高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1、33 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教材分析這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式 t 口 =血冊(cè)=1與，并初步進(jìn)行這些公式的兩類(lèi)基本應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)是公式如a=皿冊(cè)=1與的推導(dǎo)及以下兩類(lèi)基本應(yīng)用：（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)，求其余兩個(gè)三角函數(shù).（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式及證明簡(jiǎn)單的三角恒等式.其中，已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值， 求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)， 正負(fù)號(hào)的選擇是本節(jié) 的一個(gè)難點(diǎn)，正確運(yùn)用平方根及象限角的概念是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn).課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題，優(yōu)化自己的解題過(guò)程.教學(xué)目標(biāo)1.讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探

2、索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、探 索、研究能力.2.理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能初步運(yùn)用它們解決一些三角函數(shù)的求 值、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯推理能力.3.通過(guò)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí)，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的辯 證唯物主義世界觀.任務(wù)分析這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)sin a22Um a=-系式：sin a+cos a=1及，并進(jìn)行初步的應(yīng)用.由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無(wú)論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨(dú)立完成，即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識(shí)探索出來(lái)，并用以解決新的問(wèn)題.必要時(shí)

3、，教師可以在以下幾點(diǎn)上加以強(qiáng)調(diào)：（1）同角”二字的含義.（2）關(guān)系式的適用條件.（3）化簡(jiǎn)題最后結(jié)果的形式.（4）怎樣優(yōu)化解題過(guò)程.教學(xué)設(shè)計(jì)、問(wèn)題情境 2 2sin a+cos a 2 2sin a+cos a2.推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析和討論，消元（消去x,y,r），從而獲取下述基本關(guān)系.（1）平方關(guān)系：si n2a+cos2a=1.sin atan a=-（2）商數(shù)關(guān)系：t:說(shuō)明：當(dāng)放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí)，部分學(xué)生可能會(huì)利用三角函數(shù)線，借助勾股定理及相似三角形的知識(shí)來(lái)得出結(jié)論.對(duì)于這種推導(dǎo)方法，教師也應(yīng)給以充分肯定，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出丨sin a|+

4、|cos a |1除以上兩個(gè)關(guān)系式外，也許部分學(xué)生還會(huì)得出如下關(guān)系式：_ CO5 a_1.11，1cot a- :- tan a- a =-cos口=-+ tan a=- 1 +cota=hi旳口&cot aesc asec acosasin a教師點(diǎn)撥：這些關(guān)系式都很對(duì)，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負(fù)擔(dān)，只須記?。?）和（2）即可.以上關(guān)系式均為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.教師啟發(fā)：（1）對(duì) 同角”二字，大家是怎樣理解的?、建立模型1.引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出任意角a的六個(gè)三角函數(shù)，并探索它們之間的關(guān)系在角a的終邊上任取一點(diǎn)角函數(shù)值是P（x，y），它與原點(diǎn)的距離是r（r0），

5、則角a的六個(gè)三耳in口 =（2）這兩個(gè)基本關(guān)系式中的角a有沒(méi)有范圍限制?（3）自然界的萬(wàn)物都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣，也許每天 都會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問(wèn)題呢？三、解釋?xiě)?yīng)用例題1.已知sin獰5,且 a 是第二象限角，求角a的余弦值和正切值.2.已知tan尸一，且 a是第二象限角，求角a的正弦和余弦值.說(shuō)明：這兩個(gè)題是關(guān)系式的基本應(yīng)用， 應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完成.可選兩名同學(xué)到黑板前板書(shū), 以便規(guī)范解題步驟.變式1在例2中若去掉且 a是第二象限角”該題的解答過(guò)程又將如何?師生一起完成該題的解答過(guò)程.解：由題意和基本關(guān)系式

6、，列方程組，得丄代入整理，得6COS2a=1,COS2a=.Ttan=v0,.角 a是第二或第四象限角.當(dāng) a是第二象限角時(shí)，COSa=,當(dāng) a是第四象限角時(shí)，COSa= ,小結(jié)：由平方關(guān)系求值時(shí)，要涉及開(kāi)方運(yùn)算，自然存在符號(hào)的選取問(wèn)題.由于本題沒(méi)有具體指明 a是第幾象限角，因此，應(yīng)針對(duì)a可能所處的象限，分類(lèi)討論.jcos2a=1 *J cos a由，得sincosa,代入式，得代入式，得變式2把例2變?yōu)?而in +口已知tan a=7T,求COS a Tsin a的值.解法1由tan及基本關(guān)系式可解得解法1,由tanQ=Y及基本關(guān)系式可解得針對(duì)兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況，教師及時(shí)點(diǎn)撥：觀

7、察所求式子的特點(diǎn)，看能不能不通過(guò)求sin,cos a的值而直接得出該分式的值.學(xué)生得到如下解法：解如由S=lan一辰得川金一岳m(xù) a脖 式 聲寸需)a+2|cosI,因此 Itan|1,只能取tan若2.強(qiáng)調(diào)：非等價(jià)變形是解法1出錯(cuò)的關(guān)鍵!&卩jiina 2s in etcos a - cos ajtink +CDS_CJtan2a-2tan a+ I1-;-i-tiinp + l34tinTa 1 Dtnn a + 4 0*lan cj=2 wk inn ti=V180a0t* tan a 2或tan a穆”7T5.a* Um a-com a反思：(1)解法1的結(jié)果比解法2的結(jié)果多了一個(gè)，看來(lái)產(chǎn)生了增根”那么，是什么原因產(chǎn)生了增根呢?(2)當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由sin a cos尸一 得到sin2a2sinaCO於COS2a= 的過(guò)程中,718ofla270/-cow 0,/-R能取cos a=2tna 2sin arcs a +_這篇案例力求體現(xiàn)新課程理念下的以人為本的思想，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用 教師充當(dāng)著學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、支持者和幫助者的角色. 教師和學(xué)生是本課的共同參與者，共同努力完成了這一