曲線的凹凸與拐點

1、3.4 曲線的凹凸與拐點 函數(shù)圖象的描繪課題： 曲線的凹凸與拐點 函數(shù)圖象的描繪目的要求： 掌握判斷函數(shù)圖形的凹凸性、求函數(shù)圖形的拐點等方法，能描繪簡單的常用函數(shù)的圖形（包括水平漸近線和鉛直漸近線）。重點： 判斷函數(shù)圖形的凹凸性、求函數(shù)圖形的拐點難點： 描繪簡單的常用函數(shù)的圖形教學(xué)方法： 講練結(jié)合教學(xué)時數(shù)： 4課時教學(xué)進程：一、曲線的凹凸與拐點1 曲線的凹凸定義和判定法圖1從圖1可以看出曲線弧ABC在區(qū)間內(nèi)是向下凹入的，此時曲線弧ABC位于該弧上任一點切線的上方；曲線弧CDE在區(qū)間內(nèi)是向上凸起的，此時曲線弧CDE位于該弧上任一點切線的下方關(guān)于曲線的彎曲方向，我們給出下面的定義：定義1 如果在某

2、區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其任一點切線的上方，那么此曲線弧叫做在該區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)的曲線弧位于其任一點切線的下方，那么此曲線弧叫做在該區(qū)間內(nèi)是凸的例如，圖1中曲線弧ABC在區(qū)間內(nèi)是凹的，曲線弧CDE在區(qū)間內(nèi)是凸的由圖1還可以看出，對于凹的曲線弧，切線的斜率隨的增大而增大；對于凸的曲線弧，切線的斜率隨的增大而減小由于切線的斜率就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此凹的曲線弧，導(dǎo)數(shù)是單調(diào)增加的，而凸的曲線弧，導(dǎo)數(shù)是單調(diào)減少的由此可見，曲線的凹凸性可以用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性來判定而的單調(diào)性又可以用它的導(dǎo)數(shù)，即的二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定，故曲線的凹凸性與的符號有關(guān)下面給出曲線凹凸性的判定定理：定理1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)（1

3、）如果在內(nèi)，0，那么曲線在內(nèi)是凹的；（2）如果在內(nèi)，0，那么曲線在內(nèi)是凸的(證明從略)例 判定曲線的凹凸性2拐點的定義和求法定義2 連續(xù)曲線上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點叫做曲線的拐點定理2(拐點存在的必要條件) 若函數(shù)在處的二階導(dǎo)數(shù)存在,且點為曲線的拐點,則我們知道由的符號可以判定曲線的凹凸如果連續(xù)，那么當(dāng)?shù)姆栍烧冐摶蛴韶撟冋龝r，必定有一點使0這樣，點就是曲線的一個拐點因此，如果在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們就可以按下面的步驟來判定曲線的拐點:(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求；(3) 令0，解出這個方程在區(qū)間內(nèi)的實根；(4) 對解出的每一個實根，考察在的左右兩側(cè)鄰近的符號如果在的左右兩

4、側(cè)鄰近的符號相反，那么點就是一個拐點，如果在的左右兩側(cè)鄰近的符號相同，那么點就不是拐點例 求曲線的凹凸區(qū)間和拐點解 （1）函數(shù)的定義域為；（2）；（3）令，得；（4）列表考察的符號（表中“”表示曲線是凹的，“” 表示曲線是凸的）：1-0+曲線拐點由上表可知，曲線在內(nèi)是凸的，在內(nèi)是凹的；曲線的拐點為例 求曲線的凹凸區(qū)間和拐點例 問曲線是否有拐點？圖2要注意的是，如果在點處的二階導(dǎo)數(shù)不存在，那么點也可能是曲線的拐點例如，函數(shù)在點處的二階導(dǎo)數(shù)不存在，但是點是該函數(shù)的拐點(圖2)二、函數(shù)圖象的描繪前面我們利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性與極值，曲線的凹凸與拐點，從而對函數(shù)的變化性態(tài)有一個整體的了解下面我們將

5、綜合運用這些知識，畫出函數(shù)的圖象在作函數(shù)圖象之前，先介紹曲線的水平漸近線和垂直漸近線的概念1曲線的水平漸近線和垂直漸近線的概念定義3 如果當(dāng)自變量（有時僅當(dāng)或）時，函數(shù)以常量為極限，即那么直線叫做曲線的水平漸近線定義4 如果當(dāng)自變量（有時僅當(dāng)或）時，函數(shù)為無窮大量，即，那么直線叫做曲線的垂直漸近線例如，因為，所以直線和是曲線的兩條水平漸近線；又如，因為，所以直線是曲線的垂直漸近線例5 求下列曲線的水平漸近線和垂直漸近線；（1）；（2）解 （1）因為所以直線是曲線的水平漸近線（2）容易看出，所以直線和是曲線的兩條垂直漸近線又因為0，所以直線是曲線的水平漸近線2 函數(shù)圖象的描繪作函數(shù)的圖象時，如何

6、恰當(dāng)選擇圖象上的點是很重要的以前我們曾運用描點法作函數(shù)的圖象，但是圖象上一些關(guān)鍵的點（如極值點和拐點），卻往往得不到反映現(xiàn)在可以利用導(dǎo)數(shù)先討論函數(shù)在各個部分區(qū)間的主要變化性態(tài)（如單調(diào)，凹凸），以及函數(shù)在定義域內(nèi)的重要的點（如極值點和拐點），從而只需描出少數(shù)的點，就可以把函數(shù)圖象的特性比較準(zhǔn)確地描繪出來利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖象的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域，考察函數(shù)的奇偶性；（2）求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，解出方程0和0在函數(shù)的定義域內(nèi)的全部實根，把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間；（3）考察在各個部分區(qū)間內(nèi)和的符號列表確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，曲線的凹凸性和拐點；（4）確定曲線的水平漸近線

7、和垂直漸近線；（5）計算方程0和0的根所對應(yīng)的函數(shù)值，定出圖象上相應(yīng)的點為了把圖象描繪的精確些，根據(jù)需要有時還要補充一些輔助點，包括曲線與坐標(biāo)軸的交點，然后結(jié)合（3）、（4）中的結(jié)果，把它們連成光滑的曲線，從而得到函數(shù)的圖象現(xiàn)在介紹四個特殊符號以便在列表時能夠形象的表示曲線性態(tài)：“”表示曲線是上升而且是凸的，“” 表示曲線是下降而且是凸的，“” 表示曲線是下降而且是凹的，“” 表示曲線是上升而且是凹的例6 作出函數(shù)的圖象解 （1）函數(shù)的定義域為，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（1） ；令，得；，得；（2） 列表討論如下：012+00+0+曲線極大值1拐點極小值3圖3（4）該曲線無漸近線；（5）再取兩個點綜合以上討論，作出函數(shù)的圖象（圖3）例7 作出函數(shù)的圖象例8 作出函數(shù)的圖象解 （1）函數(shù)的定義域為，顯然為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，因此只討論函數(shù)在上圖象；（2）；令，得；，得；(3) 列表討論如下：01+000+曲線拐點極大值拐點（4）曲線無