2019年高考數(shù)學(xué)理科全國1卷19題解析幾何說題

1、2019年高考數(shù)學(xué)理科全國1卷19題說題已知拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F,斜率為3的直線l與C的交點(diǎn)分別為AB,與x軸2的交點(diǎn)為P。uuuuuu(1)若|AF|BF|4,求l的方程.(2)若AP3PB,求|AB|【背景】本題是2019年高考數(shù)學(xué)理科全國1卷19題。對(duì)比往年的圓錐曲線大題,可見今年理科的圓錐曲線大題有降低難度、減少運(yùn)算量的趨勢(shì)【分析】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到平面向量、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用。解題的第一個(gè)關(guān)鍵是能通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過韋達(dá)定理構(gòu)造等量關(guān)系；第二個(gè)關(guān)鍵是要善用轉(zhuǎn)化與化歸思想：用拋物線的定義轉(zhuǎn)uuruuuu化|AF|BF|4,用相似

2、二角形或線性運(yùn)算破譯AP3PB。本題的弟一向來自于教材,稍高于教材，是2018年全國二卷圓錐曲線大題的改編題，第二問是個(gè)常規(guī)題型，在橢圓、雙曲線及拋物線都出過很多類型題：題源1:【2018年全國I理8】設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且人一，2,“一、一，uuuuuur斜率為-的直線與C父于M,N兩點(diǎn)，則FMFN=()3Ao5Bo6Co7Do8題源2:【2018年全國R卷理】設(shè)拋物線C:y24x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，|AB|8。(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程?！窘夥ǚ治觥柯?lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)

3、定理可構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程求得結(jié)果;、2LUUULU(2)設(shè)直線l:x-ym,聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用AP3PB可得3y13y2,結(jié)合韋達(dá)定理求出y13,y21;根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.m,解法1:(1)設(shè)直線l與x軸交于P(m,0),方程為x-y3yiy2|AF|2一y33x2,m得 y2 2y 3m 0 ,設(shè) A(Xi，y) B(X2，y2),yy23m,=4 12m 0|BF|32/、c 3Xi x -= -(Vi+V2)+2 m+-2 323.545得m, 12 I.2因此直線1的方程為x 3y7日n 3，即 y x122LUL(2)由 APULU3PB,得 y3y2,又 V

4、iy22,從而3y2 y2 2,故y13,y21,代入C的方程得3,x2113,故得 A(3,3) 4，B(3，1)，4.13故|AB|3解法2:設(shè)直線l的方程為y3-xt,A(Xi,yi),BMM，2,由題設(shè)得Xifyxt9由2，得9x212(t1)x4t20,y23x則=144(t-1)2494t2144(12t)0,x1x24(t1)3從而4(t1),得t328因此直線l的方程即y3x222(2)由(1)9x12(t1)x4t2uur2又P-t,0),AP(-tx1,33urnmu2由AP3PB布2t3x2=2t232 2可得刈=一(1+t),x1=2t7840 ,得 X x2-(t 1

5、)3uuu 2y1), PB (3tx1, y1二-3y23 33_解法5 (點(diǎn)差法)：(1)設(shè)直線l的萬程為y -x t, A(x1,y1),B(x2,y2),2故|AB|J1+(1)2|x1x2|3、284.13)-=233解法3:設(shè)直線l的方程為y3xt,A(x1，y)B(x2，y2),由題設(shè)得F(口,0),故24/322/322|AF|BF|5-)小5/y2(%()2 3x1,i(x2 ：)2 3x2(x133一)(x2 一)44x1x2e 42從而得x1x2I,以下略。3.解法4:設(shè)直線l的萬程為y3(xm),A(x1,y1),B(x2,y2),以下略。2由題設(shè)得F(2o),故|AF

6、|BF|XiX23,由題設(shè)得XiX25422由 yi2 y223xi3X2，得3=(%丫2)*一y由拋物線的定義，得|AF| | BF | (3a2 -) (3b2 -) 43(yiy2)x1x225yiy2,弦AB的中點(diǎn)為M(,1)，而且M在拋物線內(nèi)部,4因此直線l的方程為yi44(x2即y3X7,以下略24283b),322解法6:(1)由題設(shè)得F(-,0)，設(shè)A(3a,3a),B(3b,4由l的斜率為3,得a2b2,：a3b2323a3b23c3cc5由拋物線小乂，得1AF|BF|(3a-)(3b-)4ab-C22弦AB的中點(diǎn)為M(3a一3b-,3a3b)(-,1),而且M在拋物線內(nèi)部,

7、22435一37因此直線l的方程為y13(x?),即y3x72428uuuuur(2)由AP3PB,可得03a3(3b0),故a-3b21又由(1)的ab,從而行a1,b331故 A(3,3),B(3, 1),4/13 故 | AB | o3解法7: (1)直線l與x軸的交點(diǎn)為P (m,0),設(shè)A(3a2, 3a),B(3b2，3b),33由題設(shè)得哈0)c的斜率為:,陽2卜23a3b32行ab,一22-ab-,3a23b223uuu_uuu.又AP(m3a2,3a),BP(m3b2,3b),uuuuuu22由AP,BP共線，得3b(m3a2)3a(m3b2)223ab23a2bab3ab222(ab)2(a2b2)7321237因此直線1的萬程為y2（x升，即y、,一，、,3（2）設(shè)P（m,0）,由1的斜率為2,可設(shè)1的參數(shù)萬程為2.mt.13313t（t為參數(shù)）代入y23x,整理得9t26而t39m02設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2則t,t2=-V13uuruuu由AP3PB,得t產(chǎn)況得1尸/13,t2=1故|AB|1t2|=413。33上述解法采用標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程，運(yùn)算量稍大，如用一般形式求解，更加簡(jiǎn)捷xxm2t設(shè)P（m,0）,由l的斜率為3,設(shè)l的參數(shù)方程為（t