高中數(shù)學復習專題講座(第23講)關于求圓錐曲線方程的方法

1、題目 高中數(shù)學復習專題講座關于求圓錐曲線方程的方法高考要求 求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學生識圖、畫圖、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法 重難點歸納 一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟 定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置 定式根據(jù)“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+n

2、y2=1(m0,n0) 定量由題設中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關系，通過解方程得到量的大小 典型題例示范講解 例1某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中A、A是雙曲線的頂點，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B是下底直徑的兩個端點，已知AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高20 m 建立坐標系并寫出該雙曲線方程 命題意圖 本題考查選擇適當?shù)淖鴺讼到⑶€方程和解方程組的基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力 知識依托 待定系數(shù)法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標適合方程；積分法求體積 錯解分析 建

3、立恰當?shù)淖鴺讼凳墙鉀Q本題的關鍵 技巧與方法 本題是待定系數(shù)法求曲線方程 解 如圖，建立直角坐標系xOy,使AA在x軸上，AA的中點為坐標原點O，CC與BB平行于x軸 設雙曲線方程為=1(a0,b0),則a=AA=7又設B(11,y1),C(9,x2)因為點B、C在雙曲線上，所以有由題意，知y2y1=20,由以上三式得 y1=12,y2=8,b=7故雙曲線方程為=1 例2過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程 命題意圖 本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求

4、曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強 知識依托 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題 錯解分析 不能恰當?shù)乩秒x心率設出方程是學生容易犯的錯誤 恰當?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關鍵 技巧與方法 本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式 解法二，用韋達定理 解法一 由e=,得,從而a2=2b2,c=b 設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上 則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設AB中點為(x0,y

5、0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設l的方程為y=x+1 右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1 解法二 由e=,從而a2=2b2,c=b 設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直線l y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=1 若k=0,則l的方程

6、為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 例3如圖，已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程 命題意圖 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力 知識依托 定比分點坐標公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標適合方程 錯解分析 利用離心率恰當?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關鍵，正確地表示出P1OP2的面積是學生感到困難的 技巧與方法 利用點P在曲線上和P1OP

7、2的面積建立關于參數(shù)a、b的兩個方程，從而求出a、b的值 解 以O為原點，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖的直角坐標系 設雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=，得 兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設點P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點P分所成的比=2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1 例4 雙曲線=1(bN)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比

8、數(shù)列，則b2=_ 解析 設F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依雙曲線定義，有|PF1|PF2|=4,依已知條件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1 答案 1學生鞏固練習 1 已知直線x+2y3=0與圓x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若OPOQ，則m等于( )A 3

9、B 3C 1D 12 中心在原點，焦點在坐標為(0，±5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點的橫坐標為，則橢圓方程為( )3 直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P，若過點P且以雙曲線12x24y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為_ 4 已知圓過點P(4，2)、Q(1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，則該圓的方程為_ 5 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程 6 某拋物線形拱橋跨度是20米，拱

10、高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長 7 已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程 參考答案:1 解析 將直線方程變?yōu)閤=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,得(32y)2+y2+(32y)+m=0 整理得5y220y+12+m=0,設P(x1,y1)、Q(x2,y2)則y1y2=,y1+y2=4 又P、Q在直線x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y

11、1y26(y1+y2)+9=m3=0，故m=3 答案 A2 解析 由題意，可設橢圓方程為 =1,且a2=50+b2,即方程為=1 將直線3xy2=0代入，整理成關于x的二次方程 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75 答案 C3 解析 所求橢圓的焦點為F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| 欲使2a最小，只需在直線l上找一點P 使|PF1|+|PF2|最小，利用對稱性可解 答案 =14 解析 設所求圓的方程為(xa)2+(yb)2=r2則有 由此可寫所求圓的方程 答案 x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=05 解 |MF|max=a+c,|MF|min

12、=ac,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,設橢圓方程為設過M1和M2的直線方程為y=x+m將代入得 (4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0設M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=x0+m= 代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為 =1 6 解 以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(10，4）、(10，4）設拋物線方程為x2=2py,將A點坐標代入，得100=2p×(4),解得p=12 5,于是拋物線方程為x2=25y 由題意知E點坐標為(2，4)，E點橫坐標也為2，將2代入得y=0 16,從而|EE|=(0 16)(4)=3 84 故最長支柱