版中考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教版湖南專(zhuān)用基礎(chǔ)講練鎖定考試目標(biāo)導(dǎo)學(xué)必備知識(shí)探究重難方法 直角三角形含解析

1、第16講直角三角形考標(biāo)要求考查角度1.了解直角三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)與判定2掌握勾股定理與逆定理，并能用來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題.直角三角形是中考考查的熱點(diǎn)之一，題型多樣，多以簡(jiǎn)單題和中檔難度題出現(xiàn)，主要考查直角三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及運(yùn)用勾股定理及其逆定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.知識(shí)梳理一、直角三角形的性質(zhì)1直角三角形的兩銳角_2直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的_3直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的_4勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方二、直角三角形的判定1有一個(gè)角等于_的三角形是直角三角形2有兩角_的三角形是直角三角形3如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的_，則

2、該三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一條邊的平方等于另外兩條邊的_，那么這個(gè)三角形是直角三角形自主測(cè)試1(2019廣東廣州)在RtABC中，C90°，AC9，BC12，則點(diǎn)C到AB的距離是()A B C D2(2019四川巴中)已知a，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足關(guān)系式|ab|0，則ABC的形狀為_(kāi)3. (2019重慶)如圖，在RtABC中，BAC90°，點(diǎn)D在BC邊上，且ABD是等邊三角形若AB2，求ABC的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))考點(diǎn)一、直角三角形的判定【例1】 如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，點(diǎn)D為邊BC上的任一點(diǎn)，DFAB于F，D

3、EAC于E，M為BC的中點(diǎn)，試判斷MEF的形狀，并證明你的結(jié)論分析：連接AM，可得AMBM，然后證明BFMAEM，得到FMME，EMF90°.解：MEF是等腰直角三角形連接AM，BAC90°，AM是斜邊BC的中線(xiàn)，MAMBMC，MABCABAC，BBAMMAE45°.DFAB，DEAC，AFDAEDFAE90°，四邊形DFAE是矩形，F(xiàn)DEA又FBFD，F(xiàn)BEA，BFMAEM(SAS)，F(xiàn)MEM，BMFAME.AMFBMF90°，EMFAMFAME90°，MEF是等腰直角三角形方法總結(jié) 證明一個(gè)三角形是直角三角形的方法比較多，最簡(jiǎn)捷的

4、方法就是求出一個(gè)角等于90°，也可以利用三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，或者利用勾股定理的逆定理證得觸類(lèi)旁通1具備下列條件的ABC中，不能成為直角三角形的是()AABC BA90°CCABC DAC90°考點(diǎn)二、直角三角形的性質(zhì)【例2】 兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線(xiàn)上，連接DC(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母)；(2)證明：DCBE.(1)解：圖2中ABEACD證明如下：ABC與AED均為等腰直角三角形，ABAC，AEAD，BACEAD90

5、6;.BACCAEEADCAE，即BAECAD又ABAC，AEAD，ABEACD(2)證明：由(1)ABEACD知ACDABE45°.又ACB45°，BCDACBACD90°，DCBE.方法總結(jié) 直角三角形除具有兩銳角互余、兩直角邊的平方和等于斜邊的平方、斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半這些性質(zhì)外，還具有外接圓半徑等于斜邊的一半，內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半，它的外心是斜邊的中點(diǎn)，垂心是直角頂點(diǎn)等性質(zhì)考點(diǎn)三、勾股定理及其逆定理【例3】 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 cm，BC=8 cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線(xiàn)AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE

6、重合，求CD的長(zhǎng)解：設(shè)CD長(zhǎng)為x cm，由折疊得ACDAEDAEAC6 cm，AEDC90°，DECDx cm.在RtABC中，AC6 cm，BC8 cm，AB10(cm)EBABAE1064(cm)，BDBCCD(8x) cm，在RtDEB中，由勾股定理得DE2BE2DB2.x242(8x)2，解得x3.CD的長(zhǎng)為3 cm.方法總結(jié) 1.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的兩邊求第三邊，當(dāng)我們只知道直角三角形的一邊時(shí)，如果可以找到另外兩邊的關(guān)系，也可通過(guò)列方程的方法求出另外兩條邊2勾股定理逆定理主要是已知一個(gè)三角形的三邊，判斷三角形是否為直角三角形觸類(lèi)旁通2如圖，在四邊形ABCD中

7、，A=90°，AB=3，AD=4，CD=13，CB=12，求四邊形ABCD的面積考點(diǎn)四、勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用【例4】 如圖所示，鐵路上A，B兩站(視為直線(xiàn)上兩點(diǎn))相距14 km，C，D為兩村莊(可視為兩個(gè)點(diǎn))，DAAB于A，CBAB于B，已知DA8 km，CB6 km，現(xiàn)要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？分析：因?yàn)镈AAB于A，CBAB于B，在AB上找一點(diǎn)可構(gòu)成兩個(gè)直角三角形，我們可想到通過(guò)勾股定理列方程進(jìn)行求解解：設(shè)E站應(yīng)建在距A站x km處，根據(jù)勾股定理有82x262(14x)2，解得x6.所以E站應(yīng)建在距A站6

8、 km處方法總結(jié) 勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用，是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立勾股定理或逆定理的數(shù)學(xué)模型通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題得以解決觸類(lèi)旁通3有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊的長(zhǎng)分別為6 m，8 m，現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8 m為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)1(2019湖南邵陽(yáng))如圖所示，在RtABC中，ACB90°，B30°，ED是BC的垂直平分線(xiàn)，請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩條相等的線(xiàn)段_2(2019湖南岳陽(yáng))如圖，在RtABC中，B90°，沿AD折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上，若AB3，BC4，則BD_.3(2019湖南郴

9、州)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC6，BD8，則這個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為_(kāi)4(2019湖南張家界)黃巖島是我國(guó)南海上的一個(gè)島嶼，其平面圖如圖甲所示，小明據(jù)此構(gòu)造出該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型如圖乙所示，其中BD90°，ABBC15千米，CD3千米，請(qǐng)據(jù)此解答如下問(wèn)題：圖甲圖乙(1)求該島的周長(zhǎng)和面積(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)1.41，1.73，2.45)；(2)求ACD的余弦值1. 如圖所示，將一個(gè)有45度角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3 cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線(xiàn)成30度角，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為()A3 cm B6 cmC3 cm D

10、6 cm2在ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且ac2b，cab，則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形3一個(gè)直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別為15,20，則第三邊的長(zhǎng)是()A5 B25C5或25 D無(wú)法確定4. 如圖，在RtABC中，以三邊AB，BC，CA為直徑向外作半圓，設(shè)直線(xiàn)AB左邊陰影部分的面積為S1，右邊陰影部分的面積和為S2，則() AS1=S2BS1S2CS1S2D無(wú)法確定5直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,8，現(xiàn)將ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則的值是()A B C D6. 如圖，在RtABC中，ACB=90°，點(diǎn)D是斜邊A

11、B的中點(diǎn)，DEAC，垂足為E，若DE2，CD2，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)7. 如圖，已知等腰RtABC的直角邊長(zhǎng)為1，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰RtADE，依此類(lèi)推直到第五個(gè)等腰RtAFG，則由這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為_(kāi). 8. 如圖，已知點(diǎn)D為等腰RtABC內(nèi)一點(diǎn)，CADCBD15°，E為AD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且CECA(1)求證：DE平分BDC；(2)若點(diǎn)M在DE上，且DCDM，求證：MEBD參考答案【知識(shí)梳理】一、1.互余2.一半3.一半二、1.90°2.互余3一半4.平方和導(dǎo)學(xué)必備知識(shí)自

12、主測(cè)試1A根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：在RtABC中，AC9，BC12，根據(jù)勾股定理得：AB15.過(guò)點(diǎn)C作CDAB，交AB于點(diǎn)D，又SABCAC·BCAB·CD，CD，則點(diǎn)C到AB的距離是.2等腰直角三角形由題意得：c2a2b20，ab0，c2a2b2，ab，則ABC的形狀為等腰直角三角形3解：ABD是等邊三角形，B60°.BAC90°，C180°90°60°30°，BC2AB4.在RtABC中，由勾股定理得：AC2，ABC的周長(zhǎng)為ACBCAB24262.探究考點(diǎn)方法觸類(lèi)旁通1.D觸類(lèi)旁通2.解：在RtABD

13、中，BD5，在BCD中，CD13，CB12，BD5，CB2BD2CD2.DBC90°.S四邊形ABCDSABDSDBCAB·ADBC·BD×3×4×12×563036.觸類(lèi)旁通3.解：在RtABC中，AC8，BC6，由勾股定理得，AB10，擴(kuò)充部分為RtACD，擴(kuò)成等腰三角形ABD，應(yīng)分以下三種情況：(1)如圖1，當(dāng)ABAD10時(shí)，可求得CDCB6，故ABD的周長(zhǎng)為32 m.(2)如圖2，當(dāng)ABBD10時(shí)，可求得CD4，由勾股定理得AD4，故ABD的周長(zhǎng)為(204) m.(3)如圖3，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)ADBDx，則CDx6，

14、由勾股定理得(x6)282x2，則x，故ABD的周長(zhǎng)為 m.品鑒經(jīng)典考題1答案不唯一，BDCD或BECE或ACCE或CEAE或ACAE或AEBE等由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念，得BDCD；由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，得BECE；由ACE是等邊三角形，得ACCEAE；由三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，得AEBE，由上面結(jié)論，任選兩條相等的線(xiàn)段即可2.設(shè)B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，連接DB，由勾股定理得AC5，又ABAB，所以BC532，設(shè)DBDBx，則DC4x，在RtDBC中，x222(4x)2，解得x.354解：(1)連接AC，在RtABC中，ABBC15千米，B90°，AC15(千米)在RtACD中，AC15千米

15、，CD3千米，D90°，AD12(千米)周長(zhǎng)ABBCCDDA1515312304.2320.7655(千米)，面積SABCSADC×15×15×12×318157(平方千米)(2)cosACD.研習(xí)預(yù)測(cè)試題1D2A由ac2b，cab，可得cb，ab，于是得a2b2c2，所以ABC是直角三角形3C4.A5C由折疊性質(zhì)可知，AEBE，設(shè)CE為x，則BE8x.在RtBCE中，62x2(8x)2，所以x.故.64點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，ACB90°，DEAC，CDAB，DEBC，AB4，BC4.在RtACB中，AC8，CEAC4.CEBC4，ACB90°，BE4.7.根據(jù)題意易知CDAC，ADDE()22，EFAE2，AFFG2×4，AG4，所以所求圖形的面積SSABCS梯形ACDES梯形AEFG×1×1×(2)××(24)×2312.8證明：(1)在等腰RtABC中，CADCBD15°，BADABD45°15°30°.BDAD.BDCADC.DCADCB45°.由BDMABDBAD3