極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程

1、極坐標(biāo)及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用1.極坐標(biāo)概述第一個(gè)用極坐標(biāo)來確定平面上點(diǎn)的位置的是牛頓。 他的流數(shù)法與無窮級數(shù) ，大約 于 1671年寫成，出版于 1736 年。此書包括解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線,書中創(chuàng)見之一，是引進(jìn)新的坐標(biāo)系。瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努力利于 1691 年在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為J.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。J.貝努利的學(xué)生 J.赫爾曼在 1729 年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，而且自由地應(yīng)用極 坐標(biāo)去研究曲線。在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但它并 不是確定點(diǎn)的位置的唯一方法。有些復(fù)雜的曲線用直角坐標(biāo)

2、表示，形式極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表示，就變得十分簡單且便于處理，在此基礎(chǔ)上解決平面解析幾何問題也變的極其簡 單。通過探究極坐標(biāo)在平面解析幾何中的廣泛應(yīng)用，使我們能夠清楚的認(rèn)識到，用極坐標(biāo) 來解決某些平面解析幾何問題和某些高等數(shù)學(xué)問題比用直角坐標(biāo)具有很大的優(yōu)越性，故本 文對其進(jìn)行了初步探討。國內(nèi)外研究動態(tài)，不僅在數(shù)學(xué)理論方面，很多學(xué)者對極坐標(biāo)以及極坐標(biāo)方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領(lǐng)域，很多學(xué)者對極坐標(biāo)也有較深的研究。由此看來, 極坐標(biāo)已應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。1.1極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn) 0,叫作極點(diǎn)，引一條射線 OX，叫做極軸，再選定一個(gè)長度單 位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針方

3、向）。對于平面內(nèi)任意一點(diǎn) M ,用 P 表示線段 0M 的長度，0 表示從 0X 到 0M 的角度，P 叫 點(diǎn) M 的極徑，日叫點(diǎn) M 的極角，有序數(shù)對（P,日）就叫點(diǎn) M 的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系 叫極坐標(biāo)系，記作 M （ P,日）.若點(diǎn) M 在極點(diǎn)，則其極坐標(biāo)為 P =0,9 可以取任意值。圖 1-2如圖 1-2，此時(shí)點(diǎn) M 的極坐標(biāo)可以有兩種表示方法:P0,M ( P,兀刑)圖 1-1(1)P0, M (-P, 9 )同理，（P, 0 與（-P,兀+0 ）也是同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。又由于一個(gè)角加 2M（n 忘 Z）后都是和原角終邊相同的角，所以一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯。但若限定 P 0 , 0e2

4、;i 或-兀9；1，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以 對應(yīng)了。1.2曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有 P,日這兩個(gè)變數(shù)的方程（P, 0）=0 來表示，這種方 程叫曲線的極坐標(biāo)方程。求曲線的極坐標(biāo)方程的方法與步驟:建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，并設(shè)動點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（P, 9）;寫出適合條件的點(diǎn) M 的集合;列方程玖 P, 0 ）=0 ； 化簡所得方程；證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程:圖 1-3過點(diǎn) F 作準(zhǔn)線 L 的垂線，垂足為 K ,以焦點(diǎn) F 為極點(diǎn)，F(xiàn)K 的反向延長線 FX 為極軸,建立極坐標(biāo)系。設(shè) M （ P, ）是曲線上任意一點(diǎn)，連結(jié) MF ,

5、作 MA 丄 L , MB 丄 FX，垂- =eP + P cos日eP1 -ecos日這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程。其中當(dāng) 00 )，以點(diǎn) A 為新坐標(biāo)系原點(diǎn)，則曲線 G 為(X + 2)2+y2=1(y 0)以點(diǎn) A 為極點(diǎn)，X軸的正方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系。如圖2-5 所示,則曲線 G 為2 2(X-2) +(y-2)=1 (XA2)C 的坐標(biāo)為231231 應(yīng)用圓心是（a,0），半徑是a的圓的方程P =2acos日來證明例 6 求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積（托列迷定理）。證明：如圖 2-6，以 D 為極點(diǎn)，DO 的延長線為極軸建立極坐標(biāo)系。設(shè)圓

6、的半徑為a，貝 U L O :P = 2a cose.A（Pi,0i）、B（p2,日2）、C（p3,日3）三點(diǎn)都在L O上,另由正弦定理得圖 2-62.3.22.3.2 應(yīng)用極點(diǎn)在圓上，圓心為（a）的方程P=2acos（日0）證明例 7 自圓上一點(diǎn)引三弦，并以它們各自為直徑畫圓。求證：所畫三圓的其它三交點(diǎn)共線（沙爾孟 salmon 定理）。圖 2-7證明：如圖 2-7 ,OA、OAp OA2、OA3分別是LC、C、C2I C3的直徑，R、P?、P3分 別是LCi與UC2、LC2與LC3、LC3與G的交點(diǎn)，以o為極點(diǎn)，OA的延長線為極軸建立極坐標(biāo)系，為簡便計(jì)，設(shè) OA =1，極軸與 OA、OA2

7、LOA3的交角分別為 6、日2、&3，則所以P = cosq cos(日一)P =cos 日3cos（日一氏）設(shè)口（耳,日1）,則由（1）、（2）”Pi點(diǎn)坐標(biāo)為（cos cos82,q +日2）同理應(yīng)用輪換得P2點(diǎn)坐標(biāo)為（COSzCOS&sE+&3），P3點(diǎn)坐標(biāo)為（COS日3C0Sq,日3+q）.顯然P、P2、P3三點(diǎn)坐標(biāo)滿足法線式方程故P、卩2、P3三點(diǎn)共線，命題獲證。(1)02：P= cos 日2cos(日一日 2 )(2)取 k =0,得日=q +日2，代入（1）中，得P =cosq cos日2.2.3.32.3.3 應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程、兩點(diǎn)或直線方程和法線式方程證明例 8 求證：三角形外接圓上任一點(diǎn)在三邊上的射影共線（西摩松Sinson 定理）。圖 2-8證明：如圖 2-8，以 P 為極點(diǎn)，P0 的延長線為極軸建立坐標(biāo)系。設(shè)AAA2A3的外接圓直徑為 d，則 LI 0 的方程為 P =dcos 日，設(shè)頂點(diǎn)為 A （d cos% 3 X i =1,2,3） 9 占0,2；!MA2的兩點(diǎn)式方程為s呻2 7)/呻2)+sin(1)Pd cosdd COS82這是AA2