中北大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題冊(cè)第三章完整答案詳解

1、X-1-20 12P0.10.20.40. 10.21.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為Jt-1-f-00=匚(1")去9dx + "匚占， p-wo I h!A-f-x -El=J f久df + “J 莎e dx = 注：關(guān)于絕對(duì)收斂性1 -覘X e 人 ax22IT dx試il算：£(X+2X£(jx|l£(X+2)o 解：£(X+2) =lx0.l+0x0.2 + 2x0.4+3xO.I + 4xO.2 = 2£(|X|)=lx0.1 + 2x0.2+0x0.4+IxO.I + 2xO.2 = l£(X+2)=3x0.

2、1 + 6x0.2+2x0.4+3x0 1 +6x0.2 = 3.82.設(shè)隨機(jī)變雖X的分布列為：Px = k= pqi' ,k = 123，其中 p 為常 數(shù)，0< p<l, q = - P 0 求 £(X), D(X)。解：£(X) = W*JIjt-1X-I=弘+1)-£燈A-0A-l蘭*11=2> =-爲(wèi)1 -0 p+00EX*工k、屮X-I=D (k _ 1)"嚴(yán) + X k寸'k2A-l-H»H-W=D(2)宀 2?(-1心上A-2A-2P+00-HOCI=心+1)/-)/+-*1X-2P£

3、2+丄wp=y切嚴(yán)+丄=絲+丄P 匕P P' P所以，D(X) = £(X-)-£'(X)_2q11 _ q= 7 +=P" p p 73.設(shè)隨機(jī)變SX的概率密度函數(shù)為 /(x) = ；exp-l.其中兄 >0 為常 2ZA數(shù)，求E(X)。嚴(yán) 1 -冋解：EX=Jjh X ck口<匚卜-“|£-9心+ |“|匸甘e占dv1 HIf=Ch 心+網(wǎng)訂京 心+網(wǎng) =2+|/1 卜”1匚= £A + 汽 0 =乎）當(dāng)A>0時(shí)_AjyRf + hd/=-J (/lZ + /)e'd/+ J “(2f +“)ed

4、+(加 + )由+(幾+)_ £=(2_)+ 兒 一P_2 + 兄e久/W='( “=Ze + / 2 + 2eV上=2/ie / +2“當(dāng)“<0時(shí)J |加 + “|6-"缶=-(加 +“)ed上+ >、(Az + /)e"dz + J "(加 + A)e"dz(“£=2/1" 2“綜上所述，我們有也je 兒 dv =1 “ I +Ae "4設(shè)隨機(jī)變量X表示圓的半徑，X的概率密=J f(l + x)dx +J：x(l_;v)dADX=J(x-0)V(x)cLv=J (l + x)tk +

5、63;A-(l-x)dr"12 0 一 66.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變SX的概率密度函數(shù)為: k a<x<b0 其它 且E(X) = 0,D(X) =才試求k“b 解：由于/(X)是X的概率密度，所以有J f (x)d% = J kdx = k(h a) = a<x<bh-a0 其它k =h-a求圓的周長(zhǎng)厶和而積S的數(shù)學(xué)期望。 解：£(L) = £(27rX)匕如字-a = -h<0./> Y=2兀| cU = ( + ")£(S) = E(7tX2)eh v-h- I所以 D(X) = L,-dA=T = 3所以b

6、= l,從而a = -,k = -27.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為5.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:-l<x<2 + x f (x) = « 1-x 0-1 </<00 < X < 1其它試求X數(shù)學(xué)期望和方差。 解：EX=JM(x)dx-I X >00 X =0,1 X <0求 D(r)o解.py = = px<0£(y)= -200x|l-e J + IOOxe *= 300xe $-200a33649.設(shè)二維隨機(jī)變M（x,y）的聯(lián)合分布律為120r-10121033=£/(x)dv=£ldv=

7、l py=_l = pX>0 = j77(x)dr = ficU = | Py = -l = PX=O = O 所以Y的分布律為12試求 E(X ) E(X 一 y), E(XYl E(X '+y')o2 1 1£(r) = -lx- + 0x0 + lx- ='，333£(r') = (-l)-x- + O'xO + Pxi =8_98.工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X （以年計(jì)）的概率密度為D（r）= £（y-）-（£r）'3)/W=一& °x>00x<0工廠規(guī)ik,出售的

8、設(shè)備若在售出一年之內(nèi) 損壞可予以調(diào)換。若工廠售岀一臺(tái)設(shè)備贏 利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300 元。試求廠方岀售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué) 期望。解：設(shè)F表示岀售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利為F元，則 p（y=_2oo）=p（x V1）=f 丄話 dziL J-00 4p(r = ioo)=p(x>i)= l-P(X<l) = e 4解：£（X）= -lX 1V6 412+0x + 112 4 丿E(x-Y) = XE(Xf-yJs= /-I /-I1 乙3 35E(XY)=丈乞兀旳幾=-jy/-I >-|1 乙3 31 2£" + 尸)=工+ £

9、)內(nèi)=H r-l j-1AZ2 -112d1P00,250.250*47025000.25“pp10.設(shè)隨機(jī)變量X與y的聯(lián)合分布律為試證明：X與Y不柑關(guān)，且不柑互獨(dú)立。 并試著寫(xiě)出X,Y之間的關(guān)系來(lái)說(shuō)明X,Y的 不相關(guān)性。=rrxJo Jodvdx12dvdx=rJu12血(W)dydx=L2x + y4100. 250. 2500.540. 25000.250.5Pr.0. 250. 250. 250. 25其中 P,=PX=x,.p,.=PY = y.EX =x小=()EY = 1xO5+4xO5 = 25,Exy =為工pw=o,從而r-l 丿Cov（x,y）=£（xy）-&#

10、163;（x）£（y）=o：所 以，X與y不相關(guān)：0 =/如HpjpjHO, 所以X打y不相互獨(dú)立由于顯然x?的分布律與y完全相同，所以 有y = x這表明X與y之.間沒(méi)有線性關(guān) 系，即它們不相關(guān)。1L設(shè)隨機(jī)變M（x,r）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為-(2a-+v) 0<A-<I,0<y<24"0其它求：E(X),D(X),E(X + y),E(Xy)。解：£(*)=匚匚<(兀刃電心，2i+y、4,=£E(0) =匸匚心 a，y)dycUJo Jo(、 -r , ,5+牙 dr =I 2D(X) = EX)-EXy = £

11、(x+y) = J2 匚(x+y)/(3)d.uu，2x+y、4,(2 3 J.、3 2"廠E(燈*匚匚3(")a皿d>dr/（2亠 2U）312.設(shè)隨機(jī)變量（x,y）的聯(lián)合槪率密度為 '8at 0 < X < y < 1 0 其它試求 C"（X,y）, D（X-Y）. 解：E（X）=匚匚對(duì)（x,y）d.vcU=J：f Wyd燦= J：4（K）dx = E（x2） =匚匚*予（3）4皿=JJ= J：4(.F")dY D(X) = £(X2)-(EX)2= E(Y)=匚匸"(兒 y)avck=J；f由于X

12、 t/l(K30,瓦概率密度函數(shù)為g(x)=/Gv) = 20010<x <30其它引廠卜匚匚円(3)4皿 =£ J 8q怙ydx = £2(x-?)dx = | D(r)= £(r)-(£r/ = AE(XY) = J匚砂(3)4曲=J Wy'dydx =J:糾陸冷 cov(x,y) = £(xr)-£(x)£(r)4844=X =9 15 5225D(x-r)= D(x)+p(y)-2cov(x,y)11 2 8 1=+=225 75 2252513.設(shè)某商品每周的需求量X服從分布 "10,

13、30,而經(jīng)銷(xiāo)商店進(jìn)貨量為區(qū)間10.30' 中的某一整數(shù)，商店每銷(xiāo)售一件商品可獲利 500元。若供大于求則削價(jià)處理，每處理一件 商品虧損100元：若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào) 劑供應(yīng)，此時(shí)每件商品僅獲利300元。為使商 店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元，試確定最 少進(jìn)貨量。解：設(shè)進(jìn)貨y (IO<y<3O)件，則商店獲利為 Moox-ioob-x) 10<X<y 500y + 300(X-y) y<X<30 '600X-100>' 10<X<>' 3OOX+2OOy y<X<30所以商店所獲利潤(rùn)期望值為E(g(X) =匸 g(x“(x)cU=(600x -100y) cLv1 "o"、+ A£ (300x + 400>)dv= -yr+350>' + 5250>9280解此不等