復(fù)習(xí)專題：導(dǎo)數(shù)Word版

1、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)公式一、導(dǎo)數(shù)公式（1） 、幾種常見的導(dǎo)數(shù) ； ；C ()x ()R = ； ；()xa()xe = ；(log)ax ； ； (ln )x(sin )x(cos )x（2） 、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)則： ； ；( )k f x ( )( )f xg x ； ； ( )( )f xg x( )( )f xg x練習(xí)：1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_ ；sin xyx2、若,則 2( )lnf xxx( )fx 3、若,則 ( )sincosf xx( )f二、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的單調(diào)性在區(qū)間 A 單調(diào)遞增在 A 恒成立( ),( )f xC f x( )0fx在區(qū)間 A 單調(diào)遞減在 A 恒成立 ( ),

2、( )f xC f x( )0fx作用：可求單調(diào)區(qū)間作用：可求單調(diào)區(qū)間解不等式；或判定函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)；解不等式；或判定函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)；常識(shí)：看到單調(diào)，就想到導(dǎo)數(shù)大于等于（或小于等于）常識(shí)：看到單調(diào)，就想到導(dǎo)數(shù)大于等于（或小于等于）0 0 在給定區(qū)間恒成立在給定區(qū)間恒成立練習(xí)：1、已知在 R 上是減函數(shù)，則的取值范圍是 13)(23xxaxxfa2、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖（1）所示，則的圖象最( )fx( )f x( )yfx( )yf x有可能為（ ）3、已知函數(shù), 的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么, 的圖( )yf x( )yg x( )yf x( )yg x象可能是（ ）4、已知對(duì)任意

3、實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，x()( )()( )fxf xgxg x ，0 x ，則時(shí)（ ）( )0( )0fxg x，0 x A B ( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，C D( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，5、若在（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在（6，+）上為增函數(shù)，1) 1(2131)(23xaaxxxf則的范圍是 a三、極值和極值點(diǎn)三、極值和極值點(diǎn)（1 1） 、極值點(diǎn)的判別法、極值點(diǎn)的判別法-函數(shù)草圖中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)或?qū)?shù)草圖中與函數(shù)草圖中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)或?qū)?shù)草圖中與軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)x函數(shù)的草圖 導(dǎo)數(shù)的草圖注意點(diǎn)：如圖，是邊界點(diǎn)不是極值點(diǎn)；，是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，才11( ,()xf

4、 x22(,()xf x33(,()xf x是極值點(diǎn)，其中極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)，22(,()xf x33(,()xf x是極大值，極小值；-極大值、極小值統(tǒng)稱極值-是函數(shù)值2()f x3()f x由于極值點(diǎn)由橫坐標(biāo)決定，因此，常稱為極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)；所以求極值點(diǎn)-求2x3x橫坐標(biāo)（即的解）( )0fx導(dǎo)數(shù)的草圖需畫軸；軸上方，導(dǎo)數(shù)大于 0，函數(shù)單調(diào)遞增；下方導(dǎo)數(shù)小于 0，函數(shù)單調(diào)xx遞減-畫2O1軸x（2 2） 、求函數(shù)、求函數(shù)的極值的方法：的極值的方法：( )yf x求出的根；利用導(dǎo)數(shù)草圖判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；求出( ) 0fxixix極值（3 3）求最值的方法）求最值的方法求出的根；

5、作出導(dǎo)數(shù)草圖；作出函數(shù)草圖；計(jì)算比較得到最值( ) 0fxix練習(xí)：1、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則 .3( )128f xxx 3,3MM 在的值域是 2( )2f xxx （，）2、已知。如圖，的圖象過點(diǎn)（1，0） ， （2，0） ，則下列32( )f xxbxcx( )yfx說法中：不正確的有時(shí)，函數(shù)取到極小值； 32x ( )yf x函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；( )yf x； 6c 時(shí)，函數(shù)取到極大值；1x ( )yf x3、設(shè)，函數(shù)的圖像可能是（ ）ab2() ()yxaxbAobayxBobayxCobayxDobayx4、若函數(shù)在處取極值，則 2( )1xaf xx1x a 四、切線：

6、四、切線：曲線在處切線的斜率，切點(diǎn)，從而切線方( )yf x0 xx0()kfx00(,()xf x程為 -求切線方程求切線方程-關(guān)鍵在求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)鍵在求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)000()()()yf xfxxx練習(xí)：1、設(shè)點(diǎn)是上一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的斜率取值范圍是 ( , )P x y3yxxP 2、曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為 21xyxex3、已知曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 23ln4xyx12 4、設(shè) P 為曲線 C：上的點(diǎn)，且曲線 C 在點(diǎn) P 處切線傾斜角的取值范圍223yxx為，則點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的取值范圍為 04， 5、在曲線的切線中，則斜率最小的切線方程是 323610yx

7、xx6、若曲線 y=在點(diǎn)（0，b）處的切線方程式=0，則 ，2xaxb1xya b 7、若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 2f xaxInxya解答題解答題1、已知函數(shù)的圖象過點(diǎn) P（0，2） ，且在點(diǎn) M（1，f（1） ）處daxbxxxf23)(的切線方程為.076 yx（）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.)(xfy )(xfy 2、已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大( )f x( )0f x (0,5),( )f x1,4值是 12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然數(shù)使得方程在區(qū)間( )f x,m37( )0f xx內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，

8、求出的值；若不存在，說明理由。( ,1)m mm3、設(shè)函數(shù)22( )21(0)f xtxt xtxt R，（）求的最小值；（）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取( )f x( )h t( )2h ttm (0 2)t，m值范圍4、已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，6） ，且函數(shù)的32( )2f xxmxnx( )( )6g xfxx圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.()求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；()若a0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內(nèi)的極值.5、已知函數(shù) f（x）=的圖像在點(diǎn) P（0,f(0)）處的切線方程為 y=3x-23213xxaxb()求實(shí)數(shù) a,b 的值；()設(shè) g（x）=f(x)+是上的

9、增函數(shù)。1mx2, （i）求實(shí)數(shù) m 的最大值； (ii)當(dāng) m 取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn) Q，使得過點(diǎn) Q 的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。6、已知函數(shù)1( )ln1()af xxaxaRx（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）當(dāng)時(shí)，討論1a ( )yf x(2,(2)f12a 的單調(diào)性( )f x7、已知函數(shù)，常數(shù)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理0()(2xxaxxf)aR)(xf由；若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍)(xf2)x ，a8、已知函數(shù)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；設(shè)，3( )f xxx( )

10、yf x( )M tf t，0a 如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：()ab，( )yf x( )abf a 9、已知函數(shù)42( )32(31)4f xaxaxx（I）當(dāng)時(shí)，求的極值;（II）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍16a ( )f x( )f x1,1a二階導(dǎo)數(shù)的意義二階導(dǎo)數(shù)的意義二階導(dǎo)數(shù)就是對(duì)一階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)一次， 意義如下： （1）斜線斜率變化的速度，表示的是一階導(dǎo)數(shù)的變化率（2）函數(shù)的凹凸性。 （3）判斷極大值極小值。結(jié)合一階、二階導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的極值。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，為極小值點(diǎn)；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，為極大值點(diǎn)；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)都等于零時(shí)，

11、為駐點(diǎn)。一、用二階導(dǎo)數(shù)判斷極大值或極小值定理一、用二階導(dǎo)數(shù)判斷極大值或極小值定理設(shè)設(shè)在在二階可導(dǎo)，且二階可導(dǎo)，且)(xf0 x0)(, 0)(00 xfxf(1)(1) 若若，則，則在在取得極大值；取得極大值；0)(0 xf)(xf0 x(2)(2) 若若，則，則在在取得極小值取得極小值0)(0 xf)(xf0 x例例 試問為何值時(shí)，函數(shù)在處取得極值？它取得極值？它axxaxf3sin31sin)(3x是極大值還是極小值？求此極值是極大值還是極小值？求此極值解解 xxaxf3coscos)(由假設(shè)知，從而有，即0)3(f012a2a又當(dāng)時(shí)，且2axxxf3sin3sin2)( ，所以在處取得極

12、03)3( fxxxf3sin31sin2)(3x大值，且極大值3)3(f例例 求函數(shù)的極大值與極小值593)(23xxxxf解解 在上連續(xù)，可導(dǎo)令)(xf4 , 2 ，0)3)(1(3963)(2xxxxxf得 和，1x3x思考： 在取得極大還是極小值？在取得極大還是極小值？)(xf1x3x( )66fxx-1 代入二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為-12，在取得極大值)(xf1x 3 代入二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式 12，在取得極小值3x三、函數(shù)圖像凹凸定理三、函數(shù)圖像凹凸定理 若在內(nèi)二階可導(dǎo)，)(xf),(baooxxyy則曲線在內(nèi)的圖像是凹曲線的充要條件是，)(xfy ),(ba0)( xf),(bax曲線在內(nèi)的圖

13、像是凸曲線的充要條件是，。)(xfy ),(ba0)( xf),(bax幾何的直觀解釋：如果如果一個(gè)函數(shù) f(x)在某個(gè)區(qū)間 I 上有恒成立，那么在區(qū)間( )0fx I 上 f(x)的圖象上的任意兩點(diǎn)連出的一條線段，這兩點(diǎn)之間的函數(shù)圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。. 曲線的凸性曲線的凸性對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值進(jìn)行了討論，使我們知道了函數(shù)變化的大致情況但這還不夠，因?yàn)橥瑢賳卧龅膬蓚€(gè)可導(dǎo)函數(shù)的圖形，雖然從左到右曲線都在上升，但它們的彎曲方向卻可以不同如圖 11 中的曲線為向下凸，而圖 12 中的曲線為向上凸 圖 11 圖 121212()()()22f xf xxxf定義定義 4.5.14.5.1 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，若曲線位于其每點(diǎn)處切線的上方，)(xfy ),(ba)(xfy 則稱它為在內(nèi)下凸(或上凹)；若曲線位于其每點(diǎn)處切線的下方，則稱它在),(ba)(xfy 內(nèi)上凸(或下凹)相應(yīng)地，也稱函數(shù)分別為內(nèi)的下凸函數(shù)和上凸函數(shù)),(ba)(xfy ),(ba(通常把下凸函數(shù)稱為凸函數(shù))從圖 11 和圖 12 明顯看出，