有關(guān)角平分線的輔助線做法-含例題與分析.

1、由角平分線想到的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性； b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下， 出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線EA（一）、截取構(gòu)全等如圖 1-1 ， AOC=BOC，如取 OE=OF，并連ODC接 DE、 DF，則有 OED OFD，從而為我們證FBA圖1-1明線段、角相等創(chuàng)造了條件。E例1 如圖 1-2 ，AB/CD， BE平分

2、 ABC，CE平分 BCD，點(diǎn) E 在 AD上，求證：BC=AB+CD。BF分析：此題中就涉及到角平分線，可以利圖1-2用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形， 同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。DC簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取 BF=AB，再證明 CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三

3、角形。另外一個(gè)全等自已證明。 此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與 CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例2已知：如圖 1-3 ，AB=2AC， BAD=CAD，DA=DB，求證 DCAC分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。ACEDB圖 1-3例3已知：如圖 1-4 ，在 ABC中， C=2 B,AD 平分 BAC，求證： AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線， 在證明A中還要用到構(gòu)造全等三角形， 此題還是證明線段的和差倍分問題。 用到的是截取法來(lái)證明的， 在長(zhǎng)的E線段上截取短的線段， 來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？CBD練習(xí)

4、圖 1-41已知在 ABC中， AD平分 BAC， B=2C，求證： AB+BD=AC2已知：在 ABC中， CAB=2B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC，求證： AE=2CE3已知：在 ABC中， AB>AC,AD為 BAC的平分線， M為 AD上任一點(diǎn)。求證： BM-CM>AB-AC4已知： D是 ABC的 BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證： BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問題。A例1 如圖 2-1 ，已知 AB>AD,

5、BAC= FAC,CD=BC。求證： ADC+B=180分析：可由 C 向 BAD的兩邊作垂線。近而證 ADCDFE與 B 之和為平角。BC圖 2-1例2 如圖 2-2 ，在 ABC中， A=90，AB=AC， ABD= CBD。求證： BC=AB+ADA分析：過(guò) D 作 DEBC于 E，則 AD=DE=CE，則構(gòu)造出D全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。BCE圖2-2例3 已知如圖 2-3 ， ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn) P。求證： BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn) P。A分析：連接 AP，證 AP平分 BAC即可，也就是證 P 到 AB、AC的距離

6、相等。NMDFBPC練習(xí)：圖 2-31如圖 2-4 AOP=BOP=15 ， PC/OA，PDOBA，C如果 PC=4，則 PD=（）POADA4B3C2D 1圖2-42已知在 ABC中， C=90， AD平分 CAB，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC。3已知：如圖 2-5,BAC=CAD,AB>AD，CEAB，ADEBC圖 2-51AE=2 （ AB+AD）. 求證： D+ B=180。4. 已知：如圖 2-6, 在正方形 ABCD中， E 為 CD 的中點(diǎn)， F 為 BC上的點(diǎn)， FAE=DAE。求證： AF=AD+CF。5 已知：如圖 2-7 ，在 Rt ABC中， ACB=

7、90 ,CDAB，垂足為 D，A E 平分 CAB交 CD于 F，過(guò) F 作 FH/AB 交 BC于 H。求證 CF=BH。ACDEEFHBFCADB圖2-6圖 2-7（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖 3-1 ， BAD=DAC，AB>AC,CDAD于 D，H 是1求證： DH= （AB-AC）2分析：延長(zhǎng) CD交 AB于

8、點(diǎn) E，則可得全等三角形。問題可證。B例2 已知：如圖 3-2 ， AB=AC， BAC=90 ，AD為 A BC的平分線， CEBE.求證： BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的B垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。BC中點(diǎn)。ADCEH圖示 3-1FAEDC圖3-2例 3已知：如圖 3-3 在 ABC中， AD、AE分別 BAC的內(nèi)、外角平分線，過(guò)頂點(diǎn) B 作 BN垂直 AD,交 AD的延長(zhǎng)線于 F，連結(jié) FC并延長(zhǎng)交 AE于 M。求證： AM=ME。AMBDCE分析：由 AD、AE 是 BAC內(nèi)外角平分線，可得EAFN圖3-3 AF，從而有 B

9、F/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4 ，在 ABC中， AD 平分 BAC， AD=AB，CM AD 交 AD1延長(zhǎng)線于 M。求證： AM= （AB+AC）2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以 AD為軸作對(duì)稱變換，作 AB1D 關(guān)于 AD的對(duì)稱 AED，然后只需證DM= EC，另外2由求證的結(jié)果AM=1 （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可2AEF嘗試作 ACM關(guān)于 CM的對(duì)稱 FCM，然后只需證 DF=C BDnCF 即可。M圖 3-4練習(xí)：1已知：在 ABC中， AB=5， AC=3， D 是 BC中點(diǎn)， AE 是 BAC的平分線，且 CEAE于 E

10、，連接 DE，求 DE。2已知 BE、BF 分別是 ABC的 ABC的內(nèi)角與外角的平分線， AFBF1于 F，AE BE于 E，連接 EF分別交 AB、AC于 M、 N，求證 MN= BC2（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)， 常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1 和圖 4-2 所示。CAHDIFEBCGAB圖 4-2圖 4-1例 4 如圖， AB>AC, 1=2，求證： ABAC>BDCD。CA1D2B例 5 如圖， BC>BA，BD平分

11、 ABC，且 AD=CD，求證： A+C=180。ABDC例 6 如圖， ABCD， AE、DE分別平分 BAD各 ADE，求證： AD=AB+CD。DCEAB練習(xí)：1. 已知，如圖， C=2A，AC=2BC。求證： ABC是直角三角形。ACB2已知：如圖， AB=2AC， 1=2，DA=DB，求證： DCACA1 2CBD3已知 CE、AD是 ABC的角平分線， B=60°，求證： AC=AE+CDAEBDC4已知：如圖在 ABC中， A=90°，AB=AC，BD是 ABC的平分線，求證：BC=AB+ADADBC（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例 6如

12、圖 7， ABC是等腰直角三角形， BAC=90°， BD平分 ABC交 AC 于點(diǎn) D，CE垂直于 BD，交 BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。求證： BD=2CE。證明：延長(zhǎng) BA，CE交于點(diǎn) F，在BEF和BEC中， 1=2，BE=BE， BEF=BEC=90°， BEFBEC， EF=EC，從而 CF=2CE。又 1+F=3+F=90°，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC， BAD=CAF= 90°， ABDACF， BD=CF， BD=2CE。注：此例中 BE是等腰 BCF的底邊 CF的中線。（六）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中， B=60°， ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn) O，求證： OE=ODAEO2：（06 鄭州市中考題）如圖， ABC中，A BCDD 平分 BAC， DG BC且平分 BC，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）說(shuō)明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的長(zhǎng) .AEGBCFD中考應(yīng)用（06 北京中考）如圖， OP是 MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P 所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答