用圓錐曲線的定義求一類最值問題-

1、用圓錐曲線的定義求一類最值問題安永宏1石永福21.西北師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué),甘肅蘭州730070;2.西北師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)室與設(shè)備管理處,甘肅蘭州730070摘要:數(shù)學(xué)定義是揭示數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的邏輯方法.用數(shù)學(xué)定義解題,就是抓住數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵,運(yùn)用清楚確切的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行邏輯推理、演算、變形,直接得出所要的結(jié)論,熟練掌握并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)定義解題,?？色@得簡捷合理的解題途徑,本文剖析幾例運(yùn)用圓錐曲線的定義求一類最值問題,以期強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)定義在解題中的作用.關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)定義;圓錐曲線;最值定義是分析、解決問題的重要依據(jù),巧妙簡捷的解題常常來源于對(duì)定義的恰當(dāng)合理的應(yīng)用,只有熟練掌握定義的本質(zhì)屬性,把握其內(nèi)涵與外延,才

2、能靈活地應(yīng)用定義解題.利用代數(shù)的方法研究幾何問題是解析幾何的基本特點(diǎn),因此,在解題的過程中計(jì)算量比較大,對(duì)運(yùn)算能力有較高的要求,但計(jì)算要根據(jù)題目中曲線的特點(diǎn)和相互之間的關(guān)系進(jìn)行,所以曲線的定義和性質(zhì)是解題的基礎(chǔ).橢圓、雙曲線、拋物線除了有各自的定義外,同時(shí),這3種曲線均為平面截圓錐面所得的截線,其本質(zhì)是統(tǒng)一的,只是由于平面與圓錐軸線交角的不同而產(chǎn)生這3種曲線的差異.即:¹當(dāng)截面與圓錐底面的夾角小于圓錐母線與圓錐底面的夾角時(shí),截線是橢圓;º當(dāng)截面與圓錐底面的夾角等于圓錐母線與圓錐底面的夾角時(shí),截線是拋物線;»當(dāng)截面與圓錐底面的夾角大于圓錐母線與圓錐底面的夾角時(shí),截線

3、是雙曲線,為了同時(shí)得到雙曲線的兩支,可以用平面去截對(duì)頂圓錐(把圓錐的每一條母線向兩方無限延長得到,有兩葉,有共同的錐頂.希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作5匯篇6中,完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義,并對(duì)這一定理進(jìn)行了證明.他指出,平面內(nèi)一定點(diǎn)F和一定直線A B,從平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M向AB引垂線,垂足為C,若|M F|B|MC|的值一定,則當(dāng)|MF|B|M C|的值小于1時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓,等于1時(shí)是拋物線,大于1時(shí)是雙曲線,該定義一直沿用至今.以圓錐曲線為載體的最值問題的求解,是解析幾何中的一類重要問題.既然圓錐曲線有統(tǒng)一的定義,那么,當(dāng)已知定點(diǎn)在某類圓錐曲線的內(nèi)部時(shí),求與曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的這類最

4、值問題,若能靈活運(yùn)用圓錐曲線定義,從兩種定義出發(fā),將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的問題,通過數(shù)形結(jié)合可得出解決問題的方案,往往會(huì)化難為易,化繁為簡,有快捷準(zhǔn)確、簡潔明了之效.下面舉例說明用圓錐曲線的定義求一類最值問題.例1已知點(diǎn)M和F分別是橢圓x225+ y29=1上的動(dòng)點(diǎn)和右焦點(diǎn),橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)B(2,2.求:(Ñ|M F|+|MB|的最大值及最小值;(Ò54|MF|+|M B|的最小值.解(Ñ設(shè)F c為橢圓的左焦點(diǎn),由橢圓59第28卷第10期2009年10月數(shù)學(xué)教學(xué)研究收稿日期:2009-08-25第一定義得|MF c |+|MF |=2a =10,即 |MF |=1

5、0-|M F c |,|MF |+|M B |=10-|MF c |+|MB |=10-(|M F c |-|MB |,在v MF c B 中,|MF c |-|MB |F c B |=210,即 -210|M F c |-|M B |210,當(dāng)且僅當(dāng)M ,F c ,B 三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào) .圖1如圖1可知當(dāng)M 處于M 1位置時(shí),|MF c |-|MB |取最大值210,此時(shí)|MF |+|MB |的最小值為10-210;當(dāng)M 處于M 2位置時(shí),|MF c |-|MB |取最小值10-210,此時(shí)|M F |+|MB |的最大值為10+210.(Ò作MH 垂直右準(zhǔn)線x =254于H ,由

6、橢圓第二定義得|M F |MH |=e =45.即 |MF |=45|MH |.則54|M F |+|MB |=|M H |+|M B |.作BH 1垂直右準(zhǔn)線x =254于H 1,交橢圓于M 1, 由直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的連線圖2中,垂線段最短可知|MH |+|MB |BH 1|=174.如圖2可知,當(dāng)M 處于M 1位置時(shí),54|MF |+|MB |取最小值為174.例2 已知雙曲線x 2 16-y 29=1內(nèi)有一點(diǎn)A (6,3,F 為其右焦點(diǎn),P 為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn),求|P F |+|P A |的最小值.解 設(shè)F c 為雙曲線的左焦點(diǎn),由雙曲線第一定義得|PF c |-|PF |=2a

7、 =8,即 |PF |=|P F c |-8,則 |PF |+|P A |=|PF c |+|PA |-8.在v P F c A 中,|PF c |+|PA |F c A |=130,當(dāng)且僅當(dāng)P,F c ,A 三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).圖3如圖3可知?jiǎng)狱c(diǎn)P 處于P 1位置時(shí),|P F c |+|P A |取最小值130,此時(shí)|P F |+|P A |的最小值為130-8.例3 拋物線y 2=4x 內(nèi)有一點(diǎn)A (3,2,F 為其焦點(diǎn),P 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求|PF |+|P A |的最小值.解 作P K 垂直準(zhǔn)線x =-1于K ,由拋物線的定義得|P F |=|P K |,即|PF |+|P A |=|PK |+|PA |.圖4作A K 1垂直準(zhǔn)線x =-1于K 1,交拋物線于P 1,P 由直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的連線中,垂線段最短可知|PK |+|PA |AK 1|=4.如圖4可知,當(dāng)P 處于P 1位置時(shí),|P F |+|P A |取最小值為4.參考文獻(xiàn)1 章幸辛.例析運(yùn)用數(shù)學(xué)定義解題J.中學(xué)數(shù)學(xué)研