第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、1.4 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性1.4.1 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義1.7 (函數(shù)在一點的連續(xù)性函數(shù)在一點的連續(xù)性)設(shè)設(shè) 在在 x0 x0 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)有定義有定義, ,)(xf時函數(shù)時函數(shù) 的極限存在的極限存在, ,)(xf0 xx 如果當(dāng)如果當(dāng)且且)()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點 連續(xù)連續(xù),)(xf0 x稱為稱為 的連續(xù)點的連續(xù)點.)(xf0 x;)()1(0處處有有定定義義在在點點 xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 處連續(xù)必須滿足三個條件處連續(xù)必須滿足三個條件: :0)(xxf在在點點說明說明

2、: :函數(shù)函數(shù)),()(00 xfxxfy 所以所以, 在點在點 連續(xù)等價于連續(xù)等價于:)(xf0 x,0 xxx 若若設(shè)設(shè)00 xxx. 0lim0 yx),()(lim00 xfxfxx 若若;)(0處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱xxf),()(lim00 xfxfxx 若若.)(0處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱xxf0 x左連續(xù)左連續(xù)0 x右連續(xù)右連續(xù)xyOxyO顯然顯然, 00)()(xxfxxf在在處處連連續(xù)續(xù)在在定義定義1.8 (函數(shù)在一點左右連續(xù)函數(shù)在一點左右連續(xù))又右連續(xù)又右連續(xù).處既左連續(xù)處既左連續(xù), 或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). .在區(qū)間上每一點都連續(xù)

3、的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù), ,稱該區(qū)間上的稱該區(qū)間上的在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba右連續(xù)右連續(xù) )(lim(xfax )(lim(xfbx左端點左端點ax 右端點右端點bx ,)(baCxf continuous左連續(xù)左連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), ,),()(baCxf )(af)(bf內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù))(xf連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .定義定義1.9 (函數(shù)在區(qū)間連續(xù)函數(shù)在區(qū)間連續(xù))例如例如, , 多項式函數(shù)多項式函數(shù)內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的. 因而因而, 有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點都是連續(xù)的都是連續(xù)的.有

4、理分式函數(shù)有理分式函數(shù), ),(0 xnnnxaxaaxP 10)(),( )()(lim00 xPxPnnxx ,)()()(xQxPxRmn 只要只要,0)(0 xQm都有都有).()(lim00 xRxRxx 因而因而, 多項式函數(shù)在多項式函數(shù)在例例1 1 證明函數(shù)證明函數(shù) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .證證,00處處在在 x.),(,內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在故故 xy . 0, 0,xxxxxy, 0)(limlim00 xyxx, 0limlim00 xyxx所以所以).0(0lim0yyx ,00時時當(dāng)當(dāng) x);(limlim0000 xyxxyxxxx ,00時時當(dāng)當(dāng) x);()(limlim000

5、0 xyxxyxxxx ),( 在在xy證證),(0 x.sinsinlim00 xxxx 2sin2cos2sinsin0000 xxxxxx 002sin2xxxx 由夾逼定理由夾逼定理, , 有有 .),(sin,內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在所以所以 xy.),(cos內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy因因例例2 2 證明函數(shù)證明函數(shù) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),(sin 在在xy同理同理, ,定理定理1.14 (1.14 (函數(shù)四則運算的連續(xù)性函數(shù)四則運算的連續(xù)性) ) 例如例如, ,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx則則點點連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(),(0 xxgxf;)()()1(0連續(xù)連續(xù)在在x

6、xgxf ;)()()2(0連連續(xù)續(xù)在在 xxgxf ).0)()()()3(00 xgxxgxf若若連連續(xù)續(xù)在在故故 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù).xxxxcsc,sec,cot,tan,)(,)(000uxxxu 且且連連續(xù)續(xù)點點在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定理定理1.15 (1.15 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性) )(lim)(lim00 xfxfxxxx .)(,)(00點點也也連連續(xù)續(xù)在在則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)點點連連續(xù)續(xù)在在而而函函數(shù)數(shù)xxfyuufy ).(0 xf 定理定理1.16 1.16 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間I I 上單調(diào)上單調(diào)而而且連續(xù)且連續(xù), , 則其反函數(shù)也單調(diào)且

7、連續(xù)則其反函數(shù)也單調(diào)且連續(xù). .)(xfy 由此由此, , 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .即即三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的. .)1, 0( aaayx;,),(且且連連續(xù)續(xù)內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)在在 )1, 0(log aaxya;,), 0(且且連連續(xù)續(xù)內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)在在 可以證明可以證明: : xy xeln ,uey xuln ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù).指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定理定理1.17 (1.17 (初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性) ) 初等函數(shù)在

8、其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .注注 1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 例如例如,)1(32 xxy), 1 0 : D在在 0 點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義,.), 1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在 注注 2. 初等函數(shù)的連續(xù)性提供了簡單極限的求法初等函數(shù)的連續(xù)性提供了簡單極限的求法.)(),()(lim000某某定定義義區(qū)區(qū)間間若若 xxfxfxx在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù); ;例例3 3 求求.1sinlim1 xxe1sin1 e原原式式

9、. 1sin e例例4 4 求求.11lim20 xxx 解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx020 例例5 (5 (非初等函數(shù)的例子非初等函數(shù)的例子) ) ,0, 10, 00, 1sgn xxxx證明符號函數(shù)證明符號函數(shù) 是非初等函數(shù)是非初等函數(shù). . 證證 因為因為),(sgn 的的定定義義域域是是而而x, 11limsgnlim00 xxx1)1(limsgnlim00 xxx.sgnlim0不不存存在在所所以以xx.0sgn處處不不連連續(xù)續(xù)在在因因此此 xx,sgn初初等等函函數(shù)數(shù)是是若若x.),(sgn連連續(xù)續(xù)在在則則 x矛盾矛盾

10、, , .sgn非非初初等等函函數(shù)數(shù)是是所所以以x;)()1(0處處有有定定義義在在點點 xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx ),()(0或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxf1.4.2 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點)(0 xfx 為為并并稱稱點點的間斷點的間斷點.處連續(xù)必須滿足三個條件處連續(xù)必須滿足三個條件: :0)(xxf在在點點函數(shù)函數(shù)如果上述三個條件中有一個不滿足如果上述三個條件中有一個不滿足, ,間斷點分為兩大類間斷點分為兩大類: :第一類間斷點第一類間斷點:)0(0 xf和和)0(0 xf都存在的間斷點都存在的間斷點,

11、,),0()0(00 xfxf假設(shè)假設(shè)則稱為可去間斷點則稱為可去間斷點; ;),0()0(00 xfxf假設(shè)假設(shè)則稱為跳躍間斷點則稱為跳躍間斷點. .其中其中稱為第一類間斷點稱為第一類間斷點. .例例6 6 討論討論.00,10,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f)00()00( ffoxy所以所以, , 為函數(shù)的跳躍為函數(shù)的跳躍間斷點間斷點. .0 x例例7 7 討論函數(shù)討論函數(shù) 1,11, 110,2)(xxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 2)01( f2)01( f1)1(2)(lim1 fxfx所以所以, , 為函數(shù)的可去

12、為函數(shù)的可去間斷點間斷點. .1 x在在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性. .1 x如例如例7 7中中, , 2)1( f令令 1,110,2)(xxxxxfoxy112注意注意: : 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函 數(shù)的定義數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點. .那那么么在在 處連續(xù)處連續(xù). .1 x第二類間斷點第二類間斷點: :和和中至少一個不中至少一個不)0(0 xf)0(0 xf若其中有一個為若其中有一個為, 稱為無窮間斷點稱為無窮間斷點. .稱為第二類間斷點稱為第二類間斷點. .存在的間斷點存在的間斷點,例例8 8 討論函數(shù)討論函數(shù).00

13、,0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f )00(f所以所以, , 為函數(shù)的無窮間為函數(shù)的無窮間斷點斷點. .0 x 是是無無理理數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)xxxD, 0, 1)(狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)定義域內(nèi)每一點都是第二類間斷點定義域內(nèi)每一點都是第二類間斷點. 是是無無理理數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)xxxxxf,)(注意注意: : 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點. .僅在僅在 處連續(xù)處連續(xù), , 其余各點處處其余各點處處間斷間斷. .0 x初等函數(shù)無定義的孤立點是間斷點初等函數(shù)無定義的孤

14、立點是間斷點. .分段函數(shù)的分段點可能是間斷點分段函數(shù)的分段點可能是間斷點, , 也可能是連續(xù)也可能是連續(xù)點點, ,需要判定需要判定. .求函數(shù)的間斷點的方法求函數(shù)的間斷點的方法的間斷點的間斷點. .)1)(1(sin)1()( xxxxxxf例如例如, ,求求解解0, 1, 1 xxx是間斷點是間斷點. .111)( xxexf10011lim)(lim xxxxexf )(lim1xfx 1 1111lim xxxe11111lim)(lim xxxxexf0 解解例例9 9 求函數(shù)求函數(shù) 的間斷點的間斷點, , 并判斷其類型并判斷其類型. . 1, 0 xx是間斷點是間斷點. .所以所以

15、, x = 0, x = 0為第二類無窮間斷點為第二類無窮間斷點. .內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). 由初等函數(shù)的連續(xù)性由初等函數(shù)的連續(xù)性,),0 ,(函數(shù)函數(shù) 在其定義區(qū)間在其定義區(qū)間)(xf),1 , 0(), 1( 所以所以, x = 1, x = 1為第一類跳躍間斷點為第一類跳躍間斷點. .,0Ix 若若)()()()(00 xfxfxfxf 1.4.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間I I 有定義有定義, , )(xf, Ix 使得使得則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間I I 的最大值的最大值( (最小值最小值).).)(xf)(0 xf定理定理1.18 (1.18

16、 (最大最小值定理最大最小值定理) )設(shè)設(shè) 在在a, ba, b上連續(xù)上連續(xù), , 那么那么 在在a, ba, b上上有有)(xf)(xf最大值最小值最大值最小值.有有ab2 1 xyo)(xfy ,21ba 則則,bax 使使得得,)(baCxf ).()(),()(21xffxff 注意注意: 1. : 1. 若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ;推論推論1.5 (1.5 (有界性定理有界性定理) )2. 若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.設(shè)設(shè) 在在a, ba, b上連續(xù)上連續(xù), , 那么那么 在在a, ba, b上上有界有界

17、. .)(xf)(xf有有假假設(shè)設(shè) 顯然顯然, 函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個上界和一個下界上界和一個下界.),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf 定理定理1.19 (零點定理零點定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)，上連續(xù)，)(xf, 0)()( bfaf若若. 0)( f使得使得),(ba 則至少有一點則至少有一點假如假如 的一個零點的一個零點.)(, 0)(00 xfxxf為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱 ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋: :xyo)(xfy 定理定理1.20 (1.20 (介值定理介值定理) )

18、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù),)(xf,ba假假設(shè)設(shè)),()(bfaf ,)()(之之間間的的任任一一值值與與是是介介于于bfafC),(ba 則至少有一點則至少有一點.)(Cf 使得使得兩個端點位于兩個端點位于x x 軸的兩側(cè)軸的兩側(cè), ,則曲線弧與則曲線弧與x x 軸至少有一交點軸至少有一交點. .連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 的的)(xfy MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且CA Cbfb )()( CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理, ,),(ba , 0)( 使使得得, 0)()( Cf 即即Cf )( 故故推論推論1.6 1.6 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù), , 必取得介于必取得介于最最大值大值M