任意方向線應變計算公式的兩種推導方法(共4頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上材料力學課程論文任意方向線應變計算公式的兩種推導方法姓名：黃信班級：機械0907班學號： 任意方向線應變計算公式的兩種推導方法黃信（機械0907班， ）摘 要：材料力學教材給出了平面應力狀態(tài)下任意斜截面上的應力計算公式，沒有給出任意方向線應變的計算公式，而在實際應用中有時任意方向線應變的確定又十分必要。本文給出了平面應力狀態(tài)下任意方向線應變的計算公式的兩種推導方法。關鍵詞：平面應力狀態(tài)；任意方向；線應變；推導1 引言在實際工程結構中，有很多桿件往往同時發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形，即組合變形。對于各種組合變形桿的應力分析可采用應變花電測法，而這種情況下主應力的大小和方

2、向往往是未知的。要確定主應力的大小和方向，首先得確定主應變的大小和方向。而要確定主應變的大小和方向，由教材中確定主應力大小和方向的方法聯(lián)想到可以先推導出任意方向線應變的計算公式，對其求導可得主應變的方向角，再將該方向角代回原任意方向線應變的計算公式就可得到主應變的大小。由以上分析可知對平面應力狀態(tài)下任意方向線應變計算公式的推導是有現(xiàn)實的意義的。2任意方向線應變計算公式的兩種推導方法2.1傳統(tǒng)推導方法疊加法圖1假設已知某微元體在xoy平面發(fā)生線應變ex , ey ,及切應變xy,那么距x軸為任意角方向的線應變e可以更具疊加原理求解，即分別將ex , ey和xy對e的貢獻求出，然后再疊加即可。現(xiàn)在

3、以求ex的貢獻為例，敘述推導過程。如圖1，只有ex 單獨作用時，在x方向產(chǎn)生位移增量的 ex dx，則OP線位移到OP。若x方向的位移增量ex dx對方向的線應變的貢獻表示為|x ，則 |x= DP'OP = PP'cos dxcos = xdxdxcos² =xcos² （1）用同樣的方法可推導出 |y=ycos² （2） |xy= xysincos （3）由（1）（2）（3）式疊加可得 e=|x+|y+|xy =xcos²+ycos²xysincos經(jīng)三角變換得 e= x+y2 + x-y2cos2 - xy2sin2 (4

4、)此式即平面應力狀態(tài)下任意方向線應變計算公式。2.2利用廣義胡克定律進行推導的方法圖2疊加法是大多數(shù)資料書中使用的方法，主要應用了幾何知識進行推導，需要進行畫圖分析，有時感到較為繁瑣。在對材料力學的學習過程中，筆者發(fā)現(xiàn)一種利用廣義胡克定律進行推導的方法，可以避免繁瑣的幾何分析。其大體思路為：沿所求線應變方向建立一個新直角坐標，利用平面應力狀態(tài)下任意斜截面上的應力計算公式計算出新坐標內(nèi)的兩個垂直方向的應力，最后用廣義胡克定律計算出所求線應變的大小。具體的推導過程如下：在平面應力狀態(tài)下，根據(jù)廣義胡克定律有 x=1E（x-y） （5） y=1E(y-x) （6） xy=xyG （7）式中E為材料的彈

5、性模量，G為材料的切變模量，為材料的泊松比。如圖2所示，現(xiàn)需求距x軸為任意角方向的線應變，則建立一個新的坐標系xoy，則有 =x'=1E（x'-y'） （8）現(xiàn)只需求x'和y'。由平面應力狀態(tài)下任意斜截面上的應力計算公式:= x+y2 + x-y2cos2 - xysin2= x-y2sin2 + xycos2可得x'= x+y2 + x-y2cos2 - xysin2 （9）y'= x+y2 + x-y2cos2(+90° - xysin2(+90°) = x+y2 - x-y2cos2 + xysin2 （10）將

6、（9）（10）式代入（7）式得=1E（x'-y'）=1Ex+y2（1-） + x-y2（1+）cos2 - xy（1+）sin2 (11)要得到平面應力狀態(tài)下任意方向線應變計算公式，需將(11)式中的x，y和xy替換掉，使其成為含x，y和xy的式子。 由（5）+（6）式有x+y=1E（x+y）（1-） (12)由（5）-（6）式有x-y=1E（x-y）（1+） (13)又因為G=E2(1+)，所以由（7）式有xy1+=xy2E (14)將（12）（13）（14）式代入（11）式則可得e= x+y2 + x-y2cos2 - xy2sin2至此，本文便用另一種不同的方法推導出了平面應力狀態(tài)下任意方向線應變計算公式。3結論疊加法從線應變的本質出發(fā)，利用幾何知識進行分析推導，較為科學準確，被大多數(shù)資料所使用。然而，疊加法雖直觀但其幾何分析過程較為繁瑣。利用廣義胡克定律推導的方法，只需式子間的巧妙變換便可以達到推導目的，避免了繁