高考數(shù)學(xué)曲線方程講義

1、高三第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué) - 曲線方程一、教學(xué)目標(biāo)： 了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的方法；掌握用定義法和直接法求曲線的方程的方法和步驟。二、教學(xué)重點(diǎn)： 注意動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的某些隱含條件；2、注意方程化簡(jiǎn)時(shí)的等價(jià)性，主要是在去分母和兩邊平方時(shí)的變形。3、注意圖形可能的不同位置或字母系數(shù)取不同值的討論。三、教學(xué)過(guò)程：（一）主要知識(shí)：1、 曲線方程的意義：正如一個(gè)關(guān)于x, y 的一元二次方程AxByc0 一定表示一條直線，一條直線必定可以用個(gè)關(guān)于x, y 的一元二次方程AxByc0 表示一樣，直角坐標(biāo)系內(nèi)的曲線可以用一個(gè)關(guān)于x, y 的二元方程f x, y0來(lái)表示，一個(gè)關(guān)于x, y 的二元

2、方 程fx, y0表示著坐標(biāo)平面內(nèi)的一條曲線。而函 數(shù)yf x 亦 為 方 程f xy0 是 f x, y0 的特殊形式。2、 方程fx, y0恰為曲線C 的方程即曲線C 恰為方程f x, y0 的曲線的充要條件為：（1）曲線C 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f x, y0 的解；否則曲線C 比比方程f x, y0 所表示的曲線多點(diǎn)（純粹性）且（ 2）以方程f x, y0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C 上；否則曲線C 比方程f x, y0所表示的曲線少點(diǎn)（完備性）即曲線 C=x, y | f x, y03、 已知曲線求方程：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，文字語(yǔ)言的幾何條件數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的等式數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言中含動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，的代

3、數(shù)方程簡(jiǎn)化了的，的代數(shù)方程最后除掉多余的點(diǎn)（加上遺漏的點(diǎn)）。4、 已知曲線方程求曲線：要做到不多不少剛剛好。5、 曲線C1 : f x, y0 與曲線 C2: g x, y0 的交點(diǎn)坐標(biāo)為：方程組f x, y0g x, y的0解（特別注意大括號(hào)的意義為交點(diǎn)坐標(biāo)）（二）例題分析：（一） 曲線方程的意義：例1：（ 1）如果命題 “坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上 ”不正確，那么以下正確的命題是（ A）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（ B）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)有些在上，有些不在上（ C）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上（ D）一定有不在曲線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程分析：舉例，若方程為，曲線為第一、三象限角平分線，易知答

4、案為D（ 2）求曲線分別關(guān)于 直線 x2 y3 點(diǎn)2, 3 直線 x y 3 0對(duì)稱的曲線方程解：2210 28 022xyy；xy 2x 12 y 48 0 ；x x2y 210x12y56 0 ； x2y 24x 2 y 6 0（二）已知曲線方程求曲線：例 2（ 1） x 1x1 2y0表示什么曲線？（ 2）方程xy1x10表示什么曲線？解：（ 1 ）原方程等價(jià)于：x1x1y0當(dāng) x1 時(shí)為 y2 x ；當(dāng) x1 時(shí)為y2x ；當(dāng) 1x1 時(shí)為 y2 （畫圖）（2）原方程等價(jià)于：x10或x10即： xy 10 x1 或 x1xy1x 100所以表示直線 x1和射線 xy10 x1（畫圖 0

5、點(diǎn)評(píng)：這多條圖形為曲線C；思考： xy 1x 2y240 表示什么曲線？（曲線C 為圓： x2y24 和直線xy1在此圓外面部份）（三）已知曲線求方程：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：例 3 過(guò)定點(diǎn) A a, b任作互相垂直的兩直線l1 與 l 2，且 l 1 與 x 軸交于點(diǎn)M ， l 2 與 y 軸交于點(diǎn) N ，求線段 MN 的中點(diǎn) P 的軌跡方程。解：法一（直譯法）由l1l 2 ， a22yb 22x a 2b 24x24y 2化簡(jiǎn)得：22202axabbyx1xx12x法二（代入法）設(shè)M x1,0 , N 0, y1， P x, y ，則2y1y12 yy2因?yàn)?l1l 2 ，所以 a 2y1b 2

6、x a 2b2x2y2111由代入 可得： a 22 y b 22x a 2b 24x24 y 2XNAOMX例 4（2000 年春季高考） 已知拋物線 y 24px p0 , O 為頂點(diǎn)， A ，B 為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足 OAOB ，如果 OMAB 于點(diǎn) M ，求點(diǎn) M 的軌跡方程。解：（參數(shù)法）設(shè) OA 的方程為 ykx k0 ，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為x, y x0，則OB的方程為 y1 x.ky 24 px4 p 4 py24 px2k由ykx得 Ak 2 ,k , 由y1 x 得 B 4 pk, 4 pk ,kAB1 k 2 則k1k 2kOMk所以， l AB : y1k 2 x4k

7、p2 , l OM : y1 k 2x ，消去參數(shù)得軌跡方程為k1 kk24 p2 x0x 2 py 2即所求軌跡是以點(diǎn)2 p,0為圓心， 2 p 長(zhǎng)為半徑的圓除去原點(diǎn) O 0,0 。點(diǎn)評(píng)：直譯法、代入法和參數(shù)法是求軌跡方程的三大基本方法。（四）曲線的交點(diǎn)：例 5、已知曲線 C1 F x, y0 ，點(diǎn) P a,bC1 ，曲線 C2 F x, yF a,b00 ，求 C1 ,C2 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。解 ： 0個(gè) 。 設(shè) 點(diǎn) P x0 y0是 C1上 的 點(diǎn) ， 則 F x0 , y00，而若F x0 , y0F a, b00F a,b0 這與 P a,bC1 矛盾。例 6、求過(guò)點(diǎn) M 1,2的直線與曲

8、線ya有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和x為 a ，求 a 的取值范圍。y2 k x 1解 ： 設(shè) 直 線 方 程 為 y 2 k x 1 k0 ， 由 方 程 組 ya消 去 x 得xy22k y ka 0，設(shè)其兩個(gè)根為y1 , y2則y1y22 k, y1y2a, 2 k ak 2 a，2k 24ka0a24a 2a0得 0a802a0, a 2k3a 的取值范圍是0,282,3（三）鞏固練習(xí)：x2+y2=4 (0 x2) 相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（1 和 y 軸相切并且和曲線）。A、y2=-4(x-1) (x>0)B 、y2=2(x+1) (0<x 1)C、y2=

9、-4(x-1) (0<x1)D、 y2=-2(x- 1) (0<x 1)分析： 設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y) ，由圖可知 x>0，設(shè)其半徑為r ，則由相切條件， |MO|=2-|x|，即，又 -4(x-1)=y20, 所求方程為 y2=-4(x- 1) (0<x1) 。小結(jié)：如果題目中的條件是關(guān)于M的明顯的等量關(guān)系，或者可以通過(guò)幾何知識(shí)推出明顯的等量關(guān)系，求方程可以用直接法（直接到方程化簡(jiǎn)）。2 已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) Q(2,0) ，圓 C 的方程為 x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn) M到圓 C 的切線長(zhǎng)與 |MQ| 的比等于常數(shù) ( >0) ，求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線。解： 設(shè) MN切圓 C于 N，則 |MN| 2=|MO| 2-|ON| 2，設(shè)點(diǎn)M(x,y)，則，化簡(jiǎn)，得( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=01）當(dāng) =1 時(shí)，方程為，表示一條直線。2）當(dāng) 1時(shí)，方程化為表示一個(gè)圓。小結(jié)： 本題是典