高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))復(fù)習(xí)大全----往屆考題及答案講解

1、高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))復(fù)習(xí)大全-往屆考題及答案講解 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料 財(cái)管雙語(yǔ)班 財(cái)管雙語(yǔ)班 目 錄目錄一多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 . 1第九章 重積分 . 5第十章 曲線積分與曲面積分 . 錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù) . 7第十二章 微分方程 . 13二強(qiáng)化訓(xùn)練 . 16（）04、05、06期末試卷. 1620042005學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷 . 1620052006學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷 . 2020062007學(xué)年期末考試試卷 . 22（）自測(cè)訓(xùn)練 . 25試卷一 . 25附參考答案：. 28試卷二 . 29附參考答案：. 32試卷三 . 33附參考答案：. 3620052

2、006學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（2005級(jí)快班試卷）. 3820062007學(xué)年第二學(xué)期期末考試（2006級(jí)快班試卷）. 41試卷四 . 44參考答案及提示 . 48試卷五 . 52參考答案及提示：. 56 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)一多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、基本概念1多元函數(shù)（1）知道多元函數(shù)的定義n元函數(shù)：y=f(x1,x2,L,xn)（2）會(huì)求二元函數(shù)的定義域1°：分母不為0；2°：真數(shù)大于0；3°：開(kāi)偶次方數(shù)不小于0；4°：z=arcsinu或arccosu中|u|1（3）會(huì)對(duì)二元函數(shù)作幾何解釋2二重極限x®x0y

3、74;y0limf(x,y)=A這里動(dòng)點(diǎn)(x,y)是沿任意路線趨于定點(diǎn)(x0,y0)的（1） 理解二重極限的定義（2） 一元函數(shù)中極限的運(yùn)算法則對(duì)二重極限也適用，會(huì)求二重極限；（3） 會(huì)證二元函數(shù)的極限不存在（主要用沿不同路徑得不同結(jié)果的方法）3多元函數(shù)的連續(xù)性（1）理解定義：limf(P)=f(P0) P®P0（2）知道一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論；（3）知道多元函數(shù)在閉區(qū)域上的最大最小值定理、介值定理。二、偏導(dǎo)數(shù)與全微分1偏導(dǎo)數(shù)（1）理解偏導(dǎo)數(shù)的定義（二元函數(shù)）¶z¶x=limf(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)DxDx®0¶

4、z¶y=limf(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)DyDy®0（2）知道偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系（3）求偏導(dǎo)數(shù)法則、公式同一元函數(shù)2高階偏導(dǎo)數(shù)（1）理解高階偏導(dǎo)數(shù)的定義1 財(cái)管雙語(yǔ)班 （2）注意記號(hào)與求導(dǎo)順序問(wèn)題（3）二元函數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)：3全微分（1）知道全微分的定義若Dz=f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0)可表示成A×Dx+B×Dy+o(r)，則z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微；稱A×Dx+B×Dy為此函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，記¶z¶x&#

5、182;y2=¶z¶y¶x2為dz=A×Dx+B×Dy（2）知道二元函數(shù)全微分存在的充分必要條件：函數(shù)可微，偏導(dǎo)數(shù)必存在；（A=¶z¶x，B=¶z¶y；dz=¶z¶xdx+¶z¶ydy）偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定可微（Dz-dz是否為o(r)） 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分必存在方向?qū)?shù)、梯度，只對(duì)快班要求三、多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則 1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 （1）¶z¶x=¶z¶u¶z¶v×+×

6、¶u¶x¶v¶x¶z¶y=¶z¶u¶z¶v×+׶u¶y¶v¶y（2）對(duì)于函數(shù)只有一個(gè)中間變量的二元函數(shù)或多個(gè)中間變量的一元函數(shù)（全導(dǎo)數(shù)）的求導(dǎo)法要熟練掌握（3）快班學(xué)生要掌握多元復(fù)合函數(shù)（主要是兩個(gè)中間變量的二元函數(shù)）的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法2隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 （1）一個(gè)方程的情形若F(x,y)=0確定了y=y(x)，則dydx=-FxFy；若F(x,y,z)=0確定了z=z(x,y)，則（2）方程組的情形¶z¶x=-F

7、xFz，¶z¶y=-FyFz2 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料若íìF(x,y,z)=0îG(x,y,z)=0能確定íìy=y(x)îz=z(x)，則由dydxdydxdzdxdzdxìïFx+FyíïGx+Gyî××+Fz×+Gz×=0=0 可解出dydx與dzdx；若í¶u¶yìF(x,y,u,v)=0îG(x,y,u,v)=0確定了u=u(x,y)，v=v(x,y)，象上邊一樣，

8、可以求出¶u¶x，¶v¶x及，¶v¶y四、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1幾何應(yīng)用（1）空間曲線的切線與法平面方程1°：曲線G：x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)，t=t0時(shí)，G上相應(yīng)點(diǎn)(x0,y0,z0)處的切線方程：x-x0=y-y0=z-z0j¢(t0)y¢(t0)w¢(t0) 法平面方程：j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0ìy=j(x)x-x0y-y0z-z02°：曲線G：í，則點(diǎn)(x0

9、,y0,z0)處的切線方程： =¢¢z=y(x)1f(x)y(x)î00法平面方程：(x-x0)+f¢(x0)(y-y0)+y¢(x0)(z-z0)=03°：曲線G：íìF(x,y,z)=0îG(x,y,z)=0，則點(diǎn)P(x0,y0,z0)處的切線方程為y-y0FzGzFzGzx-x0FyGyFzGzP=FxGxFxGxP=Pz-z0FxGxFyGyP 法平面方程：FyGyFzGzP×(x-x0)+×(y-y0)+FxGxFyGyP×(z-z0)=0（2）空間曲面的切平面與法

10、線方程1°：曲面S：F(x,y,z)=0，點(diǎn)(x0,y0,z0)處的切平面方程為：3 財(cái)管雙語(yǔ)班 Fx(x0,y0,z0)×(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)×(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)×(z-z0)=0法線方程：x-x0Fx=y-y0Fy=z-z0Fz 2°：曲面S：z=f(x,y)，在點(diǎn)(x0,y0,z0)處的切平面方程為：z-z0=fx(x0,y0)×(x-x0)+fy(x0,y0)×(y-y0)法線方程為：2極值應(yīng)用x-x0fx=y-y0fy=z-z0-1 ì¶z=0ï&

11、#239;¶x（1）求一個(gè)多元函數(shù)的極值（如z=f(x,y)）：先用必要條件í，求出全部駐點(diǎn)，¶z=0ïïî¶y再用充分條件求出駐點(diǎn)處的zxx，zyy與zxy； 2AC-B>0，A<0時(shí)有極大值，A>0時(shí)有極小值；AC-B<0時(shí)無(wú)極值2（2）求最值1°：純數(shù)學(xué)式子時(shí)，區(qū)域內(nèi)駐點(diǎn)處的函數(shù)值與區(qū)域邊界上的最值比較； 2°：有實(shí)際意義的最值問(wèn)題（3）條件極值求一個(gè)多元函數(shù)在一個(gè)或m個(gè)條件下的極值時(shí)，用拉格朗日乘數(shù)法如：u=f(x,y,z)在條件j1(x,y,z)=0與j2(x,y,z)=

12、0下的極值時(shí)，取F(x,y,z;l1,l2)=f(x,y,z)+l1j1(x,y,z)+l2j2(x,y,z)ìFxïFïyï解方程組íFzïjï1ïîj2=0=0=0，求出x，y，z =0=0則(x,y,z)就是可能的極值點(diǎn)；再依具體問(wèn)題就可判定(x,y,z)為極大（或極?。┲迭c(diǎn) 4 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料第九章 重積分 一、 二重積分n1 定義：òòf(x,y)ds=limDl®0åf(xi,hi)×Dsi(n®¥)i=12 幾何意

13、義：當(dāng)f(x,y)0時(shí)，òòf(x,y)ds表示以曲面z=f(x,y)為頂，以D為底的D曲頂柱體體積物理意義：以f(x,y)為密度的平面薄片D的質(zhì)量 3 性質(zhì)1°：òòkf(x,y)ds=kòòf(x,y)dsDD2°：òòf(x,y)±g(x,y)ds=DòòDf(x,y)ds±òòg(x,y)dsD 3°：若D=D1+D2，則òòf(x,y)ds=DòòD1f(x,y)ds+

14、2;òD2f(x,y)ds4°：f(x,y)º1時(shí)，òòf(x,y)ds=sDD5°：若在D上j(x,y)y(x,y)，則òòj(x,y)dsòòy(x,y)dsDDÞòòDf(x,y)dsòòDf(x,y)ds6°：若f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，且mf(x,y)M，則m×sDòòf(x,y)dsM×sDD7°：（中值定理）若f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則必有點(diǎn)(x,h)Î

15、D，使òòDf(x,y)ds=f(x,h)×sD 4 二重積分的計(jì)算法 （1）在直角坐標(biāo)系中1°：若積分區(qū)域D為X-型區(qū)域a£x£bìD：íj(x)£y£j(x)2î1則化為先y后x的二次積分：5 財(cái)管雙語(yǔ)班 baòòDf(x,y)dxdy=òdxòj2(x)j1(x)f(x,y)dy 2°：若積分區(qū)域D為Y-型區(qū)域D：íìc£y£dîy1(y)£x£y2(y) 則化

16、為先x后y的二次積分：òòDf(x,y)dxdy=òdcdyòy2(y)y1(y)f(x,y)dx（2）在極坐標(biāo)系中f(x,y)=f(rcosq,rsinq),ds=rdrdq1°：極點(diǎn)在D外：a£q£bì： Díîj1(q)£r£j2(q)則有òòDf(x,y)ds=òadqòjbj2(q)1(qf(rcosq,rsinq)×rdrO極點(diǎn)在D外)r2°：極點(diǎn)在D的邊界上：ìa£q£bD

17、：í0£r£j(q)î則有rO極點(diǎn)在D的邊界上òòDf(x,y)ds=òabdqòj(q) f(rcosq,rsinq)×rdr3°：極點(diǎn)在D內(nèi)：ì0£q£2pD：í0£r£j(q)î則有òòDf(x,y)ds=ò2p0dqòj(q) f(rcosq,rsinq)×rdr極點(diǎn)在D內(nèi) 在計(jì)算二重積分時(shí)要注意：1°：選系：是直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系；若積分區(qū)域是圓域、環(huán)域或

18、它們的一部分；被積式含有x+y或兩個(gè)積分變量之226 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料比yx、xy時(shí)，一般可選擇極坐標(biāo)系2°：選序：當(dāng)選用直角坐標(biāo)系時(shí)，要考慮積分次序，選錯(cuò)次序會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜或根本積不出的情況（二次積分換次序） 3°：積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性要正確配合，如：D關(guān)于x軸（或y軸）對(duì)稱時(shí)，應(yīng)配合被積函數(shù)對(duì)于y（或x）的奇偶性 4°：若f(x,y)=f1(x)×f2(y)，積分區(qū)域D:í分的乘積。ìa£x£bîc£y£d,則二重積分可化為兩個(gè)定積第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 一、 常數(shù)項(xiàng)級(jí)

19、數(shù) 1 基本概念¥（1） 定義：形如åun=u1+u2+L+un+L的無(wú)窮和式，其中每一項(xiàng)都是常數(shù)n=1n（2） 部分和：Sn=åui=1i （3） 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂（發(fā)散）ÛlimSn存在（不存在）n®¥（4） 和S=limSn（存在時(shí)）n®¥注：發(fā)散級(jí)數(shù)無(wú)和¥（5） 余項(xiàng)：當(dāng)limSn=S時(shí)，稱級(jí)數(shù)rn=n®¥åui=1n+i為原級(jí)數(shù)第n項(xiàng)后的余項(xiàng)2 基本性質(zhì)¥¥¥¥（1） åkun與åun斂散性相同，且若

20、9;un=S，則åkun=kS；n=1n=1n=1n=1（2） 若åun=S，åvn=s，則å(un+vn)=s+s推論1：若åun收斂，åvn發(fā)散，則å(un+vn)必發(fā)散； 推論2：若åun與åvn都發(fā)散，則å(un+vn)不一定發(fā)散7 財(cái)管雙語(yǔ)班 （3） 在級(jí)數(shù)前面去掉或添加、或改變有限項(xiàng)后所得級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)的斂散性相同（收斂級(jí)數(shù)的和改變）（4） 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)（按規(guī)則）所得級(jí)數(shù)仍收斂于原來(lái)的和； （收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)不一定收斂）¥（5） 若級(jí)數(shù)åun收斂，則必有l(wèi)imun=

21、0n=1n®¥¥（若limun¹0，則åun必發(fā)散）n®¥n=13 幾個(gè)重要的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)¥n-1（1） 等比級(jí)數(shù)åaqn=1ìaï=í1-qïî發(fā)散|q|<1|q|³1；¥（2） 調(diào)和級(jí)數(shù)ån=1¥1n1n¥發(fā)散；（3） p-級(jí)數(shù)ån=1p（p>0），p>1時(shí)收斂，0<p1時(shí)發(fā)散）；（4） 倒階乘級(jí)數(shù)ån=11n!收斂4 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 （1） 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂

22、法¥¥設(shè)åun與åvn均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)n=2n=1¥1°：åun收斂ÛSn有界；n=12°：比較法¥¥若åun收斂（發(fā)散），且unvn，（unvn），則åvn收斂（發(fā)散）n=1n=1推論1：若limunvn¥¥n®¥=l，0<l<+¥，則åvn與åun具有相同的斂散性n=1n=1¥推論2：若limn×un=l，則åun發(fā)散；n®¥n=1&#

23、165;若limn×un=l（p>1），則åun收斂n®¥n=1p8 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料3°：比值法ìïr<1時(shí)ïï=r，則有ír>1時(shí)ïïr=1時(shí)ïî¥åun=1¥n收斂若limun+1unn®¥åun=1¥n發(fā)散 åun=1n待定4°：根值法ìïr<1時(shí)ïï=r，則當(dāng)ír>1時(shí)&#

24、239;ïr=1時(shí)ïî¥åun=1¥n收斂若limn®¥unåun=1¥n發(fā)散 åun=1n待定（2） 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法¥萊布尼茲定理：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)å(-1)n-1un（un³0）滿足：n=11°：unun+1 2°：limun=0n®¥¥則å(-1)n-1un收斂，且其和Su1，|rn|un+1 n=1（3） 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法¥1°：若limun¹0，則å

25、un發(fā)散；n®¥n=1¥¥2°：若å|un|收斂，則åun絕對(duì)收斂；n=1n=1¥¥¥3°：若å|un|發(fā)散， åun收斂，則åun條件收斂n=1n=1n=1二、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1 基本概念¥（1） 定義：形如åun(x)=u1(x)+u2(x)+L+un(x)+L；n=1（2） 收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)、收斂域、發(fā)散域；9 財(cái)管雙語(yǔ)班 n（3） 部分和：Sn(x)=åui=1i(x)；¥（4） 和函數(shù)：在收斂域上S(x)=li

26、mSn(x)=n®¥åun=1n(x)2 冪級(jí)數(shù)（1） 定義：åan(x-x0)，當(dāng)x0=0時(shí)有：åanxn；nn=0n=0¥¥（2） 性質(zhì)¥n¥1°：若åanx在x0處收斂，則當(dāng)|x|<|x0|時(shí)，åanxn絕對(duì)收斂（發(fā)散）；n=0n=0¥n¥若åanx在x0處發(fā)散，則當(dāng)|x|>|x0|時(shí)，åanxn發(fā)散n=0n=0¥2°：冪級(jí)數(shù)åa(x-x)n n=0n的收斂域，除端點(diǎn)外是關(guān)于x0對(duì)稱的區(qū)間

27、(x0-R,x0+R)，兩端點(diǎn)是否屬于收斂域要分別檢驗(yàn)3°：在åanxn的收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)，此級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)連續(xù)n=0¥（3） 收斂區(qū)間的求法1°：不缺項(xiàng)時(shí)，先求r=liman+1ann®¥，得收斂半徑R=1r；再驗(yàn)證兩端點(diǎn)，則收斂域(x0-R,x0+R)收斂的端點(diǎn)un+1(x)un(x)=r(x)，解不等式r(x)<1得x的所屬區(qū)間2°：缺項(xiàng)時(shí)，先求limn®¥x1<x<x2，再驗(yàn)證端點(diǎn)x1，x2，則收斂域(x1,x2)收斂的端點(diǎn)3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算（1） 冪級(jí)數(shù)在它們收斂區(qū)間

28、的公共部分可以進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算 （2） 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以進(jìn)行逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分運(yùn)算，即¥åan=0nx=S(x)，|x|<R，則有：n10 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料¢æ¥nöçåanx÷=èn=0øå(an=0¥nxn)¢¥=ånan=0nxn-1=S¢(x)，|x|<R；òx0æ¥nöçåanx÷dx=èn=0ø

29、¥åòn=0x0¥anxdx=nån+1xn=0ann+1=òx0S(x)dx，|x|<R4 函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)（1） 充要條件：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則¥f(x)=ån=0f(n)(x0)n!(x-x0)nÛlimRn(x)=0n®¥¥（2） 唯一性：若f(x)在某區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)f(x)=åan=0nn(x-x0)，則其系數(shù)an=1n!f(n)(x0)，（n=0,1,2,L）（3） 展開(kāi)法：1°：直接法（見(jiàn)教材P218

30、）2°：間接法利用幾個(gè)函數(shù)的展開(kāi)式展開(kāi)¥e=xån=0xnn!¥，(-¥,+¥)2n+12n-1sinx=å(-1)n=0¥nx¥(2n+1)!n或å(-1)n=1n-1x(2n-1)!，(-¥,+¥)cosx=å(-1)n=0¥x2n(2n)!，(-¥,+¥)11-x=åxn=0n，(-1,1)ln(1+x)=¥å(-1)n=0¥nxn+1(n+1)，(-1,1(1+x)5 傅立葉級(jí)數(shù)m=1+&

31、#229;n=1m(m-1)(m-2)L(m-n+1)n!x，(-1,1)n（此內(nèi)容只適用于快班） （1） 定義：如果三角級(jí)數(shù)a02+å(an=1¥ncosnx+bnsinnx)中的系數(shù)an，bn是由尤拉11 財(cái)管雙語(yǔ)班 傅立葉公式給出，即an=1p1òòp-pf(x)cosnxdx，n=0,1,2,L；bn=p-ppf(x)sinnxdx，n=1,2,L則稱這樣的三角級(jí)數(shù)為f(x)的傅立葉級(jí)數(shù) （2） 收斂定理設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù)，如果它在一個(gè)周期內(nèi)滿足：連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；單調(diào)或只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)a02+&

32、#229;(an=1¥ncosnx+bnsinnx)收斂于f(x)ìïíf(x-0)+f(x+0)ï2îx為連續(xù)點(diǎn)x為間斷點(diǎn)（3） 函數(shù)f(x)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)的方法：1°：求f(x)的傅立葉系數(shù)；2°：將1°中的系數(shù)代入三角級(jí)數(shù)式；3°：寫(xiě)出上式成立的區(qū)間（4） 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)¥稱åbnsinnx（an=0）為正弦級(jí)數(shù)；稱n=1a02¥+åan=1ncosnx（bn=0）為余弦級(jí)數(shù)若在-p,p上，f(x)為奇函數(shù)，則有an=0，其正弦級(jí)數(shù)為å

33、;bnsinnx，n=1¥bn=2pòp f(x)sinnxdx，（n=1,2,L）；若在-p,p上，f(x)為偶函數(shù)，則有bn=0，其余弦級(jí)數(shù)為a02¥+ån=1ancosnx，an=2pòp f(x)cosnxdx，（n=0,1,2,L）；若f(x)是定義在0,p上的函數(shù)，要求其正弦（余弦）級(jí)數(shù)，可先對(duì)f(x)進(jìn)行奇（偶）延拓； 奇延拓：F(x)=í ìf(x)xÎ0,pî-f(-x)xÎ-p,012 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料偶延拓：F(x)=íìf(x)îf(-

34、x)xÎ0,pxÎ-p,0)對(duì)于周期為2l的函數(shù)的展開(kāi)情況與上邊類似（略） 第十二章 微分方程一、 基本概念1 微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程2 微分方程的階：微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫微分方程的階3 微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)叫微分方程解；若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫微分方程的通解；確定了通解中任意常數(shù)以后所得的解叫微分方程的特解4 初始條件：用來(lái)確定通解中任意常數(shù)的條件叫初始條件二、 一階微分方程的解法一階微分方程的形式通常記為：F(x,y,y¢)=0或y¢=f(x

35、,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0常見(jiàn)一階微分方程有：1 可分離變量微分方程能化成g(y)dy=f(x)dx的一階微分方程叫可分離變量的微分方程通常有dydx=g(y)×f(x)或M1(x)×N1(y)dx+M2(x)×N2(y)dy=0，分離變量，兩邊積分可得通解2 齊次微分方程 一階方程dydx=f(x,y)中的f(x,y)可表示成yx的函數(shù)，即f(x,y)=jçæyö÷，èxø則稱此方程為齊次方程 解法：令u=yx，則dydx=u+xdudx代入原方程便得可分離變量微分方程3 一階線性微

36、分方程 形如dydx+P(x)×y=Q(x)或dxdy+P(y)×x=Q(y)的方程叫一階線性非齊次微分方程。Q=0時(shí)，為一階線性齊次微分方程13 財(cái)管雙語(yǔ)班dydx-P(x)dx+P(x)×y=0的通解為y=ceò 用常量變易法得dydx+P(x)×y=Q(x)的通解為：-P(x)dxéòP(x)dxdx+cù y=eòQ(x)eòêúëû4 貝努利方程 形如dydx+P(x)×y=Q(x)×y（n¹0,1）的方程叫貝努利方

37、程 n解法：兩邊同除以yn，令y1-n=z，便得一階線性非齊次微分方程5 全微分方程（普通班不要求）若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0滿足¶P¶y=¶Q¶x，即Pdx+Qdy為某二元函數(shù)u(x,y)的全微分，則稱此方程為全微分方程其通解為：u(x,y)=u(x,y)=òxx0xP(x,y0)dx+òyy0Q(x,y)dy=C或òyy0Q(x0,y)dx+òx0P(x,y)dy=C三、 可降階的高階微分方程1 y(n)=f(x)型接連n次積分，可得此方程的含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)的通解 2 y¢

38、¢=f(x,y¢)型dpdx令y¢=p，則y¢¢=的通解3 y¢¢=f(y,y¢)型 ，代入原方程，并依次解兩個(gè)一階微分方程便可得此方程令y¢=p，則y¢¢=dpdx=dpdy×dydx=pdpdy，代入原方程，得到一階微分方程pdpdy=f(y,p)解此一階微分方程，得到y(tǒng)¢=p=j(y,C1)，然后分離變量并積分便可得此方程的通解14 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料 四、 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)y¢¢+p(x)y¢+Q(x)y=0 （1） y

39、¢¢+p(x)y¢+Q(x)y=f(x) （2）稱（1）為二階線性齊次微分方程，稱（2）為二階線性非齊次微分方程 1°：若y1，y2是（1）的兩個(gè)解，則線性組合C1y1+C2y2也是（1）的解 2°：若y1，y2是（1）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則y=C1y1+C2y2就是（1）的通解 3°：若y1，y2是（2）的兩個(gè)解，則y=y1-y2就是（1）的一個(gè)解4°：若是（1）的通解，y*是（2）的一個(gè)特解，則y=+y*就是（2）的通解 5°：若（2）中的f(x)=f1(x)+f2(x)，且y1是y¢¢+p

40、(x)y¢+q(x)y=f1(x)的特解，y2是y¢¢+p(x)y¢+q(x)y=f2(x)的特解，則y*=y1+y2就是（2）的特解 五、 二階線性常系數(shù)微分方程1 齊次：y¢¢+py¢+qy=0（1）其特征方程為：r2+pr+q=0（2）1°：若r1，r2為（2）的不等二實(shí)根，則（1）的通解為：y=C1e1+C2erxr2x*2°：若r1，r2為（2）的相等二實(shí)根，則（1）的通解為：y=(C1+C2x)e1 3°：若r1,2=a±bi為（2）的一對(duì)共軛復(fù)根，則（1）的通解為：y=e

41、n階（n>2）的略axrx(c1cosbx+c2sinbx)2 非齊次¢¢¢y+py+qy=f(x)（1）相應(yīng)齊次方程為：y¢¢+py¢+qy=0（2） 方程（1）的通解y=（2）的通解+（1）一個(gè)特解y 已解決，這里關(guān)鍵是求y：lx1°：若f(x)=ePm(x)，其中Pm(x)為x的m次多項(xiàng)式，此時(shí)令*15 財(cái)管雙語(yǔ)班 y=xeQm(x)，這里Qm(x)為系數(shù)待定的m次多項(xiàng)式*klxì0ïk=í1ï2î當(dāng)l不是特征方程的根時(shí)當(dāng)l是特征方程的單根時(shí)當(dāng)l是特征方程的重根時(shí)

42、 2°：f(x)=elxPl(x)cosbx+Pn(x)sinbx（其中Pl(x)、Pn(x)分別為l、n次多項(xiàng)式）此時(shí)令y*=xkelxQm(x)cosbx+Rm(x)sinbx，此處m=maxl,n；Qm(x)、ì0Rm(x)是兩個(gè)m次系數(shù)待定的多項(xiàng)式，k=íî1當(dāng)l±ib不是特征根時(shí)當(dāng)l±ib是特征根時(shí) 二強(qiáng)化訓(xùn)練（）04、05、06期末試卷 20042005學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷 一、 單選題（每小題4分，共16分） 1 下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）（A） 若f(x)在(a,b) ） 23，13（B）23，-23，13（C）-23

43、，-23，13（D）23，23，-13 3 平行于z軸的平面是（ ）16 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料3x-2z=0 （A）（B）（C）（D）2x-3y+10=0 4y+z=0 x+y+z+1=04 設(shè)D=(x,y)|x2+y2£a2,a>0,y>0，在極坐標(biāo)中，二重積分òò(x+y)dxdy可22D表示為（ ）（A）òdqòrdr （B）òdqòr2dr 0000pa3pap（C）ò2-p2dqòa0prdr （D）ò32-p2dqòrdr 0a2二、 填空題（每小題4分，共1

44、6分）1 òp-pxsinxdx=4rrrr2 設(shè)a=3i-k，b=2i-3j+2k，則a´b=3 設(shè)z=xy+x3，則¶z¶x+¶z¶y= 4 設(shè)區(qū)域D=(x,y)|0£x£1,0£y£2，則òòkdxdy=D三、 計(jì)算題（每題6分，共48分）1 計(jì)算òe01-xdx 2 求球心在點(diǎn)(2,-2,1)并與zOx平面相切的球面方程 3 計(jì)算òòòxdxdydz，其中W為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域W17 財(cái)管雙語(yǔ)班 D4

45、 計(jì)算òòxyds，其中D是由直線x=2，y=1及y=x所圍成的閉區(qū)域2(2xy-x)dx+(x+y)dy5 ，其中是由拋物線和Ly=x22Ly=x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線2 6 求微分方程y¢¢-2y¢+5y=0的通解 18 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料7 將函數(shù) 11+x2展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)¥8 求冪級(jí)數(shù)ån=1(x-1)2×nnn的收斂域 四、 綜合題（共14分）secqìx=rcosq1 設(shè)有關(guān)系式í，將積分ò4dqòf(rcosq,rsinq)rdr化為直角坐標(biāo)系下的00

46、îy=rsinqp二次積分。（6分） 2 設(shè)f(x)=x3+1-xòf(t)dt+0xx0ò（8分） tf(t)dt，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，求f(x)。 19 財(cái)管雙語(yǔ)班五、 證明題（6分）ò a0dyòe0ym(n-x)f(x)dx=òa0(a-x)em(n-x)f(x)dx20052006學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷一、 選擇題（每題4分，共20分）1 z=1ln(x+y)的定義域（ ）Ax+y¹0 Bx+y>0 Cx+y¹1 Dx+y>0且x+y¹1 2 z=f(x,y)在(x0,y0)處

47、可微的充分條件是（ ）Afx¢(x0,y0)，fy¢(x0,y0)都存在Bfx¢(x0,y0)，fy¢(x0,y0)在(x0,y0)的某個(gè)鄰域 ）時(shí)，ån=1aqn（a為常數(shù)）收斂Aq<1 B|q|<1 Cq>-1 D|q|>14 當(dāng)積分區(qū)域D是由（ ）圍成時(shí)，òòdxdy¹1DAx軸、y軸及2x+y-2=0 Bx=1，x=2及y=3，y=4C|x|=12，|y|=12 D|x+y|=1，|x-y|=120 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料5 dydx22 +y=0的通解是（ ）Ay=Asinx By

48、=BsinxCy=sinx+Bcosx Dy=Asinx+Bcosx二、 填空題（每題4分，共24分）1 z=arcsin(yx)，則¶z¶y=22 L是一條分段光滑的閉曲線，則2xydx+xdy=L3 x1×3+x222×3+L+exnnn×3+L的收斂域是 4 改變積分次序òdxò1lnx0f(x,y)dy=225 L為圓周：x=acost，y=asint（0t2p），則(x+y)ds=L三、 計(jì)算題（每題10分，共40分）1 2 3 òòDe-x-y22dxdy，D：中心在原點(diǎn)半徑為a的圓周圍成的閉

49、區(qū)域 òLydx，L半徑為a，圓心在原點(diǎn)，逆時(shí)針繞行的上半圓周 2òòSdSz2222，S：球面x+y+z=a被平面z=h（0<h<a）截出的頂部21 財(cái)管雙語(yǔ)班4 已給òyxdx=x2+y，求滿足y0xx=0=0之特解 四、 （12分）把正數(shù)a分成三個(gè)正數(shù)之和，使它們乘積最大，并由此結(jié)果證明xyzx+y+z3（x>0，y>0，z>0） 五、 （8分）計(jì)算òò|y-x|dxdy，其中區(qū)域D為0x1，0y1D2 20062007學(xué)年期末考試試卷 一、填空題（每小題4分，共20分）y1 設(shè)z=x，則dz=2

50、設(shè)平面區(qū)域D=(x,y)|x|£1,0£y£2，則òò(xsiny+3)dxdy=3D3 設(shè)L為平面上任意正向簡(jiǎn)單閉曲線，則(3xy+cos2x)dx-(siny-x)dy=L23¥4 冪級(jí)數(shù)ån=1(x+1)nn的收斂域是5 微分方程y¢¢+y¢-6y=0的通解是 22 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料二、選擇題（每小題4分，共20分）1 設(shè)z=sec(xy-1)，則¶z¶x =（ ）（A）xsec(xy-1)tan(xy-1) （B）ysec(xy-1)tan(xy-1)（C）xt

51、an2(xy-1) （D）ytan2(xy-1)2 設(shè)W是長(zhǎng)方體：|x|1，0y2，0z1，則òòòxyzdv=（ ）W2（A）0 （B）13 （C）23 （D）323 設(shè)L是圓域x2+y22x的正向周界，則(x2-y)dx+(2x-y3)dy=（ ）（A）-2p （B）2p （C）-3p （D）3p¥4 冪級(jí)數(shù)åan(x+1)n在x=3處收斂，則該級(jí)數(shù)在x=-4處（ ）n=0（A）發(fā)散 （B）條件收斂 （C）絕對(duì)收斂 （D）收斂性不能確定5 函數(shù)y=C-x（C為任意常數(shù)）是微分方程xdydx22-dydx =1的（ ）（A）特解 （B）通解

52、（C）不是解 （D）是解，但既非特解，又非通解三、計(jì)算下列各題（每小題6分，共30分）1 求極限limxy2+xy-2 x®0y®0 2 設(shè)z=f(yx,x-y)，求22¶z¶x，¶z¶y 23 財(cái)管雙語(yǔ)班 3 計(jì)算二次積分òdyò01yyexxdx ¥4 判斷級(jí)數(shù)ån=1nnn2n!的斂散性 5 求微分方程xy¢+y=ex的通解 四、求解下列各題（每小題8分，共16分）¥¥n-11 求冪級(jí)數(shù)ånxn=1的收斂域及其和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)ån=1n3n

53、的和 2 求微分方程y¢¢+4y¢=0在y(0)=0，y¢(0)=4下的特解 24 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)總復(fù)習(xí)資料五、（本題滿分6分）設(shè)z=x+f(v)，其中f(v)可微，且v=x2-y2，證明：¶z¶x¶z¶y=y y+x 六、（本題滿分8分）設(shè)有均勻錐面z=錐面的質(zhì)量與質(zhì)心 x+y22（0z1），其面密度m=1，求該（）自測(cè)訓(xùn)練 試卷一 一、填空題（每小題4分，共20分） 1 limxy2+xy-2=3(x,y)®(0,0)222 已知D：x+y1，y0，則òò(xcosy+y)dxdy=

54、D3 設(shè)-xydx+yxdy(x+y)¥22m2222（其中x+y¹0）是某二元函數(shù)的全微分，則m=4 冪級(jí)數(shù)ån=1x2n-12n-12的和函數(shù)是S(x)= dydx5 微分方程dydx2-6y=0的通解是 25財(cái)管雙語(yǔ)班 二、選擇題（每小題4分，共20分）1 曲面x2-4y2+2z2=6上點(diǎn)(2,2,3)處的法線方程為（ ）（A）（C）x-2-1x-2-1=y-2-4y-24=z-33z-33（B） （D）x-21x-21=y-2-4y-24=z-33z-33 2 設(shè)D是矩形域：0xp4，-1y1，則òòxcos(2xy)ds=（ ）D（A）0 （B）-12（C）12（D）14 3 設(shè)L是以A(-1,0)，B(-3,2)及C(3,0)為頂點(diǎn)的三角形域的圍界沿ABCA方向，則(3x-y)dx+(x-2y)dyL¥=（ ）（A）-8 （B）0 （C）8 （D）204 若冪級(jí)數(shù)åan(x+2)n在x=-5處收斂，則其在x=0處是（ ）n=1（A）發(fā)散 （B）條件收斂 （C）絕對(duì)收斂 （D）收斂性不能確定 5 函數(shù)y=x36+Cx（C為任意常數(shù)）是微分方程dydx22 =x的（ ）（A）通解 （）特