?？紗?wèn)題平面向量的線性運(yùn)算及綜合應(yīng)用

1、?？紗?wèn)題8平面向量的線性運(yùn)算及綜合應(yīng)用真題感悟1. (2013 寧卷)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，- 1),則與向量 AB同方向的單位向量為(a. 5， 5B. 5，- iC. -5，4D. -5, 3解析 A1? = (4, - 1) (1,3) = (3, - 4),與A B同方向的單位向量為答案AAB|10 / 13影為AB CD|CD|2 X 5+ 1 X 51525.2= 22. (2013福建卷)在四邊形ABCD中，AC = (1,2), BD = (-4,2)，則該四邊形的面積為()A. .5B . 2.5C. 5D. 10解析因?yàn)锳c bd = 0，所以ac 1BD._1 -1

2、 -11.g故四邊形 ABCD 的面積 S= AC|BD|= f 5 X 2 5 = 5.答案C3. (2013 湖北卷)已知點(diǎn) A(- 1,1), B(1,2), C(-2, - 1), D(3,4)，則向量 AB在CD方向上的投影為() C. 解析Ab= (2,1), Cd = (5,5)，所以Ab在Cd方向上的投答案A4. (2013新課標(biāo)全國(guó)I卷)已知兩個(gè)單位向量 a, b的夾角為60° c=ta+ (1 t)b.若b c= 0,則 t =.解析因?yàn)橄蛄縜, b為單位向量，又向量a, b的夾角為60°所以a b=舟,由b c= 0,得-b c1 11=ta b+ (

3、1 -1) = -t + (1 -1) x 1向量的概念(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫單位向量，a的單位向量為±.lal(3) 方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量).(4) 如果直線I的斜率為k，則a = (1，k)是直線I的一個(gè)方向向量.(5) |b|cos a， b叫做b在向量a方向上的投影. 兩非零向量平行、垂直的充要條件設(shè) a= (X1，y1)， b= (x2，y2)，(1)若 a II b? a=聯(lián)將 0); a/ b? X1y2 X2y1 = 0.若 a丄b? a b= 0; a丄 b? X1X2

4、+ yy2= 0. 平面向量的性質(zhì)(1)若 a= (x，y)，則 |a|= . a a= ,x2+ y2.若 A(X1，y”，B(X2，y2)，則A B | = x/(X2 X1 2 + (y2 y1 2. = -t + 1 t= 1 -t = O.t = 2.答案25. (2013山東卷)已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|= 3, |AC|= 2若A= AB+ AC,且AP丄BC,則實(shí)數(shù)入的值為.解析 由AP 1BC知 AP BC = 0，即 AP BC= ( ；AB + AC) (AC - AB)=(入一1)AB AC-入 AB 2+ AC2=(1) x 3X 2 x

5、-X 9+ 4 = 0，解得入=1.答案右考題分析題型選擇題、填空題難度低檔考查平面向量的有關(guān)概念(如單位向量)、數(shù)量積的運(yùn)算(求模與夾角等).中檔在平面幾何中，求邊長(zhǎng)、夾角及數(shù)量積等.高檔在平面幾何中，利用數(shù)量積的計(jì)算求參數(shù)值等整合知識(shí)方法夯基固本01冬知識(shí)與方法若 a= （xi, yi）, b=（X2, y2）,B為a與b的夾角，則a b _X1X2 + yiy2|al|b| 寸 xf+ y2px2+ E 4當(dāng)向量以幾何圖形的形式出現(xiàn)時(shí)，要把這個(gè)幾何圖形中的一個(gè)向量用其余的向量線性表示，就要根據(jù)向量加減法的法則進(jìn)行，特別是減法法則很容易使用錯(cuò)誤，向量MN = ON-OM （其中0為我們所需

6、要的任何一個(gè)點(diǎn) ），這個(gè)法則就是終點(diǎn)向量減去起點(diǎn)向量.5根據(jù)平行四邊形法則，對(duì)于非零向量a, b,當(dāng)|a + b|= |a b|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，此時(shí)平行四邊形是矩形，條件|a + b|= |a b|等價(jià)于向量a, b互相垂直，反之也成立.6. 兩個(gè)向量夾角的范圍是 0, n，在使用平面向量解決問(wèn)題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量夾角可 能是0或n的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線.Q2器 熱點(diǎn)與 突破鋰定高哥熱點(diǎn)逐一突皺熱點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算12【例1】（2013江蘇卷）設(shè)D，E分別是 ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD = ?AB，BE

7、 = 3BC.2 3若DE =入AB+ UC（ d h為實(shí)數(shù)），貝U入+ h的值為t t t 1 t 2 f 1 f 2 f f1 f 2 f1解析如圖，DE = DB + BE = 2AB + 2bc= 2ab+ 3（AC- AB） -AB+ 2AC，則 h = -，h =2 13， h+ h= 2規(guī)律方法在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作字母，其運(yùn)算類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比.本例中的第（1）題就是把向量DE用AB，AC表示出來(lái)，再與題中已知向量關(guān)系式進(jìn)行對(duì)比，得出相等關(guān)系式，可求相應(yīng)的系數(shù).【訓(xùn)練11 （2013天津卷）在平行四邊形 ABCD中，AD =

8、 1，/ BAD = 60° E為CD的中點(diǎn).若Ac be = 1，貝V ab的長(zhǎng)為.解析在平行四邊形 ABCD中，取AB的中點(diǎn)F，則BE= FD，/-Bl= FD = AD Ab，又AC =AD + AB，f f f 1 ff11 ff1AC BE = (AD + AB) (AD 2AB)= AD2 qAD AB + AD AB qAB2 = |AD|2 + 2|AD|AB| bs601 f11 f 1 f 22|AB |2= 1 + 2X 2|AB| 2AB| = 1. |AB| |AB|= 0,又 |AB|M 0, A|AB| = 2.熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積【例2】若兩個(gè)非零向

9、量a, b滿足|a + b|= |a b|= 2|a|, 則向量b與a + b的夾角為（）.a.6b.6c.3d.§解析法一由已知|a+ b|= a b|,兩邊平方，整理可得a b= 0由已知|a + b|= 2|a|，兩邊平方,整理可得a2+ b2+ 2a b= 4a2.把代入，得3a2，即|b|= . 3|a|而b (a + b) = b a +22b - a + bb = b，故 cos b, a + b>=|b| |a+ b|O a Ab2_3a23|a | 2|a|= 2 3a2= 2 .n又b, a+ b>0, n，所以b, a+ b>= §法

10、二如圖，作Of = a, Of = b,以O(shè)A, OB為鄰邊作平行四邊形 OACB，貝U Of = a + b,BA = a b.由 |a+ b|= |a b|,可知 |Of|=|Bf|,所以平行四邊形 OACB 是矩形.又 |a + b|= |a b|= 2|a |, 可得 |Of |= |Bf|= 2|Of|,故在 RtKOB 中，|OB|=|BA|2|OA|2,）=§|Of|,故 tan/OBA = °=于，所以ZBOC = ZOBA= n而b, a+ b>=ZBOC = n |OB|答案A規(guī)律方法求解向量的夾角，關(guān)鍵是正確求出兩向量的數(shù)量積與模.本例中有兩種解

11、法，其一利用已知向量所滿足的條件和向量的幾何意義求解,其二構(gòu)造三角形，將所求夾角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角求解，更為直觀形象.【訓(xùn)練2】(2013湖南卷)已知a，b是單位向量，a b= 0若向量c滿足|c a b|= 1,則|c|的 取值范圍是().A . .2 1 , .2+ 1 B. .2 1 , . 2+ 2C. 1 ,2+ 1 D . 1 , . 2+ 2解析由a, b為單位向量且a b= 0,可設(shè) a= (1,0), b= (0,1)，又設(shè) c= (x, y),代入 |c a b|= 1 得(x 1)2+ (y 1)2= 1,又|c|= “ 'x2+ y2,故由幾何性質(zhì)得 '

12、12+ 12 1W|C|W“ 12+ 12+ 1,即 2 1 W|C|W ,2+ 1.答案A熱點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合【例 3】已知向量 m= (sinx, 1), n= (cosx,3).(1)當(dāng)m / n時(shí)，求的值;sinx + cosx3sinx 2cosx已知在銳角 ABC中，a, b, c分別為角 A, B, C的對(duì)邊，.3c= 2asin(A+ B),函數(shù)f(x) =(m+ n) m,求f B+ f的取值范圍.解(1)由 m / n，可得 3sinx= cosx,sinx+ cosxtanx+ 13sinx 2cosx= 3tanx 2= 3X是 tanx 3,29.在 ABC

13、 中 A + B= n C,于是 sin(A+ B)= sinC,由正弦定理，得 ，3si nC = 2sin Asi nC, sinCz 0,. si門人=営.又厶ABC為銳角三角形，二A=扌 于是&<；.丁 f(x) = (m + n) m=21 cos2x 12f n 3(sinx + cosx,2) (sinx, 1)= sin x+sinxcosx 2 =2+ ?sin2x 2= "sin 2x4 ?, n亞一匚 n n 3亞3丄nn曰n3 V2f B+ 8 = 2 sin 2 B+ & 4 2= 2 sin2B ?由6<B<2得3<

14、2B< n 0<sin2BW 1, 2< 2即 f(B+n)3 .2 32， 22規(guī)律方法在平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題中，一方面用平面向量的語(yǔ)言表述三角函數(shù)中 的問(wèn)題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識(shí)解決平面向量問(wèn)題.在解決此類問(wèn)題的過(guò)程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題.【訓(xùn)練 3】(2013 江蘇卷)已知向量 a= (cos a, sin%), b= (cos 3, sin ®, 0< 3< an.

15、(1)若 |a b|= "2,求證：a 丄 b;設(shè)c= (0,1)，若a+ b= c,求a, 3的值.(1) 證明由|a b|h 2, 即 (cosa cos3)2+ (sin a sin 3)2= 2,整理得 cos%cos3+ sin an 3= 0, 即a b= 0，因此a丄b.cos a+ cos 3= 0,(2) 解由已知條件得§in a+ sin 3= 1,COS 3= COS a= COS( n"，由 0< a< n,得 0< n a< n,又 0< 3< n 故 3= n a.則 sin a+ sin ( n a

16、)= 1,即 Sina= 2,故 a= 6或 a=尹當(dāng) a= £時(shí)寸,3= 舍去)當(dāng)a=爭(zhēng)寸,3= n03審題與答題抓住間題題眼層層訓(xùn)析審題示例(四)突破有關(guān)平面向量問(wèn)題的思維障礙審題指導(dǎo)一審四個(gè)選踴都星老值.所以可以二審題設(shè)屮的三角形為直角三角形，1示例J在中*點(diǎn)D是斜邊A百的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段匚P的中點(diǎn)，則!£零弊T).利周最特殊的罟簇直角三角形中的 基本運(yùn)把兩向童"*C作為一組基底，再利用平面向量基本老腔表示耳標(biāo)向量來(lái)驗(yàn)證蛛臬三審在占£些匚中$乩匚刃送兩直當(dāng)邊，可可以利用相互垂直的兩侯所在直巍 建注平面直廁坐標(biāo)系，求出捆曲點(diǎn) 的坐桁，再用坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證

17、解析法一設(shè)直角三角形 ABC的兩腰長(zhǎng)都為4,如圖1所示，以C為原點(diǎn)，CA, CB所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(4,0)，B(0,4)，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以 D(2,2).因?yàn)?P 為 CD 的中點(diǎn)，所以 P(1,1).故 |PC|9= 12+ 12= 2, |PA|2= (4 1)|PA|2+ |PB|2 -|PC|2=10. 法三如圖3所示，取相互垂直的兩個(gè)向量 C云=a, Clt = b作為平面向量的基向量,+ (0 1)=0.=10，20 = 10.法二如圖2所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA, CB所在的直線分別作為 x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)|CA|= a,

18、 |CB|= b，則 A(a,O), B(0, b),則 D |, b , P ,彳,JPCf= 4 "+ 4 2 = W+ 卸.22佝|PA| = 40+ =箒 +16,所以 |FAf + |PB|2= 10= 10IPC|2,_|'b - i a29 b216+ 16 ,PBI =影 + : b，顯然a b則在ABC中， B云=a b,因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以 CB = 2(a+ b).1 11 1_>因?yàn)?P 為 CD 的中點(diǎn)，所以 PC = 2CD = 2X 2(a+ b) = 4(a + b).在厶 CBP 中，PB =113>->131P C +

19、 C B = 4( a + b) + b= 4 a+ 4b,在CAP 中，PA = P C + C A = 4(a+ b) + a=4a 7b-所以|P-f= J a+ b 2 =杯2+b2+2ab)= £(|a |2 +|b|2),|P-|2= % + 4 b2 = * a2 +9 231292196b 8ab = 116|a 1 + 196|b|，-23 12 9212392 1細(xì)+訥2 + 16|a |2+ 知|22 2|PA|2 + |PB|22|PC|10.|PA| = ：a4V = 16 a +116b 8ab = 196|a| + 16|b| -故12216 |a| +

20、 |b|答案D方法點(diǎn)評(píng) 以上根據(jù)向量數(shù)與形的基本特征，結(jié)合題目中的選項(xiàng)以及直角三角形的條件，從三 個(gè)方面提出了不同的解法， 涉及向量的基本運(yùn)算、 坐標(biāo)運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)，在尋找解題思路時(shí)，應(yīng)牢牢地把握向量的這兩個(gè)基本特征.針對(duì)訓(xùn)練在厶ABC中，已知BC= 2, AB AC= 1 ,則厶ABC的面積Saabc最大值是 解析以線段BC所在直線為x軸， 線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 B( 1,0), C(1,0).設(shè) A(x, y),則 Ab= ( 1 x, y),AC = (1 x, y),于是 Ab AC = ( 1 x)(1 x) + ( y)( y)= x2 1 + y2.

21、A A22由條件AB AC = 1知x + y = 2,這表明點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心，.2為半徑的圓上.當(dāng)0A1BC時(shí)，AABC面積最大，即1Sabc= 2X 2人 2 = .2.04 - 專題提升訓(xùn)練提升解風(fēng)技能對(duì)接高考（建議用時(shí)：60分鐘）1. （2013 陜西卷）設(shè) a, b 為向量，則“ a b|= a lib” 是“ a / b” 的（）.A .充分不必要條件B 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件解析由 |a|b|cos a, b> |= |a|b|,則有 cos a, b>= ±1.即a, b>= 0或n所以alb由a /,得向量a與

22、b同向或反向，所以a, b>= 0或n,所以 |a b|= |a|b|.答案C2. 已知向量a與b的夾角為120 ° |a|= 3, |a+ b|= 伍則|b|等于（）.A . 5B . 4C. 3D . 1解析向量a與b的夾角為120° |a|= 3, |a+ b|=Qi3,3則 a b= |a|b| cos120 °=- |b|,a + b|2= |a|2 + 2 a b+ |b|2.所以 13= 9-3|b|+ |b|2，則 |b|=- 1（舍去）或|b|= 4.答案B3. （2013遼寧一模） ABC中D為BC邊的中點(diǎn)，已知 AB = a, A（C

23、= b則在下列向量中與 AD同向的向量是（）.A 亙+ B |a|b|B.|a|b|a+ bC.TbD. |b|a + |a|b解析'-A D = *aIt + A1C）= *a+ b）,a + b向與向量AD是同向向量.|a + b |答案C12 / 134. 已知非零向量 a, b, c滿足a + b+ c= 0，向量a與b的夾角為60 °且|a|=|b| = 1,則向 量a與c的夾角為().A. 30°B. 60 °C. 120°D . 150 °解析因?yàn)?a+ b+ c= 0,所以 c= (a+ b).所以 |c|2= (a+

24、b)2 = a2 + b2 + 2a b= 2+ 2cos60 °= 3.所以|c|= 3.30,則 cos 0=又 c =- (a+ b) a = a2 a b=- 1 - cos60 °=-刁設(shè)向量 c 與 a 的夾角為3-2 3= =-號(hào)-.又 0°W 0< 180 ° 所以 0= 150 °1 X ；'32答案D>>> >5. （2013安徽卷）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A, B滿足|OA|=|OB|= OA OB=2，則點(diǎn)集POP =QA +QB, M+ 1,人 吐R所表示的區(qū)域的面

25、積是().A. 2 .2B. 2 ,3C. 4 2D. 4.3解析由 |OA|= |OB|= OA 0B= 2,知 cosZAOB =右 又 0w 0B w n 貝U/AOB = n,又 A, B23是兩定點(diǎn)，可設(shè)Ab/3 , 1), B(0,2), P(x, y)，由 OP =總 + ,OB，可得 P=入y=入 + 2卩x> 0,因?yàn)?1入+ lw 1,所以 弩x + ； ¥x W 1，當(dāng) < 3yBxA0，時(shí),3y+V3xW 6由可行域可得So= X 2 X 3=3，所以由對(duì)稱性可知點(diǎn) P所表示的區(qū)域面積 S= 4Sg= 4,3,故選D.答案D6. （2013新課標(biāo)全

26、國(guó)H卷）已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2, E為CD的中點(diǎn)，貝U AE BD =1 2 1 1 解析由題意知：AE BD = (AD + DE) (AD - AB) = (AD + _AB) (AD - AB)= AD2-"AD AB-?AB22= 4-0 2 = 2.答案27. (2013江西卷)設(shè)ei, e2為單位向量，且量a在b方向上的射影為.解析a在b方向上的射影為|a|cos a, b>2'a b= (ei + 3e2)2ei = 2ei+ 6ei e2= 5.ei, e的夾角為n 若a= ei+ 3e2, b= 2ei，則向3a b帀.16 / 13|b|=

27、|2ei|= 2.5答案5&在直角梯形 ABCD中，AD / BC ,Z ADC = 90 ° AD = 2, BC= i , P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|PA + 3PB |的最小值為解析建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,A(2,0), B(i ,1 2 2 m), PA = (2 , t), P B = (i, m t), PA + 3P B = (5,3m 4t), |P A + 3PB |=5 + 3m 4t>5，當(dāng)且僅當(dāng)t= 4m時(shí)取等號(hào)，即|P + 3P|的最小值是5.答案59.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，直線 AB的傾斜角為 嚴(yán)，QB|=2，設(shè)

28、/ AOB = 0,茨 g,節(jié)(1)用0表示點(diǎn)B的坐標(biāo)及|OA； 若tan 0= 4，求O t o的值.解由題意，可得點(diǎn) B的坐標(biāo)為(2cos 0,n2si門0).在厶 ABO 中，|OB|= 2,Z BAO =-,Z B471n 3n 0=0由正弦定理，得QB| _ JOA!3、sinB' sin n 4 n即 |OA|= 2 2sin 于- 0 .由(1),得 O/t OB = |0甬|0It|cos0=4 2sin 3 0 cos 0.因?yàn)?tan 0= 3, 0 2 乎,3'4 3所以 sin 0= 4, cos 0= 一5 5又 sin 讐 0= sincos0- cos% 占 x- 魯(-豹x 害=魯, 故。云。3 = "x請(qǐng)x -3 =-黑10. 已知 ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是 a, b, c,設(shè)向量 m= (a, b), n = (sinB,sinA), p=