概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題二答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案習(xí)題1. 一袋中有 5 只乒乓球，編號為 1, 2, 3, 4，5,在其中同時取 3 只，以X表示取岀的 3 只球中的最大 號碼，寫岀隨機(jī)變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P2.設(shè)在 15 只同類型零件中有 2 只為次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽樣，以X表示取 岀的次品個數(shù)，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函數(shù)并作圖；(3)133PX-，P1 X -, P1 X -, P1 X 2.2 2 2當(dāng)x 2 時，F(xiàn)故X的分布函數(shù)3.射手向目標(biāo)獨立地進(jìn)行了3 次射擊，每次擊中率為，求3 次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求 3 次

2、射擊中至少擊中 2 次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=O, 1, 2 , 3. 故 X 的分布律為P分布函數(shù)4. (1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kPX=k= a ,k!X012P(2)當(dāng)x0 時,F(X)=P(Xx) =0【解】故 X 的分布律為當(dāng) OWx1 時,當(dāng) Kx0 為常數(shù)，試確定常數(shù)a. (2)設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為試確定常數(shù)a.【解】(1)由分布律的性質(zhì)知6.設(shè)某機(jī)場每天有獨立的.試問該機(jī)場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機(jī)需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X-b(200,，設(shè)機(jī)場需配備N

3、條跑道，200Ck00(0.02)k(0.98)200 k0.01k N 1利用泊松近似查表得 N 9.故機(jī)場至少應(yīng)配備 9 條跑道.7. 有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時段岀事故的概率為段內(nèi)有 1000 輛汽車通過，問岀事故的次數(shù)不小于2 的概率是多少(利用泊松定理)？【解】設(shè)X表示岀事故的次數(shù)，則Xb(1000，)8. 已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足RX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為P，則PX=k=a/N,k=1, 2,，N,(2)由分布律的性質(zhì)知即5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為(1)兩人投中次數(shù)相等的概率(2)甲比

4、乙投中次數(shù)多的概率【解】分別令X、a”今各投 3 次,1.求:(1)P(XP(XY表示甲、乙投中次數(shù)，貝 yXb(3,Y) P(X 0,Y33(0.4) (0.3)Y) P(X 1,Y),Yb(3,0) P(X 1,Y1) P(XC30.6(0.4)2C10.7(0.3)2+0) P(X 2,Y0) P(X2,Y 2)3,Y 0)P(X 4) C4(1)42A發(fā)生不少于 3 次時，進(jìn)行了 5 次獨立試驗，試求指示燈發(fā)岀信號的概率；所以9.設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為，當(dāng)(1)(2)【解】10243.指示燈發(fā)岀信號,進(jìn)行了 7 次獨立試驗，試求指示燈發(fā)岀信號的概率.(1)設(shè)X表示 5 次獨

5、立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X6 ( 5,) (2)令丫表示 7 次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Yb(7,)10.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2 )t時間間隔起點無關(guān)(時間以小時計) .(1)求某一天中午 12 時至下午 3 時沒收到呼救的概率；(2)求某一天中午 12 時至下午 5 時至少收到 1 次呼救的概率.的泊松分布，而與200 架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時刻降落的概率設(shè)為，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互則有,在某天的該時5313.進(jìn)行某種試驗，成功的概率為-，失敗的概率為4岀X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.1.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試寫4【

6、解】X 1,2,L ,k,L14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為，每個參加保險的人在1 月 1 日須交 12 元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000 元賠償金.求：(1)(2)【解】以(1)設(shè) 1 年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500,，則所求概率為由于n很大，P很小，入=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保險公司獲利不少于10000)即保險公司獲利不少于20000)P(300002000X20000) P(X 5)即保險公司獲利不少于【解】(1)P(X 0)3e2P(X 1)1 P (X 0)1 e11.設(shè)PX=k=Ckpk

7、(12 kP),k=0,1,2RY=m=cpm(i、4 mP)m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X, Y的概率分布，如果已知5PX 1=-，試求PY 1.9【解】因為P(X1)P(X 1)49P(X 1)P(X 0)(1 P)2故得(1P)249,13.從而12.某教科書岀版了概率.【解】令X為 2000650.80247812000 冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為，試求在這P(Y 1)1 P(Y 0) 1 (1P)42000 冊書中恰有 5 冊錯誤的冊書中錯誤的冊數(shù)，則Xb(2000,.利用泊松近似計算，P(X 5)叮0.0018保險公司虧本的概率；保險公司獲利分別不少于10000 元、

8、20000 元的概率.“年”為單位來考慮.在 1 月 1 日，保險公司總收入為 2500X12=30000 元.10000 元的概率在 98%以上P(保險公司獲利不少于20000 元的概率約為 62%515.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為?| xlf(x)=Ae , ?gvxv+x,求：(1)A值；(2)P0X1; (3)F(x).【解】(1)由f (x)dx 1得17.在區(qū)間0,a上任意投擲一個質(zhì)點，以 間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求 【解】 由題意知Xu0,a，密度函數(shù)為故當(dāng)x0 時F(x) =0 x當(dāng) 0Cxa時，F(xiàn)(x) =1即分布函數(shù)18. 設(shè)隨機(jī)變量X在2，5上服從均勻分布.現(xiàn)

9、對X進(jìn)行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于 概率.【解】XU2,5，即故所求概率為P(0 X當(dāng)x0 時,F(x)A 1.21X .1 “e dx -(102、x1x,1-e dx -e2 2-exdx2x1x .-e dx02F(x)11x-e ,21-e216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=0,求：(1)(2)(3)【解】100c,x 100,xx 100.在開始 150 小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率;在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；F(x).P(X 150)1501001002dxxp2C33(I)2當(dāng)x 100 時F(x)f (t)dtF(

10、x),100 x0,x 100X表示這質(zhì)點的坐標(biāo),X的分布函數(shù).設(shè)這質(zhì)點落在0，a中任意小區(qū)x0f(t)dt-dt0a19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分鐘計）服從指數(shù)分布E（-）.某顧客在窗口等待服務(wù),55 次，以丫表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次Yb（5,e1 2）,即其分布律為.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從 N（ 40,X服從N（50，42）.1 小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？45 分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？若走第二條路，XN（50，42）c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度（cm） XN（,）,規(guī)定長度在士內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格品的

11、概率24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為若超過 10 分鐘他就離開.他一個月要到銀行 數(shù)，試寫岀丫的分布律，并求PY 1.【解】依題意知X E（1），即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間（1） 若動身時離火車開車只有（2） 又若離火車開車時間只有【解】（1）若走第一條路，XN（40，102），貝 UP(X 60) PX 5060 50(2.5)0.9938+故走第二條路乘上火車的把握大些（2）若XN（40，102），則 若XN（50，42），貝 y故走第一條路乘上火車的把握大些21.設(shè)XN（ 3，2 ），（

12、1）（2）求P2X 5 ,P?4Xc=PXwc.PI XI 2 ,PX 3;【解】 (1)P(2 X 5) P2【解】P (|X 10.051 0.12) P23. 一工廠生產(chǎn)的電子管壽命許b最大不超過多少？X（小時）X 10.050.120.06服從正態(tài)分布0.06N(160,2 _b)，若要求 R120 X，允【解】P(120 X 200)160160200160401.2931.25F(x)討xtBe , x0.(0),(3) 求分布密度f(x).2X【解】(1)lim由xlimX 0F(x) 1F(x)Pm得F(x)(2)P(X2)F(2)f(x)F (x)25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度

13、為求X的分布函數(shù)F(X)【解】當(dāng)x0 時F(X) =00,x,X 1,(X)=，并畫岀x,0,(X)及(X)當(dāng) 0Wx1 時F(x)當(dāng) K x 2 時F(x)f(t)dtXf(t)dt0,2XF(x)21,2x1,X 2,其他.Xf(t)dt26.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為(1)f(x)=ae?|X|,入 0;0f(x)=bx,12,X0,1,2,試確定常數(shù)a,【解】(1)由b,并求其分布函數(shù)f (x)dx即密度函數(shù)為(X)ae兇dx2a0edx2af(x)2e(3) 求分布密度f(x).2X當(dāng)x0 時F（X）f (x)dx尹xdx0弓xdx1ex2xexdx02故其分布函數(shù)f(x)dx1bxd

14、x2丄dxx得即X的密度函數(shù)為當(dāng)x 0 時F（x） =0b=1當(dāng) 0 xi 時F(x)xf (x)dxf(x)dxf(x)dx當(dāng) Kx 2 時F（x）故其分布函數(shù)為27.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上=1分位點,(1)(2)z/2.【解】（1）P(X0.01(z0.01(z0.092.33(2)由P(Xz )0.003得(z ) 0.997查表得z 2.75由P(X z/2)0.0015得(z/2)0.9985查表得z/22.9628.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為?2?1013R求Y=X2的分布律.1/51/61/51/1511/30【解】丫可取的值為 0, 1, 4, 9故丫的分布律為0149157/3017

15、511/301k29.設(shè)PX=k=( ) ,k=1,2,令2求隨機(jī)變量X的函數(shù)丫的分布律.30.設(shè)XN（ 0，1）.（1）（2）（3）2P(Y 2X 11) 1fY(y)dFY(y)dy31.設(shè)隨機(jī)變量XUYPk【解】P(Y 1) P(X 2) P(X 4)L P(X2k) L求Y=eX的概率密度；求Y=2X2+1 的概率密度；求Y=IXI的概率密度.【解】 (1)當(dāng)y0 時，F(xiàn)Y(y) P(Y y)P(exy)P(X In y)fY(y)dFY(y)dy1-fx(ln y) y11In2y/2y?2ne,y 0當(dāng)yw1時FY(y)P(Yy)當(dāng)yi 時FY(y)P(Yy)P (2X21y)fx

16、P(Y0) 1當(dāng)yw0 時FY(y) P(Yy)當(dāng)y0 時FY(y) P(|X|y)P(y Xy)d故fY(y)-FY(y)fX(y)fx(y)Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；Z=?2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù)【解】 (1)P(0 X 1)1（ 0,1 ），試求:（1）（2）故p(1 YeXe) 1即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為2x2,n0,試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】P (0 Y 1)1故丫的密度函數(shù)為33.設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)如下:試填上(1),(2),(3)項.【解】由lim F (x) 1知填 1。X6 點。則11故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為二的幾何分布。

17、3635.隨機(jī)數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0 至少岀現(xiàn)一次的概率不小于當(dāng)y 1時FY(y)P(Yy) 0當(dāng) 1ye 時FY(y)P(eXy) 1即分布函數(shù)故丫的密度函數(shù)為(2)由P( 0X1)=1 知In y)當(dāng)z0 時，F(xiàn)Z(z) P(Zz) P(2ln Xz)其他.當(dāng) 0y 1 時,FY(y)FY(y)FY(y)P(YP(Yy)y)P(sin Xy)由右連續(xù)性代“)F(X0)1知x00， 故為 0。0。即卩34.同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子岀現(xiàn)從而亦為【解】設(shè)A=第 i 枚骰子岀現(xiàn) 6 點。6 點為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.1(i=1,2 ) ,P(A)=.且A與A相互獨立。再設(shè)C=每次拋擲岀

18、現(xiàn)6【解】令X為 0 岀現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字，則Xb(n,(0.9)n0.1得n 22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22 個數(shù)字。36.已知0,12,1,0,12,12則F(x)是(A) 連續(xù)型；(C)非連續(xù)亦非離散型.)隨機(jī)變量的分布函數(shù).(B)離散型;【解】因為F(x)在(+ X)上單調(diào)不減右連續(xù)，且lim F(x) 0 xlimxF(x)1,所以F(X)是一個分布函數(shù)。在x=0 處不連續(xù)， 也不是階梯狀曲線， 故 布函數(shù)。選(C)37.設(shè)在區(qū)間a,b上，隨機(jī)變量(A)但是F(x)0,n/2；(C)?n/2,0；n【解】在0,上 sinx 0,且2n在0,n上0sinxdxn在,0

19、上sinx3在0, n上，當(dāng)2故選(A)。38.設(shè)隨機(jī)變量XN( 0，F(xiàn)(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分X的密度函數(shù)為f(x)=sin(D) 0,x，而在a,b外，f(x)=0，則區(qū)間a,b等于B) 0,n；-n.2n/20sinxdx1.故f(x)是密度函數(shù)。21.故f(x)不是密度函數(shù)。0，故f(x)不是密度函數(shù)。x 3 n時，sinx0,2f(x)也不是密度函數(shù)。0) =1,故 0v1?e?2Xv1，即P(0Y 1 時，F(xiàn)Y(y) =1即Y的密度函數(shù)為即YU(0, 1)1,6,若k使得PXk=2/3，求k的取值范圍.(2000其他.研考)21【解】由P(Xk)=知P(Xk)=-3若k

20、0,P(Xk)=0當(dāng)k=1 時P(X6,則P(Xk) =142.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,當(dāng) ovyvi 時，F(xiàn)Y(y) P(Yy)P(e2x1 y)41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)1J329,若 0Wk1, RXk)=k103dx若 Kk 3 時P(Xk)若 3k 6,貝 UP(Xk)11-dx031Jk0dx1k2dx3932k9故只有當(dāng) K kk)1,F(x)=0.4,0.8,1,(1991 研考)X 的概率分布為3.求X的概率分布.【解】由離散型隨機(jī)變量 X 分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知1,?143.設(shè)三次獨立試驗中，事件A岀現(xiàn)的概率相等.若已知A至少岀現(xiàn)一次的概率為驗中岀

21、現(xiàn)的概率.（1988 研考）【解】令X為三次獨立試驗中19由P(X 1)=知27(-)0.846.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率可以直接岀廠；.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n（n 2）臺儀器（假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互48.在電源電壓不超過（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252）.試求:A岀現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P(A) =p,則*b(3,p)8P(X=0) = (1?p)2 3= 27故 p=-344. 若隨機(jī)變量【解】45. 若隨機(jī)變量(1,6) 上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0 有實根的概率是多少？（1989 研考）XN(2,【解】0.3P（2b2)，且P2X4=，則2 2X24) P(PX

22、0=4 2).(1991研考）因此X 2P(X 0)(Z)廠，以概率定為不合格品不能岀廠獨立）.求（1） 全部能岀廠的概率3;0. (1995 研考)72 分，96 分以60 分至 84 分之間的概率.（1990 研考）XN（72，b2）24（）0.977查表知242,即b=12從而 XN (72,122)故P(60 X84) P60 7212X 7284 721212以概率需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率可以岀200V、200V240V 和超過 240V 三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為，和（1）該電子元件損壞的概率a;（2）該電子元件損壞時，電源電壓在200240V 的概率3【解】 設(shè)

23、A1=電壓不超過 200V，A=電壓在 200240V，A=電壓超過 240V，B=元件損壞。由XN（ 220，252）知由全概率公式有由貝葉斯公式有1【解】fx(x)01 x 2其他=1,故P(e2Ye4) =1 當(dāng)ywe2時FY(y) =P(Yy)=0.因為P(1*2)當(dāng) e2ye4時，F(xiàn)Y(y) P(Y y)FY(y)0,1 , -ln y21,1,fY(y)丄0,其他e250.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fx(x)=0, x0,(1991 研考)Y=e2X的概率密度fY（y）. （1988 研考）求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY（y）.【解】P（Y 1） =1(1995研考）當(dāng) y1 時，F(xiàn)Y（y）P(Y y)P(eXy) P(XIn y)FY(y)y10,fY(y)12 ,y0,y151.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1，2） 上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量1t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N( t)服從參數(shù)為 入t的泊松分布.(1)