第七講 第4章 立體的投影（三）

1、第七講 第4章 立體的投影（三）本講的學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解兩個立體相交時產(chǎn)生的相貫線性質(zhì)，熟練掌握利用積聚投影求相貫線的方法；掌握兩個平面立體相交、平面立體與曲面立體相交時，產(chǎn)生的相貫線的作圖方法；掌握同坡屋面概念及作圖方法。學(xué)習(xí)重點：利用積聚性求兩個立體相交時的相貫線；同坡屋面的作圖方法。 4.5 兩平面立體的相貫兩個相交的立體，稱為相貫體，兩立體表面的交線稱為相貫線。兩平面立體相交，其相貫線在一般情況下是封閉的空間折線，但有時也會是平面多邊形。如圖4-31所示。 （a）全貫 （b）互貫 圖4-31 兩平面立體相貫求兩個平面立體的相貫線的方法可歸納為： (1) 求出各個平面立體的有關(guān)棱線與另一個立

2、體的貫穿點。 (2) 將位于兩立體各自的同一棱面上的貫穿點(相貫點)依次相連，即為相貫線。(3) 判別相貫線各段的可見性。 (4) 如果相貫的兩立體中有一個是側(cè)棱垂直于投影面的棱柱體，且相貫線全部位于該棱柱體的側(cè)面上，則相貫線的一個投影必為已知，故可由另一立體表面上按照求點和直線未知投影的方法，求作出相貫線的其余投影【例4-14】 已知三棱柱與三棱錐相交，求它們的表面交線。如圖4-32（a）所示。（a）已知條件 （b）作圖圖4-32 求三棱柱與三棱錐相貫線作圖（1）求貫穿點。利用三棱柱在H面上的積聚投影直接求得三棱錐三條側(cè)棱SC、SA、SB與棱柱左右側(cè)面交點的H投影1、2、3、4、5、6，據(jù)此

3、再作出V投影1、2、3、4、5、6。（2）連貫穿點。根據(jù)“位于甲形體同一側(cè)面同時又位于乙形體同一側(cè)面兩點才能相連”的原則，在V投影上分別連成1-3-5和2-4-6兩條相貫線。（3）判斷可見性。根據(jù)“同時位于兩形體都可見的側(cè)面上的交線才可見”的原則來判斷，在V投影上，三棱柱左、右兩側(cè)面均可見三棱錐SAB、SBC面也均可見，所以交線1-5、3-5 和2-6、4-6 可見，而1-3、2-4 不可見。【例4-15】求煙囪與屋面的相貫線。如圖4-33所示。 （a）已知條件 （b）作圖之一 （c）作法之二圖4-33 煙筒與屋面相貫線的作法作圖：在側(cè)面投影中直接標(biāo)注出1（2）、3（4）,根據(jù)投影特性即可求出

4、1、2、3、4，如圖4-33(b)。 同坡屋面同坡屋面：如果同一屋面上各個坡面與水平面的傾角相等，稱為同坡屋面。 （a）立體圖 （b）投影圖圖4-34 同坡屋面同坡屋面有如下特點：1坡屋面如前后檐口線平行且等高時，前后坡面必相交成水平的屋脊線，屋脊線的H投影，必平行于檐口線的H投影，且與檐口線等距。2檐口線相交的相鄰兩個坡面，必相交于傾斜的斜脊線或天溝線。3在屋面上如果有兩斜脊、兩天溝、或一斜脊一天溝相交于一點，則必有第三條屋脊線通過該點。作同坡屋面的投影圖，可根據(jù)同坡屋面的投影特點，直接求得水平投影，再根據(jù)各坡面與水平面的傾角求得V面投影以及W面投影。 【例4-16】 已知屋面傾角和屋面的平

5、面形狀，如圖4-35 (a)所示，求屋面的V、W投影和屋面交線。（a）已知條件 （b） 第一步 （c） 第二步 、第三步 （d） 第四步圖4-35 同坡屋面交線作圖：（1）在屋面平面圖形上經(jīng)每一屋角作45o分角線。在凸墻角上作的是斜脊，在凹角上作的是天溝，其中兩對斜脊分別交于點a和點f，見圖4-35b。（2）作每一對檐口線（前后和左右）的中線，即屋脊線。通過點a的屋脊線與墻角2的天溝線相交于b，過點f的屋脊線與墻角3的斜脊線相交于e。對應(yīng)于左右檐口（23和67）的屋脊線與墻角6天溝線和墻角7的斜脊線分別相交于點d和點c（圖4-36c ）。（3）連bc和de，折線a-b-c-d-e-f即所求屋脊

6、線。a-1、a-8、c-7、e-3、f-4、f-5、b-c、d-e為斜脊線，b-2、d-6為天溝線。（4）根據(jù)屋面傾角和投影規(guī)律，做出屋面V、W的投影，見圖4-35d 。4.6 平面立體與曲面立體的相貫平面體與曲面體相交時，相貫線是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成。如圖4-36所示是建筑上常見構(gòu)件柱、梁、板連接的直觀圖。圖4-36 方梁與圓柱相貫的直觀圖 【例4-17】 求方梁與圓柱的相貫線。如圖4-37（a）所示。 （a） 已知條件具體作圖步驟見圖4-37（b）。（1）首先根據(jù)H、W積聚投影，直接標(biāo)注出相貫線上折點的水平投影1、2、3、4、5、6、7、8和側(cè)面投影1、2、3、4、5、6

7、、7、8。（2）利用點的投影規(guī)律求出相貫線的正面投影1、2、3、4、5、6、7、8。 （b）投影作圖 圖4-37 方梁與圓柱相貫的投影圖 【例4-18】 如圖4-38（a）所示，給出圓錐薄殼的主要輪廓線，求作相貫線。 （a）已知條件 （b） 直觀圖 （b）投影作圖圖4-38 圓錐薄殼基礎(chǔ)相貫的投影圖作圖（1）求特殊點。先求相貫線的轉(zhuǎn)折點，即四條雙曲線的聯(lián)結(jié)點A、B、M、G?？筛鶕?jù)已知的四個點的H投影，用素線法求出其它投影。再求前面和左面雙曲線最高點C、D；（2）同樣用素線法求出兩對稱的一般點E、F的V投影e、f 和一般點、的W投影1、2；（3）連點。V投影連接a- e-c-f -b，W投影連接

8、a-1-d-2-g；（4）判別可見性。相貫線的V、W投影都可見。相貫線的后面和右面部分的投影，與前面和左面部分重影。4.7 兩曲面立體的相貫兩曲面體相貫，其相貫線一般是封閉的空間曲線，特殊情況下為封閉的平面曲線，如圖4-39所示。 （a） 相貫線為封閉的空間曲線 （b） 相貫線為封閉的平面曲線圖4-39 兩曲面體相貫兩曲面立體的相貫線，是兩曲面立體的共有線，可以通過求一些共有點后連線而成。求相貫線的作圖步驟： (1) 分析：分析兩立體之間以及它們與投影面的相對位置，確定相貫線形狀。 (2) 求點 ：求點方法主要有兩種。 利用立體表面的積聚性直接求解。 利用輔助平面法求解。 (3) 連線 ：依次

9、光滑連接各共有點，并判別相貫線的可見性。 利用積聚性求相貫線【例4-19】 如圖4-40所示，已知兩拱形屋面相交，求它們的交線。 （a）已知條件 （b）直觀圖（c）投影作圖圖4-39 求兩拱形屋面相貫線作圖（1）求特殊點。最高點A是小圓柱最高素線與大拱的交點。最低、最前點B、C（也是最左、最右點），是小圓柱最左、最右素線與大拱最前素線的交點。他們的三投影均可直接求得。（2）求一般點E、F。再相貫線V投影的半圓周上任取點e和f。e（f）必在大拱的積聚投影上。據(jù)此求得e、f。（3）連點并判別可見性。在H投影上，依次連接b-e-a-f-c，即為所求。由于兩拱形屋面的投影均為可見，所以相貫線的H投影為

10、可見，畫為實線?！纠?-20】 如圖4-40所示，求作兩軸線正交的圓柱體的相貫線。 （a）已知條件 （b）直觀圖（c） 投影作圖圖4-40 求兩軸線正交的圓柱體的相貫線作圖 1求特殊點 正面投影中兩圓柱投影輪廓相交處的1、2兩點分別是相貫線上的最高、最低點(同時也是最左點)，它們的水平投影落在大圓柱最左邊素線的水平投影上，1和(2)重影。 、兩點分別位于小圓柱的兩條水平投影輪廓線上，它們是相貫線上的最前點和最后點，也是相貫線上最右位置的點?？上仍谛A柱和大圓柱水平投影輪廓的交點處標(biāo)出3和4，然后再在正面投影中找到3和(4)(前、后重影)。 2求一般點 先在小圓柱側(cè)面投影(圓)上的幾個特殊點之間

11、，選擇適當(dāng)?shù)奈恢萌讉€一般點的投影，如：5、6、7、8等，再按投影關(guān)系找出各點的水平投影5、（6）、（7）、8，最后作出它們的正面投影5、6、（7）、(8)。3連點并判別可見性 在連接各點成相貫線時，應(yīng)沿著相貫線所在的某一曲面上相鄰排列的素線 (或緯圓)順次圓滑連接。 利用輔助面求相貫線【例4-21】 如圖4-41所示，求圓柱與圓錐的相貫線。 （a）已知條件 （b） 投影作圖 （c） 直觀圖圖4-44 求圓柱與圓錐的相貫線作圖（1）利用積聚性求出相貫線的最高點3、3 和最低點4、4，根據(jù)點的投影規(guī)律求出3和4；（2）利用輔助面求出相貫線的最左、最右點，其V投影1、2 直接標(biāo)出。過圓柱做水平輔助

12、面R與圓錐的交線是水平緯線圓，其H投影與圓柱面的前后兩條輪廓線投影的交點就是最左點和最右點的H投影1、2。由1、1和2、2求1、2。（3）作輔助面P、Q，求一般點A、B和C、D。作水平輔助面PV、QV，求出PV平面與圓柱面交線的H投影（矩形），以及PV平面與圓錐面交線的H投影（圓），兩H投影的交點a、b即求出。由a、b求出a、b和a、b。同理利用QV平面求出c、d和c、d和c、d。（4）連點并判斷可見性。由于形體左右對稱，故W投影中3-a-1-c-4與3-b-2-d-4重疊，左邊可見，右邊不可見。H投影中1-a-3-b-2可見,1 -c-4-d-2不可見。兩曲面體相貫的特殊情況在一般情況下，兩曲面體的交線為空間曲線，但在下列情況下，可能是平面曲線或直線。(1) 當(dāng)兩曲面體相貫且同軸時，相貫線為垂直于該軸的圓，見圖4-45所示。(2) 當(dāng)兩曲面體相貫具有公共的內(nèi)切球時，其相貫線為橢圓，見圖4-46所示。圖