對立體幾何中若干錯(cuò)解的剖析

1、MNE對立體幾何中若干錯(cuò)解的剖析丁勇在立體幾何的學(xué)習(xí)中， 倘若對基本的概念認(rèn)識不清，缺乏一定的空間想象能力， 對問題的思考不夠嚴(yán)謹(jǐn)，就很容易導(dǎo)致解題的失誤，下面舉例說明。例1.已知空間四邊形 ABCD的對角線 AC =10cm , BD = 6cm , M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN =7cm。求異面直線AC與BD所成的角。錯(cuò)解取BC中點(diǎn)E ,連結(jié)EM、EN， 因?yàn)镸、N、E分別為AB、CD、BC的中點(diǎn)，1所以 ME / AC 且 ME AC = 5cm。NE / BD 且21NE BD =3cm。 MEN為異面直線AC與BD所成的角。2在厶MEN中，由余弦定理得cos MEN2 2 2M

2、E NE -MN2ME 次E22 253-7，所直線AC與BD所成的角為 例2.把長、寬分別為 D的距離。錯(cuò)解如圖，取AC的中點(diǎn)CAO由勾股定理可求得 BD二邑2 。2如圖過點(diǎn)B作BM _ AC，過點(diǎn)D作DN在 Rt ABC , BM :AC = AB EC，因?yàn)?2DN，又 BC2 二 AC CM ,所以 CM5-AC , BM , DN為兩條異面直線，12AB 二 4, BC 二 3, AC 二 5,所以 BM 二一，同理5997,同理 AN ，而 MN =AC -2CM ,555以.MEN =120，所以異面直線 AC與BD所成的角為120 。(0 ,90 。所以異面剖析上述解題過程中沒

3、有注意到兩條異面直線所成的角的范圍是180-/MEN =60 ,4、3的長方形ABCD沿對角線AC折成直二面角，求頂點(diǎn) B和DO ,連結(jié) DO、BO ,5 因?yàn)?AB = 4 , AD = 3，所以 BO = DO =,2剖析上述錯(cuò)解是由于對二面角的平面角理解不深造成的。B事實(shí)上，由于DO、BO與棱AC不垂直，.BOD并不是二面角的平面角，也不是直角。應(yīng)用異面直線距離公式EFd2 m2 n2-2 mncos去求BD ,這里，二面角B-AC-D 為直二面角，BM 與 DN 的夾角 v -90 , EF = BD , dMN7,5m = n 二 BM 二 DN 二12，所以 BD2 二 MN 2

4、BM 2 DN52二空所以bD-亙，故255B和D的距離B37。5例3.矩形ABCD中，AC =2、2 , AB < BC，沿對角線AC 折起，使:ABC 和 : ADC所在平面互相垂直，此時(shí) BD的長為、5，求AB的長。錯(cuò)解作BE _ AC于E , DF _ AC于F，連結(jié)DE , BF2 2 2設(shè) AB=x, BC=y，在 ABC 中，AB BC 二 AC ，則x2y2 =8，即 y2 =8 x。由等面積公式BE=DF =_xN,CF2V2BIE:DA2x=AE,2424 X222:-,在 DEF 中，DE2 =EF2 DF2,BD = BE2 DF2 EF = 2BE2 EF2,即

5、 5 =2+（士二）2,把代入上式得2 2x 二6 時(shí)，y 二2 不-平面 ABCD , PA、B（乙）x4 -8x2 72=0,所以 x2 =6 或 x2 =2，即 AB = 6 或、 2剖析錯(cuò)解忽略了題中所給的條件 AB < BC，即x < y。因而符合x2 < y2，所以x2 =2，即AB =才2。例4.四棱錐P - ABCD ,底面是邊長為a的正方形，平面PCD PC與底面所在平面所成角分別為 60和30。求棱錐的高。（甲）錯(cuò)解因?yàn)槠矫鍼CD 平面ABCD ,所以過P作P0 AC于O ,則OP 平面ABCD。（如圖甲）因?yàn)?PAO =60 PCO =30 ,設(shè) OP

6、=h ,J3則 OA 二 OP _cot 60h,3OC = OP cot 30 = .3h ,所以由 O A O C= A C. 2 得ah ,3 . 2a ,所以。所以所求棱錐的高為6。4剖析題目并未說四棱錐 P -ABCD是正棱錐，因此，頂點(diǎn) P在底面上的射影不一定 在底面多邊形的內(nèi)部（如圖乙）。正確作圖是解幾何題的關(guān)鍵，它能引導(dǎo)我們的思路，所以 作圖時(shí)要十分注意。若O在AC上，由OA OC=AC =y；2a 得仝 h 、3h = ,2a，所以 h 6343若O在AC的延長線上時(shí)，則由 OA-OC二AC ='2a知，3h h =2a，3所以h二a，故棱錐的高為.6a2例5.正三棱

7、柱的底面的一邊與側(cè)棱都為 作棱柱的截面，求截面的面積。a，過底面的一邊與上下底面中心連線的中點(diǎn)（甲）GAOFEC'（乙）錯(cuò)解設(shè)上下底面中心為 O、O'。P為OO'連線的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DP并延長交CC'于一點(diǎn)E，則 ABE即為所求的截面，如圖（甲）。因?yàn)镋CDCOPOD-,即13EC a23a。所以 S Abe”、: 3232。所以 ED（ 2 a）2（2a）23剖析上述解答，似乎沒有毛病。但仔細(xì)檢查不難發(fā)現(xiàn)，EC a > a二CC '。這說2明E點(diǎn)不應(yīng)落在CC'內(nèi)，而應(yīng)落在CC '的延長線上，見圖（乙）。設(shè)DE交上底面于

8、點(diǎn)H，過H點(diǎn)作GF，使得GF / A'B'，則等腰梯形 AGFB才是所求 的截面。因?yàn)?竺 二3，又=GF，所以 GF =】AB =1a,HD =?DE =2、3a，EC 1 EC ED AB333311244所以S弟形agfb =（a +a）4 J3a = J3a2。即所求棱柱的截面面積為 一 J5a2面積單位。23 399例6.在半徑為15的球內(nèi)有一個(gè)底面邊長為 12、3的內(nèi)接正三棱錐，求此正三棱錐的體積錯(cuò)解如（圖一）所示，球心 O的位置，OA = OB =0C =0D = R =15 o BCD是邊長為123的正三角形，它的中心為 H o H也是A點(diǎn)和O點(diǎn)在平面BCD上的射影。HB 二 HC= hd=23312.3=12,所以 OHOB2HB2152 -122 92所以三棱錐A-BCD的高 h =9 15 =24，又 S Bcd- (12. 3)2 =108.3.4的體積 VA _BCD =1 108 3 24 =8643.3剖析上面的解法只考慮了三棱錐 A-BCD的頂點(diǎn)A與球心O在平面BCD的同側(cè)，而遺漏了在異側(cè)的情況。女叮圖二）所示，三棱錐A -BCD的高h(yuǎn) =OA -OH = 15-96 。所以三棱錐A-BCD所以此時(shí)