2011屆高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之(19)空間中的角和距離

1、用心 愛心 專心2011屆高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之空間中的角和距離1 解立幾題要有化平幾思想：所有求空間角與距離的問題最終都要轉(zhuǎn)化到平面上求解，有 時(shí)還可以將要求的角 （或線段）所在的平面分離出來，這樣清楚醒目，便于求解，不易出錯(cuò)。2研究異面直線所成的角通常有兩種方法。通過平移使之成為一個(gè)平面角，然后解三角形求得；在空間直角坐標(biāo)系中利用向量的夾角公式。注意異面直線所成角的范圍是:PQ 1 NQQQ 2, QANQ 1PQ NQQCQQ QA故AQ/ PN. /B取是異面直線AC與PB所成的角（或其補(bǔ)角）PB =J；QB2QP2m,：（2；2）2TBN二QB2QN2二(2、2)2( 2)2二10COS

2、 BPN =PB2PN2- BN22PB PN9 3-10上2 3、39故異面直線AQ與PB所成的角是arccos方法二：“建系”：由題設(shè)知，ABCD 是正方形， AC丄BD.由（I ）,PQ丄平面ABCD，故 可以分別以直線 CA DB QP 為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖 1-2 ）,由題設(shè),相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P(0,0,1),Q(0,0, -2),B(0,.2,0),AQ =( -2 2,0,-2),PB =(0, 2、2, -1),cos：AQ, PB圖 1-1用心 愛心 專心00V11（0 , 90 , 女口： cos =-,則異面直線 a, b 所成的角為 arcco

3、s -3舉例如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P -ABCD 與 Q -ABCD的高分別為 1 和 2,AB =4, （I）證明：PQ _ 平面 ABCD;（n）求異面直線 AQ 與 PB 所成的角；解析：（I）記 AC BD 交于 O,連 PO QQ 則 PQL面 ABCD QQL 面 ABCD： P、Q Q 共線，PQL 面ABCD（n）方法一：“平移”：注意到 AC PQ 交于 Q 取 QC 的中點(diǎn) N,連結(jié)PN BN注：在“平移”時(shí)常用到一些平面圖形的性質(zhì)，如：三角形的中位線、梯形中位線、平行四邊形、平行線分線段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。鞏固 1異面直線 a, b 所成的角為 60，則過

4、空間中一點(diǎn) P 與 a, b 都成 30的直線有幾條?用心 愛心 專心與 a, b 都成 500的直線有幾條？與 a, b 都成 60的直線有幾條？與 a, b 都成 70的直線有幾條？ 變形 過大小為 60的二面角外一點(diǎn) P 作與它的兩個(gè)面都成 60的直線有幾條?鞏固 2 設(shè)M N是直角梯形ABC酮腰的中點(diǎn)，DEL AB于E如圖）現(xiàn)將ADE沿DE折起，使二面角A- DE- B為 45 此時(shí)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B,則M N的連線與AE所成角的大小等于 _3 .直線與平面所成的角要“抓住”直線在平面內(nèi)的射影， 然后在直角三角形內(nèi)求得；直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)任意直線所成角的最小

5、值。線面角的范圍：00, 900。舉例 1在如圖 3-1 所示的幾何體中，EA_平面ABC,DB_ 平面ABC,AC _ BC，且AC = BC = BD = 2AE,M是AB的中點(diǎn)求CM與平面CDE所成的角.（07 高考浙江理 16）解析：方法一：“找射影”。過 M 作 MFLED 于 F,連 CF,由 CMLAB,CMLAE 得 CML面 ABDE 故 CMLED, ED 丄面 CMF 于是有面 CEDL 面 CMF 于 CF,過 M作 MHLCF于 H,貝 y MHL面 CED / MCH為CM與平面CDE所成的角；設(shè)EA = a,BD=BC=AC=2a,在直角梯形ABDE中，AB =2

6、、,2a,M是AB的中點(diǎn)，所以DE -3a,EM = . 3a,MD = . 6a,得EMD是直角三角形，其中ZEMD = 90, 在RtCMF中，CM=MJF ZFCM =45，故CM與平面CDE所成的角是45.注：“作垂面”是求作點(diǎn) M 在面內(nèi)的射影的最重要、最常用的方法，其過程是：過M 點(diǎn)作平面：丄于I，貝 U M 在面內(nèi)的射影 M l。用心 愛心 專心方法二：“建系”。如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA,CB分別為x軸和y軸，過點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為Ez軸，建立直角坐標(biāo)系C -xyz，設(shè)EA=a，則A(2a,),B(0,2a,0),E(2a,0,a).D(0,2a,2a),M (a

7、, a,0)X*設(shè)向量n= 1, y。，Z0與平面CDE垂直,則n _ CE,n _ CD，即nCE=0 ,nCD=0, /CE=(2a,0, a),CD/ B y-(，2a，2a),AM用心 愛心 專心得：y0=2,x0= -2，即n二（1,2, -2），由向量夾角公式得:直線CM與平面CDE所成的角二是n與CM夾角的余角，所以v - 45, 故直線CM與平面CDE所成的角是45注：線與面的法向量所成的角與線面角互余；注意到線面角不為鈍角，故：AB 與面所成的角為：arcsin1ABn 1（n為面的法向量）。用法向量求線面角，以計(jì)算代替說理（找| AB| n|射影），最大限度地實(shí)現(xiàn)了 “去邏

8、輯化”，為疏于邏輯思維的同學(xué)求線面角提供了一條相對方 便的路徑；但是，并非所有的空間形體都可以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。舉例 2如圖 3-1，在四棱錐 P-ABCD 中，底面為直角梯形,AD / BC, / BAD=90 ,PA 丄底面ABCD 且 PA= AD=AB=2BC,M N 分別為 PC PB 的中點(diǎn).求 CD 與平面 ADMN 所成的角。位置，/ CDQ 為 CD 與平面 ADMb 所成的角，入圖 3-2 ;記 BC=a，在 RtCQD 中, CD=5a,只需求出 CQ（C 到面 ADMN 勺距離）即可，記為 h;注意到VC/MD=VMCD，不難知道AMD 中 AD 邊上的高為 AN, A

9、N=.2a,ASAMD=* 2a2;SACD=2a2, M 到面 ACD 的距離為 a, h= .2 a,故在 RtCQD 中，/ CDQ= arcsin 一0。注：射影“懸空”求線面角的“革命”5性意義在于繞開了求線面角中最困難的一步一一確定射影的位置，把問題化歸為求點(diǎn)到面的距離；而求點(diǎn)到面的距離可以通過“等積轉(zhuǎn)換”實(shí)現(xiàn)，并不需要知道射影的確切位置。方法二：“平移”線段。取 AD 中點(diǎn) E,連 BE,如圖 3-3，易見：BE/ CD CD 與平面 ADMN 所成的角即 BE 與平面 ADMN 所成的角；不難證明：BN!AN, BN 丄 AC, BNL 面 ADMN 即點(diǎn)B 在面 ADMNh

10、的射影為 N , / BEN 為 BE 與平面 ADMN 所成的角；記 BC=a BN=、2a , BE=.5a ,在 Rt BNE 中，/ BEN=arcsin。本題也可以“建系”求，略。5鞏固 1太陽光線斜照地面，地面上與太陽光線成 60角的直線有 _條？若太陽光線與地面成 60角時(shí)，要使一根長 2 米的竹竿影子最長,則竹竿與地面所成的角為 _。鞏固 2在三棱錐P- ABC中 ,AE丄BC AB= BC PA=2BC點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，OPL底面ABC求cos=解析：確溜 3點(diǎn)在面 ADMNk 的射影 Q 白圖位置很困難。方法一：“射影懸空”。先不管 Q 點(diǎn)的用心 愛心 專心直線PA與平面P

11、BC所成角的大小.4.求二面角的方法很多，概括起來有兩類，一類是作平面角，一類是不作平面角。作平面角又有直接作和間接作兩種，形形色色的方法都是在做一件事：s作平面角，要么建系用法向量求，要么用公式cos 二=一 （其中S 表示平面二內(nèi)的封閉圖S形C的面積，一表示C在平面 0 內(nèi)的射影C的面積，日表示G與 0所成的銳二面角的大?。? 01二面角 v 的范圍（00， 180）。女口COST二 ，則 v = arccos3舉例如圖在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，/ ADC 二,AB/ CD PC 丄面 ABCD21PC=AD=DC= AB, E 為線段 AB 的中點(diǎn)。2（1）

12、求證：平面 PACL 平面 PDE（2）求二面角 A-PE-D 的大小。解析：（1）在直角梯形 ABCD 中，容易知道四邊形 AECF 是正方形， DE 丄 AC,又 DE 丄 PC. DE 丄面 PAC 面 PDEL 面 PAC； （2）記 PC=a方法一：用三垂線定理作二面角的平面角。記AC DE 交于 O,連 PQ P0 是相互垂直的平面PDE 和 PAC 的交線，過 A 作 PQ 的垂線交 PQ （的延長線）于 F,貝 U AF 丄面 PDE 即 F 是 A 在 面PDE 內(nèi)的射影，又容易證明 AE!面 PEC 則 AE 丄 PE,于是 FE 丄 PE AEF 是二面角 A-PE-D重

13、要的方法。其過程概括為： 找一垂一一找（作）一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn) P 在另一個(gè)面內(nèi)的射影 P, 作二垂一一過 P （或 P）作二面角棱I的垂線，垂足為 Q 連三垂一一連PQ,則I丄PQ,于是/ PQ P 為二面角的平面角；計(jì)算該角在直角三角形內(nèi)進(jìn)行；在上述過程中，“找一垂”是關(guān)鍵。方法二：射影“懸空”作二面角的平面角注意到 AE1 PE,記點(diǎn) A 在面 PDE 內(nèi)的射影為 F（無須知道點(diǎn) F 的確切位置） ， 連 EF,貝 U PE 丄 FE,于是 / AEF是二面角 A-PE-D 的平面角；以下問題化歸 到求 AF 的長度（即A 點(diǎn)到面 PDE 的距離）上。以下 用“等積轉(zhuǎn)換”求 AF,計(jì)算略。方法

14、三：利用平面圖形的有關(guān)性質(zhì)作二面角的平面角注意到 DP=DE=2a ,取 PE 的中點(diǎn) M 貝 U PE 丄 DM又容易知道 AE1PE 取 PA 的中點(diǎn) N,連 NM 貝 U(-1)=：.-arccos的平面角；在AF=a ,而3AE=a,在AEF=arcsin.33注：用三垂線定理作二面角的平面角,是作二面角的平面角 的最常用、最P用心 愛心 專心NM/ AE - PE! MN 于是/ NMD 為二面角 A-PE-D的平面角；以下在 DMN ,用余弦定理求/ NMD 計(jì)算略。用心 愛心 專心方法四：用割補(bǔ)法求。視二面角A-PE-D 為二面角 A-PE-C與二面角 D-PE-C 的差。對二面

15、角 A-PE-C,/ AE 丄面 PEC 面 AEP 丄面 PEC即二面角 A-PE-C 為.；對二面角 D-PE-C,點(diǎn) C 是點(diǎn) D2在面 PEC 內(nèi)的射影，取 BE 的中點(diǎn) M, / CP=CE=a PE 丄MC,于是有：PE 丄MD,則/ DM(為二面角 D-PE-C 的平面角,在 Rt DCM 中，/ DMC=arctan、2，二面角 A-PE-D 的大小為-arctan2。注：在求鈍二面角時(shí)“割補(bǔ)法”往往很有效。方法五：用平面的法向量”求/ CP CE, CP 丄 CD, CE 丄 CD,故可以 C 為原點(diǎn)，CD、CE、CP分別為 x、y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系。A (a,a,0

16、 )、D(a,O,O)、E(O,a,O)、P(O,O,a)，貝 UEA=(a,0,0),ED=(a,-a,0),EP= (0,-a,a)由此不難求出平面PAE的法向量口 =(o, i, i),面角有一處嚴(yán)重的不足：二面角兩個(gè)面的法向量的夾角 未必等于二面角，也可能與二面角互補(bǔ)，這取決于法向量 的方向，而確定法向量的方向卻是中學(xué)生力不能及的。鞏固如圖，在多面體ABCD中,AE!面ABCBD/ AE且AG=AB=BOBD=2,AE=1，求面CDE與面 CAB 所成的銳二面角.5 求點(diǎn)到面的距離一般有三種辦法：直接法 過“點(diǎn)” 作“面”的垂線(盡可能找到過這一點(diǎn)的一個(gè)與“面”垂直的 平面，然后過“點(diǎn)

17、”作它們交線的垂線)；等積轉(zhuǎn)換；法向量：若平面的法向量為n,T T直線 AB 與平面交于點(diǎn) A,則點(diǎn) B 到平面:-的距離h門AB|。T|n|舉例 1已知線段 AD/平面：，且與平面:-的距離為 4,點(diǎn) B 是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB=5, AD=1Q 貝 U B D 兩點(diǎn)之間的距離()A.有最大值5 5,無最小值；B .有最小值 65，無最大值；C.有最大值5 5，最小值、65； D .有最大值.185，最小值. 65；平面 PAE 的法向量n2= (1, 1, 1)則有:_ -cos=，二面角 A-PE-D 的大小為123arccos叫 6。注：用“法向量”求二3BBB用心 愛心 專心解析

18、：記 A、D 在面內(nèi)的射影分別為 A、Di,vAB=5 AA=4,. AB=3,即卩 B 在面口內(nèi)以A 為圓心、3 為半徑的圓周上，又 AD=10,故 DB 最大為 13,最小為 7,而 DD=4,于是：由勾股定理得 BD 最大.185，最小65，選 Dt用心 愛心 專心舉例 2在棱長為 4 的正方體 ABCD-ABCD 中，0 是正方形 ABCD 的中心，點(diǎn) P 在棱 CG 上，且CC=4CP.求點(diǎn) P 到平面記 P 到面 ABD 的距離為 h，則 Q 到面 ABD 的距離為 h,由VQBDi=VBqADi得:內(nèi)到 P 點(diǎn)的距離為 9 的點(diǎn)的軌跡是:鞏固 2（ i）正三棱錐P-ABC的高為2，側(cè)棱與底面ABG成45角，則點(diǎn)A到側(cè)面PBG的距離為 _ （07 高考江蘇卷 i4）o（2）正三棱柱ABC -的所有棱長都為2,D為CCi中點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面ABD的距離為 _（07 高考福建理 i8）.答案2、鞏固 i i、2、3、4,鞏固 2900, 3、鞏固 i0 或無數(shù)、30,鞏固 2方法一：“懸空射影”，方法二：“建系”，方法三：取 PG 中點(diǎn) D, PA/OD 去求直線0D與平面PBG所成