因式分解之十字相乘法教案

1、十字相乘法教學(xué)設(shè)計(jì)教師王洪學(xué)生姓名上課日期學(xué)科數(shù)學(xué)年皴教材版本類型知識講解:考題講解:本人課時統(tǒng)計(jì)第（1 ）課時共（1 ）課時學(xué)案主題復(fù)習(xí)課時數(shù)=（全程或具體時間）第（1）課時授課時段教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí)十字相乘法個性化學(xué)習(xí)問題解決十字相乘法的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)、 難點(diǎn)如何進(jìn)行系數(shù)的分解考點(diǎn)分析十字相乘法主要是在解題過程中的一個重要的方法教學(xué)過程學(xué)生活動教師活 動分解因式之十字相乘法我們知道（x+2）（x+3） = /+5x+6,反過來，就得到二次三項(xiàng)式V+5x + 6的因式 分解形式，即父+51+6 =（工+2）（工+3）,其中常數(shù)項(xiàng)6分解成2,3兩個因數(shù)的積，而且 這兩個因數(shù)的和等于一次項(xiàng)的系數(shù)

2、5,即6=2X3,且2+3=5。一般地，由多項(xiàng)式乘法，（x+a）（x+Z?） = x2+（c/+/?）x+",反過來，就得到x2 +(q+Z?)x+q6 = (x+q)(x+Z?)這就是說，對于二次三項(xiàng)式i + px + g,如果能夠把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個因數(shù)a、b的 積，并且a+b等于一次項(xiàng)的系數(shù)p ,那么它就可以分解四式，即 W +內(nèi)+q = /+（4 + ）、+ " = （x + 4乂工+人）。運(yùn)用這個公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù) 為1的二次三項(xiàng)式分解因式。例1把Y+3x + 2分解因式。分析：這里，常數(shù)項(xiàng)2是正數(shù)，所以分解成的兩個因數(shù)必是同號，而2=1乂2=（-1）（-2

3、）, 要使它們的代數(shù)和等于3,只需取1, 2即可。解：因?yàn)?2=1X2,并且 1+2=3,所以父+3x+2 = （x+l）（x+2）例2把Y7x + 6分解因式。分析：這里，常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)，所以分解成的兩個因數(shù)必是同號，而6=1 X6=（-1） X （-6）=2X3=(-2)X(-3),要使它們的代數(shù)和等于-7,只需取-1, -6即可。解：因?yàn)?=(-1) X (-6),并且(-D +因6)=-7,所以x2 -7x + 6= a-i-(-l)x + (-6) = (x-l)(x-6)例3把Y4x-21分解因式。分析：這里，常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)，所以分解成的兩個因數(shù)必是異號，-21可以分解成-21二(-1

4、) X21=lX(-21) = (-3)X7=3X(-7),其中只需取3與-7,其和3+(-7)等于一次項(xiàng)的系數(shù)-4。W： a-2-4x-21= (x+3)x + (-7)= (x+3)(x-7)例4把V+2x 15分解困式。解：因?yàn)門5=(-3)X5,并且(-3)+5=2,所以x2 +2x-15= a- + (-3)(x + 5)= (x-3)(x + 5)通過例1-4可以看出，把r + px + g分解因式時：如果常數(shù)項(xiàng)Q是正數(shù)，那么把它分解成兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項(xiàng)系數(shù)P的 符號相同。如果常數(shù)項(xiàng)Q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個異號因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次 項(xiàng)系數(shù)P的符號相同。

5、對于分解的兩個因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)的系數(shù)P。例5把下列各式分解因式：(1) x4+6x2+8(2) (a+h)2-4(a+b) + 3解：(1)/+6/+8,=所+6,) + 8(。+ 4-4(») + 3=(巧+理(巧+4=)羋/一3 7 口】(4 + 一3)= (x2+2)(x2+4)例6 把/_3町+ 2y2分解因式。分析：把/-3沖+ 2卡看成x的二次三項(xiàng)式，這時，常數(shù)項(xiàng)是2/，一次項(xiàng)系數(shù)是-3y,把2y2分解成-丫與-2y的積，(-y) + (-2y) =-3y,正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)。解：x2-3 + 2/=x2 -3yx + 2y2=(x-y)(x-2y)

6、我們知道，(x+2)(3x+5) = 3f + Ux+10。反過來就得到3/+1以+ 10的因式分解的形式，即 3入"+1 Lv+10 = (x+2)(3x+5)。我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)3分解成1, 3兩個因數(shù)的積：常數(shù)項(xiàng)10分解成2, 5兩個因數(shù)的積： 當(dāng)我們把1,3, 2, 5寫成1/23/X5后發(fā)現(xiàn)1X5+2X3正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)11。由上面例子啟發(fā)我們，應(yīng)該如何把二次三項(xiàng)式心2+以+。進(jìn)行因式分解。(«1X4-C1)(6/2X + C2)我們知道，=«!«2a2 + a1c2x 4- cjc/ + c,c2=a1a2x2 + (。2 + a2c

7、 )x + cic2反過來，就得到 它飛戶+?臼= (X + CJ("2X + C2)我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)。分解成4/，常數(shù)項(xiàng)。分解成GG，并且把, %，。2 排列如下：這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到/ Q + %q,如果它們正好等于，江2+歷：+。的一次項(xiàng)系數(shù)方，那么a/+/u- + c就可以分解成(6Z1x+c1)(a2x+c2),其中%, G位于上圖的上一行，a2,。?位于下一行。像這種借助畫十字交叉分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫 做十字相乘法。必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確 定一個二次三項(xiàng)式能否用十

8、字相乘法分解。例如在上面例子的二次三項(xiàng)式3/+1 £ + 10 中，二次項(xiàng)的系數(shù)3可以分解成1與3,或者-1與-3的積，常數(shù)項(xiàng)10可以分解成1與10, 或者-1與T0,或者2與5,或者-2與-5的積，其中只要選取十字:X相乘就可以了。例7 把下列各式分解因式：(1) 2x2-7x + 3(2) 6x2-7x-5(3) 5x2+6x)-Sy2解:2爐-7x + 3i-3= (x-3)(21)2X>_16/-71-52 / 1=(2x +l)(3x 5)355d+6xy-8y22 / 2y= (x + 2y)(5x-4y)5-4y教學(xué)過程學(xué)生活動教師活 動課堂練習(xí)課后作業(yè)學(xué)生成長 記錄本節(jié)課教學(xué)計(jì)劃完成情況：照常完成口提前完成口延后完成口學(xué)生的接受程度：5&