簡(jiǎn)單地工程問題

1、簡(jiǎn)單的工程問題（方法篇）定義：在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工 程等等，都要涉及到工作總量、工作效率以及工作時(shí)間三個(gè)量。在數(shù)學(xué)中，探討 這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫它們做“工程問題” 。概念認(rèn)識(shí)導(dǎo)入1:五星花園修隧道，這條隧道長(zhǎng) 200米，有一個(gè)工程隊(duì)修完共用 20天, 每天修多少米？導(dǎo)入2:修一段路，共修了 20天，那么每天修這條路的多少?對(duì)比兩題列表格如下:工作總量工作時(shí)間工作效率導(dǎo)入1200米為具體數(shù)值20 （天）200-20=10 （米 / 天）導(dǎo)入2沒有告訴具體的數(shù)值（當(dāng)題目中沒有告訴 具體的數(shù)值時(shí)，我們就 用“ T來(lái)表示）20 （天）11十2

2、020通過對(duì)比我們可以發(fā)現(xiàn):工作總量：需要完成的工作量。（比如：做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng) 任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等）在工程問題中，當(dāng)工作總量會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一種是 告訴了具體的數(shù)值，另一種沒有告訴具體數(shù)值，我們就以“ 1”來(lái)表示。工作時(shí)間：完成一項(xiàng)工作，完成 整個(gè)工作所花掉的實(shí)際時(shí)間（休息時(shí)間除外） 工作時(shí)間一定為帶有單位的具體的數(shù)值。例：完成一項(xiàng)工作，甲花了 10天才完成，其中甲休息兩天，甲的工作時(shí)間是（）工作效率：一個(gè)單位時(shí)間內(nèi) 所完成的工作量。（單位時(shí)間：一天，一小時(shí)，一分 鐘）當(dāng)工作總量為具體的數(shù)值時(shí)，工作效率同樣為具體的數(shù)值，帶有單位。當(dāng)工作總量沒有告訴具體的數(shù)值，為“ T時(shí)

3、，工作效率為分?jǐn)?shù)，不帶單位這兩道題我們可以很簡(jiǎn)單的求出工效，但是在實(shí)際工程問題中工效都是“隱藏”在一些條件中的。例：求出甲乙的工作效率 完成一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需要10天，乙獨(dú)做需要15天， 修一段路，甲單獨(dú)修要10天，乙修6天修了這段路的-。5修一段路，甲2天修了這段路的-，乙修8天修了這段路的-。515求工作效率時(shí)通常都是：找準(zhǔn)工作時(shí)間對(duì)應(yīng)的工作量。然后利用工作量除以工作 時(shí)間。二關(guān)于合作（在一些工程問題中，出了單干之外，往往還涉及到合作）導(dǎo)入：媽媽買了 20個(gè)蘋果，要求姐姐每天吃4個(gè)，弟弟每天吃1個(gè)，姐弟一起吃，問這些蘋果多少天能被吃完？分析表格如下：合作的工效姐姐的工效：4 （個(gè)/天）弟弟

4、的工效：1 （個(gè)/天）所以姐弟一起就要吃：1+4=5 （個(gè)/天）合作工效：各自的工效之和合作的時(shí)間20-（ 1+4） =4（天）他們合作4天就 把蘋果吃完了，即姐姐吃了 4天，弟 弟也吃了 4天。合作時(shí)間：合作的時(shí)間等于各自單獨(dú)的工作時(shí)間合作的工作總量弟弟吃的蘋果：1 X 4=4 （個(gè)） 姐姐吃的蘋果：4X4=16 （個(gè)）合做工作總量：等于各自 的工作量之和。簡(jiǎn)單練習(xí)：1:完成一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需要10天完成，乙獨(dú)做需要15天完成過，那么甲乙合作，合作的工作效率是2 :甲乙合做6天，：甲做天，乙也做天3：完成一項(xiàng)工作，甲乙先合作20天，再由乙單獨(dú)做5天完成這項(xiàng)工作，那么乙的做了天，甲做了 。（強(qiáng)

5、調(diào)工作總量不變）114:甲乙合作完成一項(xiàng)工程，甲做了全部的 丄，乙做了全部的丄，貝U兩人合作一23共完成這項(xiàng)工程的。例題解析類型一：一般工程問題導(dǎo)入：修一段路，甲單獨(dú)完成要10天，乙單獨(dú)完成需要15天。甲乙合作多少天 可以完成？分析：?jiǎn)栴}求的是工作時(shí)間，那么我們只需要找出工作總量和工作效率即可。題中不知 道工作總量的具體數(shù)量，所以我們假設(shè)為單位“ 1”。甲乙合作那么合作的工作效 率應(yīng)該是甲的工作效率加乙的工作效率。111甲乙合作的效率也就是：丄+丄=丄10 15 61完成的時(shí)間：1十丄=6 （天）6通過這道題，我們就可以看出，一般的工程問題應(yīng)用題由兩個(gè)部分組成， 前一個(gè) 部分提供“工作效率”，

6、而后一個(gè)部分主要是提供“工作方法”。1例1: 一件工作，甲5小時(shí)完成全部工作的-，乙6小時(shí)又完成剩下任務(wù)的一半，4最后余下的部分由甲、乙合做，還需幾小時(shí)才能完成？分析：此題要求余下的部分甲乙合作要多少天， 我們只要知道余下的工作量是多少，和甲乙合作的工效即可。1 1 111解：甲的工效：5=乙的工效：（1- ）X寧6=4 20 4 2 16甲乙合作的工效：丄+丄=220 16 80余下的工作量：1- - - - x丄=34 428合作的天數(shù)；3十2=1° （小時(shí)）8803小結(jié)：在解決工程問題時(shí)，我們一般從問題出發(fā)，理清解決問題所需要的條件, 然后再題目的已知條件中去尋找所需要的條件。

7、并且工作量，工作時(shí)間，工作 效率三者一定要對(duì)應(yīng)。即：用什么工作方法在哪段時(shí)間內(nèi)完成了哪一部分工作練習(xí)：?jiǎn)为?dú)完成某項(xiàng)工程，甲、乙、丙分別需要 10小時(shí)、15小時(shí)、20小時(shí)。開 始三人一起干，后因工作需要，甲中途調(diào)走，結(jié)果共用了6小時(shí)完成這項(xiàng)工作。問甲實(shí)際工作了多少小時(shí)？類型二：用組合法解工程問題例題2：完成一項(xiàng)工作，甲隊(duì)單獨(dú)做30天完成。現(xiàn)甲乙兩隊(duì)合做15天后，甲隊(duì) 有任務(wù)調(diào)離。乙隊(duì)再做9天完成了任務(wù)，問這項(xiàng)工作由乙單獨(dú)完成需要多少天？ 分析：工作方法中提供的工作時(shí)間有“甲乙合作 15天”和“乙單獨(dú)做9天”但 是題中提供的效率是甲的效率，并不是成對(duì)應(yīng)關(guān)系。工作效率不能改變，那么就 需要我們把工作

8、方法改變一下，改變成與效率對(duì)應(yīng)的甲的工作時(shí)間。工作方法改成：甲先單獨(dú)做15天，余下的由乙做了（ 15+9=24）天完成。為什么要改變工作方法：題目中給的工作方式與工作效率不對(duì)應(yīng)。為什么能改變工作方法：因?yàn)椴徽撛趺锤淖児ぷ鞣绞剑麄€(gè)工作除了甲做的就是 乙做的。整個(gè)工作總量不變。11甲的工作量：丄X 15=1302這道題就可以很簡(jiǎn)單的求出:1乙的工作量：一211 十(1X 15)- 24=48 (天)30例題3： 一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合做8天可以完成，現(xiàn)由甲隊(duì)先做6天，余下的任 務(wù)由乙隊(duì)獨(dú)做10天完成。問乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需要多少時(shí)間？ 分析：工作方法提供的時(shí)間是甲、乙單獨(dú)做的時(shí)間，而可以求出的效率

9、是甲乙合 作的效率，并不是成對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣也需要我們轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化成：甲乙合作了 6天余下的由乙單獨(dú)做了 4天完成。甲乙合作的工作量：1 X 6=3乙一844這道題就可以很簡(jiǎn)單的求出：1 （1 X 6）- 4=16 （天）8根據(jù)例題2、3我們可以得出解決工程問題中“分”與“合”的方法。例題四中是單獨(dú)的甲的效率，時(shí)間與效率不對(duì)應(yīng)，我們就進(jìn)行“拆分”。例題五中題中提供的是甲乙合作的效率， 時(shí)間與效率也不對(duì)應(yīng)，我們就進(jìn)行“合 并”?？偨Y(jié)：提供的是單獨(dú)的效率就把工作方法“拆分”提供的是合作的效率就把工作方法“合并”練習(xí)：甲乙兩隊(duì)合做，20天可完成一項(xiàng)工程。先由甲隊(duì)做 8天，再由乙隊(duì)做12天，還剩下這項(xiàng)工程

10、的 -。甲乙兩隊(duì)獨(dú)做各需多少天？15類型三：兩兩合作工程問題例4： 一件工程，甲乙合作需6天完成，乙丙合作需9天完成，甲丙合作15天 完成?，F(xiàn)在甲乙丙三人合作需多少天完成？分析：要求甲乙丙三人合作完成的天數(shù)，我們只要知道甲乙丙三人的合作工效即 可。題目中告訴了我們甲乙丙三人每?jī)扇说暮献鞴ば?。列式表示可得?11甲+乙=一，乙+丙=-，甲+丙=6915三個(gè)等式中甲乙丙各出現(xiàn)了兩次，把三個(gè)等式加起來(lái)可得：3131312 X甲+2X乙+2X丙二31，即：2X（甲+乙+丙）二31，甲+乙+丙=亠丄9090180甲乙丙三人合作完成的天數(shù)：1十衛(wèi)丄二型（天）18031練習(xí)：某項(xiàng)工程，甲乙合作6天可以完成，

11、乙丙合作需8天，甲丙合作則需12 天。問三人合作幾天可以完工？甲乙丙單獨(dú)做此工程各需幾天完工？類型四：假設(shè)法工程問題例5： 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做15天完成。這項(xiàng)工程，先由甲做了若干天后，再由乙單獨(dú)完成，從開工到完成共用18天。求甲乙兩人各 做了多少天？分析：完成這項(xiàng)工程甲乙的工作方式為甲先做，再有乙做，共用18天，要求甲乙各做了多少天，這種題型跟我們以前學(xué)的小兔子晴雨天采蘑菇為同一種 類型的題。所以我們可以用假設(shè)法來(lái)解此題。已知甲的工效：丄，乙的工20效115解法一：假設(shè)這18天全部是有甲來(lái)做。那么甲這18天總共完成的工作量為：18X丄=2，比整個(gè)工程還少了 - o20 10

12、 10（為什么會(huì)少？） 我們?cè)诩僭O(shè)全部由甲來(lái)做的時(shí)候， 是把乙換做了甲，那111么每換一天，甲就要比乙少做 丄-丄二丄15 2060總共少了丄，把乙換做了甲，每天少做丄，所以乙換的天數(shù)就為：丄十10 60 101一=6（天）甲做的天數(shù)就為：18-6=12 （天）60注意：如果開始假設(shè)全部的天數(shù)是甲做的，求的結(jié)果就是乙（同學(xué)們假設(shè)全部由乙來(lái)做）解法二：由題意可知，整個(gè)工程不是由甲做的的，就是由乙做的。整個(gè)工程量為1，甲乙的工效我們知道，完成的總天數(shù)我們也知道。所以此題我們還有可 以用方程來(lái)解。解：設(shè)甲工作 天，則乙工作（18-）天。1 1丄 x + 丄（18-） =12015=12乙工作的天數(shù)：

13、18-12=6 （天）練習(xí)：一件工程，甲獨(dú)做需20天完成，乙獨(dú)做需12天完成。這件工程，先由甲做了若干天，然后由乙繼續(xù)做完，從開始到完工共用14天。問甲乙兩人各做了多少天？例6： 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做需要15天完成，乙隊(duì)獨(dú)做需要30天完成，丙隊(duì)獨(dú)做 需要45天完成。現(xiàn)在由甲乙丙三隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程。 在工程過程中，甲 隊(duì)休息1天，乙隊(duì)休息2天，丙隊(duì)休息了 4天。求完成這項(xiàng)工程前后一共用了多少天?分析：此題的工作方式中，甲乙丙都各自休息了若干天。他們的工作時(shí)間就不能確定，那么我們可以假設(shè)甲乙丙三人沒休息，那么甲休息一天的工作量1X丄=丄，乙休息兩天的工作量為2X丄=丄，丙隊(duì)休息4天的工作量為15

14、1530 154X丄=幺。我們假設(shè)他們都沒有休息。那么他們?nèi)顺隽税言镜摹?1”4545的工作量做完之外，還要做多（丄+丄+彳），總工作量就為151545(1+2 +1+1545114111解法:（1+一 +一 +）*（ 一 +一 +）15 15 4515 30 455511.4590=10（天）解法二：（同學(xué)們自己完成。列方程）練習(xí)：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需要30天，乙單獨(dú)完成需要45天，丙單獨(dú)完成需 要90天。現(xiàn)在由甲乙丙三隊(duì)合作完成此工程。在完成這項(xiàng)工程的過程中， 甲休息2天，乙休息3天，丙沒有休息，求完成這項(xiàng)工程前后一共用了多 少天？小結(jié)：對(duì)于題目中出現(xiàn)了某隊(duì)“休息”或做了“若干天”，

15、這種工作時(shí)間不確定的題型，我們一般采用假設(shè)法來(lái)做。當(dāng)然也可以通過列方程的方法來(lái)做。類型五：消元法解工程問題 導(dǎo)入：完成某項(xiàng)工程，甲做11天，乙做2天，可以完成這項(xiàng)工程的 -;甲做111237天，乙做4天，可以完成這項(xiàng)工程的37。求甲乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作各需多60少天?分析：要求甲乙單獨(dú)完成工作需要的天數(shù)， 只要知道甲乙的工作效率即可。 題目中告訴了我們兩種不同的工作方式。列出這兩種工作方式可得:1111r x甲的工效+2X乙的工效 丄12X甲的工效+4X乙的工效二3760對(duì)比兩個(gè)等式我們可以發(fā)現(xiàn)，第二種比第一種多完成了可-丄=2，是因60 12 60 為乙多做了 2天，所以我們可得：乙的工作效率為 寧2=丄。60 60把乙的工作效率帶入任意一個(gè)等式即可求出甲的工效甲的工效：（右60201寧11 =20 （天）201寧1=60 （天）即：甲單獨(dú)完成需要乙單獨(dú)完成需要1 1丄 X 2）十 11=二小結(jié)：此類題型往往會(huì)出現(xiàn)兩種情況，我們把兩種情況列出來(lái)，通過對(duì)比法，可以消去一個(gè)未知量，用這樣的方法消去未知量，通常稱為“消元法”例題7：完成某項(xiàng)工程，甲做4天，乙做5天，可以完成這項(xiàng)工程的-;乙做33天，甲做6天，可以完成這項(xiàng)工程的 -。求甲乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作各需多10少天？分析：此題跟導(dǎo)入題一樣，所以我們可以根據(jù)兩種工作方式列出等式一 24 f X甲的工效+5X乙的工效二33