =(1J ,l),n =(22,1)D.n =( 1,1,1 ).n =(-2,-2,-2)12I24 .已知/a,且1的方向向量為(24,1),平面a的法向量為(1,去,2),則尸.5 ,已知正方體A3CD.ABC。的棱長為2.EF分別是88 .0。的中點(diǎn)， till11求證平而月。£(2)平面AOE 平面BCE課堂小結(jié)r|空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示利用向母 證明平行 關(guān)系d直線的方向向短 一平面的法向量r線線平行T平行關(guān)系的證明-線面平行L面面平行參考答案:知識梳理1.答案:B解析:由平面法向量的定義可知,

12、B項(xiàng)正確2二案I)解析：同=(2,l,-3)=-3(-|g,l),故選 D.3.答案:A解析:設(shè)平面ABC的法向量為11二(內(nèi)區(qū)),則n.亞=0,即 nAC = 0,x + 2y + 3z= 0,3% + 2y + z = 0.令4-1,則y=2,z=-l.即平面ABC的一個法向量為n=(-12-D.4 .答案:-12： 15解析:因?yàn)閮蓷l直線平行，所以ab.于是* =解得x=-12»=15.5 .答案:平行 解析:因?yàn)閡n=G12-3)(4,-l,-2)=0,所以u«Lii所以直線與平面平行，即/£,6 .答案:(l)x (2)7 (3)x (4)Y學(xué)習(xí)過程例L

13、思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得0(000),20,0.1).03,倒1,1,0),于是旗 =>>, DE = y + - z = 0DB=(1,LO),設(shè)平面EDB的法向量為口=(入>，二),則n_LDE,n_LD8,于是 一 22n DB = % + y = 0,取x=l，則產(chǎn)n=1,故平而EDB的一個法向量為n =(1,4,1).延伸探究：解:如同例題建系方法，易知平而PAD的一個法向量為n =(0,0),平面PCD的一個法向量為n)=(l,0,0,因?yàn)?n n,=0,所以 n

14、 ±ny 21 22跟蹤訓(xùn)練1 .解:以點(diǎn)A為原點(diǎn)40、AB. AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐 標(biāo)系，則 A(0,0,0).5(0,l,0XC(l.l,0),D(|,0,0),S(0,0,l).(1): S1_L 平面 X5CD.:行=(0.0,1)是平而一"8的一個法向量. 二 10_14瓦10_1£*：<。_1_平面 SAB.:而=(扣0)是平面SAB的一個法向量.(3誰平面SCD中泥=(9,0),正=(1,1,4).設(shè)平面 SCD 的法向量是 n=(xj，二)，則 n1D?.n±SC,.Jn £f =

15、 0,(nSC = 0,得方程組代+ '=。.憶子令尸】得(% + y-z = 0,例2.證明：(方法1)以點(diǎn)D為原點(diǎn).DAQCOq所在門級分別為x軸j軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則尸(3,0.1). 0(O,2,2)X(3,2,O),S(O41)同=(-3,2,1)劉=(-321),/.PQ = RS./JPQ | 瓦即 PQ/RS.(方法 2)RS = RC + CS=：DC - DA + =DD,PQ =西 +艱=西 + =而一52,二后=而，：而 | 衣，即 RS/PQ.跟蹤訓(xùn)練2.詛：明:以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系設(shè)正方 體的棱長為L則。

16、(0,0,0)4(100)上(l,0)C(0,1,0)/1(1,0,1)11(001),:西=(L0.1)募=(-L L0),設(shè)刀=(),則爸U即呼三力易知西=(-LLl),：麗=-西，衣| 西，即PO/BDb 例3.思路分析思路一:可證明而與淳，麗是共面向量；思路二何證明而與平面中的匈是共線向量;思路三何通過平面乂山。的法向量來證明.證明：(方法 1) 丁麗=QN - QM =- BB=DB 一 DC 一+ %8； = 一:而,5瓦正是共而向量.又TACV0平而Tlftl ABD.(方法 2):麗=cjv - cm = -cX -cT?=-(DiA，- d7d)=-dX：a II 西. ，X

17、XOXX OAA24X又：4WU平面山3D.：MN平而X山D(方法3)以力為原點(diǎn).D4.OCQq所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 如圖.設(shè)正方體的棱長為1、則可求得加（02a&1,1）,0（0、0,0）工1（1,01）方（1,1,0）.于是而 =兩=（1,0、1）萬萬=（1,1,0）. ,設(shè)平面3瓦）的法向量為n=（xj二），則n"1 =。'得匕弋（n DB = 0.5 + y - U.取 x=L 得 y=-lN=-l,n=（l,-L-l）.:加 11=（二0,'.（1,1,）=0, :而又 IMNa 平面 AiBD./.MN/ 平面 AiB

18、D.跟蹤訓(xùn)練3.證明:建立如網(wǎng)所小的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ACfWD=M連接NE,則點(diǎn)M£的坐標(biāo)分別是得,今0),(001).所以標(biāo)=又點(diǎn)X型的坐標(biāo)分別是(方V10)G5，l),所以新=所以標(biāo)=病，且KCAE所以NE AM.又因?yàn)镹Eu平面BDE用MC平而 瓦乃,所以AM平而BDE.例4 .思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或 者利用兩個平面的法向量共線進(jìn)行證明.解:如圖所示，分別以D4.oc.oq所在直線為XJ,Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，在cq上任取一點(diǎn)。，連接8aq。.設(shè)正方體的棱長為l則 唱“）的0卻（1,0,0*（130）4

19、（0,0,1）,則。（0,1盟）.（方法1）因?yàn)??=:二-）3，電=（,-1,1）,所以加II可，于是OPBD.AP = （-1,0.3,麗=（-1,0,，當(dāng)巾=時工？=的、即X尸8。,有平面R1。平而D1BQ.故當(dāng)O為CCi的中點(diǎn)時，平面。山0平面PAO.（方法 2）32 = （*"）,=（一泊3_,_t-x-y = 0,設(shè)平面PAO的法向量為ni=（xj J,則有iu，O4niJ_0P,因此（22（-廣 y +二z = 0取x=l,則m=（l1,2）.又因?yàn)槲?（111），E=（O，-11M設(shè)平面DBQ的法向量為必依二），則有11口西g'E，因此言:篇=0取z=l,則1

20、12=（見1-切,1）.要使平面。山。平面E4O,需滿足niH2,因此' =士 =.解得弓這時0（0，11）.故當(dāng)Q為 $ 的中點(diǎn)時，平面O普平面PAO.跟蹤訓(xùn)練4.證明健立如佟I所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A(2.O.O).B(2,3.O).M( 1,0、4),N(2, | ,4),E(0, | ,4)尸(1,3,4). /.MN = (1,|、0),評=(1,10).府=(-1,0.4)/=(404). :麗=EFfAM = FF. /.MN/EFAM/BF.MN/ 平而 EFBD4M/ 平面 EFBD,又 MATUAf=M .：平而憶V 平面 EFBD.金題典例:解題提示:沛明面而

21、平行常用的方法仃兩種,一是證明它們的法向量共:是轉(zhuǎn)化為線面平行、 線線平行即可.證明:(方法1)設(shè)正方體的棱長為1.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A( LOO)B( 1 . L1 ),。(0。,1).8( 11O)Q(O,O0),C(O. L1),于是初=(0,1,1)，詞=(1，L0),防=(1, L0),設(shè)平面的法向量為nI=(xijvi),則n布、“甌即卜觀=% +句=°、 卜正。'* = %i + yi = 0.令T =1,則x =J,z =1可得平面A*。的一個法向量為n ii ii設(shè)平面的法向量為n(*v居).貝lj n2±DB.n2±D?

22、,RPn2 DB = “2 += °，ji2 DC = % +Z2 = °令匕“則夕山廣1,可得平面5OC，的一個法向量為限(13).所以n =n ,所以n n，故平而ABD"/平面BDC I 212(方法2)由方法1知而(lOl)正=(L(M)布汨=(0、LD,所以布=BCAB' = DCi AD /BCAB /DC所以4y平面8OC；平而 8DC,又 AO'rU8'=A.所以平面A8。'平面3DC.(方法3)同方法1得平面.43少的一個法向量為m=(-l,l,-l).易知據(jù)=(L L0)萬？=(0.1.1 ).因?yàn)?m加=(L1,1) (1,LO)=O,m(0,1,1)=0,所以n也是平而的一個法向量， I所以平而平面BDC.點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征，盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點(diǎn)的線段, 特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體，如正方體，長方體、直棱柱，有一條側(cè)棱垂直于底而的棱錐等，其中長方體(或 正方體