解三角形題中的邊與的轉(zhuǎn)化策略

1、解三角形題中的邊與角的轉(zhuǎn)化策略舒云水解答一些解三角形的題目，常常需要運(yùn)用正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，將已知條件中的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式或 將角的三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式， 下面談?wù)劷馊切晤}中的邊與角 轉(zhuǎn)化的常見策略.將角的正（余）弦關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式解：由題設(shè)并利用正弦定理，得等式，對(duì)于這種等式，一般有兩種轉(zhuǎn)化思路可考慮：一是將邊轉(zhuǎn)化為角；二 是將角轉(zhuǎn)化為邊.本題若將邊轉(zhuǎn)化為角，即將已知等式轉(zhuǎn)化為例1在/ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知51sin A sinC -sin B,b 1,ac-.求a,c的值.44分析：運(yùn)用正弦定理將三個(gè)角

2、的正弦關(guān)系si nA三條邊的關(guān)系“a c 5b”，聯(lián)立“aCCacsinC -sinB” 轉(zhuǎn)化為41”，解方程組即可求5a c a 1/，解得c1，或1c ac 44sin A si nC5 .一sin4in B”轉(zhuǎn)化為邊關(guān)系CCa c-b”是解本題的關(guān)鍵.4在ABC中,c分別為內(nèi)角B、C的對(duì)邊，且2asin A(2 b c)sin B (2c b)sinC求A的大小.分析: 本題已知條件“2as in A (2 b c)si nB (2 cb）sinC”是一個(gè)邊角混合“2sin2A (2sinB sinC)sin B (2sinC sin B)sinC”，再化簡(jiǎn)求A比較困難.而5將角化成邊“

3、2a2(2b c)b (2c b)c”，化簡(jiǎn)得：a2b2c2bc，再利用余弦定理很容易求出A-解：由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2b c)b (2c b)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得：a2b2c22bccosA.1故cosAA 120o2點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理，將已知的邊角混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系式 是解決本題的切入點(diǎn)、突破口.二、將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式解答有關(guān)解三角形的問(wèn)題，有時(shí)需要運(yùn)用正(余)弦定理，將已知條件中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式sinC，再根據(jù)sinC sin(A B)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可求出解：根據(jù)acosB bcosA -c以及正弦定理，可得53 4

4、533sinAcosB sin BcosA -sine -sin(A B),5533sin AcosB sin BcosA -sine-sin AcosB55十,28因此，有-si nAcosB-cosAs in B,55tan A ,例3設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且acosB bcosA -c.求 的值 5tan B分析：根據(jù)本題要求的結(jié)論丑tan B“acosB bcosA - c” 中的邊a、b、，本題應(yīng)將已知條件的邊角混合關(guān)系式c轉(zhuǎn)化為si nA、sin B、tanAtan B3-cos Asin B-“2sin2A (2sinB sinC)sin B (2s

5、inC sin B)sinC”，再化簡(jiǎn)求A比較困難.而5點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理將已知的邊角混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含角的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.例4設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且acosB 3，bsin A 4.求邊長(zhǎng)a- 4-tan B即cosAsin B 2cosCsinB 2sinCcosB分析: 本題是一道求邊長(zhǎng)的題目，先將兩個(gè)已知等式“bsin A 4”禾口“ acosB3”整合，即將兩個(gè)等式左、右兩邊分別相除，再用正弦定理將-轉(zhuǎn)a,化簡(jiǎn)求出tanB,再進(jìn)一步求出cosB、a.化為si nA解：將acosB 3、bsinA 4兩式相除，有4 bsin A3 acosB又

6、通過(guò)acosBsin Bsi nA _-tan B,sin AcosB3知：cosB 0,則cosB 3,點(diǎn)撥：解本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1.將兩個(gè)已知條件等式整合，相除；2.運(yùn)用正弦定理將b轉(zhuǎn)化.a sin A前面分別談了將角轉(zhuǎn)化為邊與將邊轉(zhuǎn)化為角兩種思路.事實(shí)上，一些題目用兩種轉(zhuǎn)化方法都可以求解，有時(shí)還要綜合運(yùn)用上面兩種轉(zhuǎn)化方法，下面舉一例說(shuō)明.例5在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知cos A 2cos CcosB思路1：專，求栄的值.將邊轉(zhuǎn)化為角.運(yùn)用正弦定理將解法1：在ABC，由 COSA2cosCcos A 2cosCcosBcosB2si nC si nAsin B2

7、c a轉(zhuǎn)化為2sinC sin Absin B3 及正弦定理可得bsin AcosB,貝J cosAsin B sinAcosB 2sinCcosB 2cosCsinB,sin( A B) 2sin(C B)，而ABC, 則sinC 2sin A，即竺2.sin A思路2:將角轉(zhuǎn)化為邊.直接運(yùn)用余弦定理將cosA、cosB、cosC轉(zhuǎn)化為由余弦定理可得.2 2 2 2 .2 2 2 2 .2b c a a b c a c b2caa整理可得c 2a，由正弦定理可得啞E2.sin A a三、三角形三個(gè)內(nèi)角之間的轉(zhuǎn)化根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知條件，用已知角來(lái)表示待求角，也是解三角形問(wèn)題中常用的轉(zhuǎn)化

8、策略.3a cosA ccosB bcosC.(1)求cosA的值;若cosB cosC2總，求sinC的值.3分析：題目所給已知條件關(guān)系式是邊、角混合式，(1)小題若運(yùn)用余弦定理化角為邊，求解較難.適宜運(yùn)用正弦定理化邊為角，得到關(guān)系式:3si nAcosA sin C cosB si n BcosC si n(B C), 再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理邊，得到邊的關(guān)系式c即可求出的值.sin A解法2:在ABC,2a，再運(yùn)用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,由cosA 2cosC 2c a可得cosBbcosA 2bcosC2ccosB acosB.2 2 .2a c b2c例6在ABC中，A、B、

9、C的對(duì)邊分別是c，已知解：(1)由3acosA ccosB bcosC及正弦定理得3sin AcosA sin A, 所以cosA -.3(2)si nA J1 cos2A.3由cosB cosC誓得cos(AC) cosC琴，展開易得cosC 72sinC=j3.又sin2c cos2C 1,所以(73 72sinC)2sin2C 1.化簡(jiǎn)整理得(73sinc 72)20,J3sinC420,sinC毎3點(diǎn)撥：注意角之間的轉(zhuǎn)化，將sin(B C)轉(zhuǎn)化為sin A,cosB轉(zhuǎn)化為cos( A C)是成功解答本題的關(guān)鍵.練習(xí)：1.ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為(73b c)cos A a cosC，貝JcosAsin (B C)將轉(zhuǎn)化為sin A,便可容易求出cosA. (1)小題已求出cosA,A為已知角,C為待求角，關(guān)鍵是要運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理將B轉(zhuǎn)化為(A C),化簡(jiǎn)I*I*cos( A C) cosC得cosC 72sin