標準偏差與相對標準偏差公式..

1、標準偏差數(shù)學表達式：16n 值不應少于 20-30 個1n；S-標準偏差（ %） n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般 i-物料中某成分的各次測量值，標準偏差的使用方法六個計算標準偏差的公式 1標準偏差的理論計算公式設對真值為 X 的某量進行一組等精度測量 , 其測得值為 l1、l2、 ln。令測得值 l 與該量真 值 X 之差為真差占 , 則有1 = l i - X2 = l 2 - Xn = l n - X我們定義標準偏差 （也稱標準差 ）為1)由于真值 X 都是不可知的 , 因此真差占也就無法求得 , 故式只有理論意義而無實用價值。標準偏差的常用估計貝塞爾公式由于真值是不可知的 , 在實際應用中

2、 , 我們常用 n 次測量的算術平均值來代表真值。理論上也證明 , 隨著測量次數(shù)的增多 , 算術平均值最接近真值 , 當時, 算術平均值就是真值。于是我們用測得值 li 與算術平均值 之差剩余誤差(也叫殘差) Vi 來代替真差 , 即設一組等精度測量值為 l1、l 2、則通過數(shù)學推導可得真差 與剩余誤差 V 的關系為將上式代入式 (1)有(2)式(2)就是著名的貝塞爾公式 (Bessel)它用于有限次測量次數(shù)時標準偏差的計算。由于當 時，,可見貝塞爾公式與 的定義式 (1)是完全一致的應該指出 , 在 n 有限時 , 用貝塞爾公式所得到的是標準偏差 的一個估計值。它不是總體標 準偏差。因此 ,

3、 我們稱式 (2)為標準偏差 的常用估計。為了強調這一點 , 我們將的估計值用 “S ”表 示。于是 , 將式 (2)改寫為(2')在求 S 時, 為免去求算術平均值的麻煩 , 經(jīng)數(shù)學推導 (過程從略 )有于是 , 式(2')可寫為按式 (2")求 S 時, 只需求出各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝 , 即標準偏差的無偏估計數(shù)理統(tǒng)計中定義 S2為樣本方差數(shù)學上已經(jīng)證明 S2是總體方差 2的無偏估計。即在大量重復試驗中, S2圍繞 2散布, 它們之間沒有系統(tǒng)誤差 。而式(2')在n有限時,S并不是總體標準偏差 的無偏估計 , 也就是說 S和 之 間存在系統(tǒng)

4、誤差。概率統(tǒng)計告訴我們 , 對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體 , 總體標準偏差 的無偏估 計值 為(3)即 S1 和 S 僅相差一個系數(shù) K,K是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關的一個系數(shù), K值見表計算 K 時用到(n + 1) = n n()(1) = 1由表 1 知 , 當 n>30 時 ,。 因此 , 當 n>30 時, 式(3')和式 (2')之間的差異可略而不計。在 n=30 50 時 , 最宜用貝塞爾公式求標準偏差。當 n<10 時, 由于 K值的影 響已不可忽略 , 宜用式 (3'), 求標準偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。標準偏差的最大似然估計

5、將 的定義式 (1) 中的真值 X 用算術平均值 代替且當 n 有限時就得到(4)式 (4) 適用于 n>50 時的情況 , 當 n>50 時 ,n 和 (n-1) 對計算結果的影響就很小了。2.5 標準偏差 的極差 估計由于以上幾個標準偏差的計算公式計算量較大 , 不宜現(xiàn)場采用 而極差估計的方法則有運算簡便 , 計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。極差用 "R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機抽取的n 個樣本測得值中的最大值與最小值之差。若對某量作次等精度測量測得l1、，且它們服從正態(tài)分布 , 則maxl min概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標準偏差的計算公式為S

6、3 稱為標準偏差 的無偏極差估計 , d2為與樣本個數(shù) n(測得值個數(shù) )有關的無偏極差系數(shù) , 其 值見表 2由表 2 知, 當 n15時, 因此 , 標準偏差 更粗略的估計值為還可以看出 , 當 200n1000 時，因而又有(5")(5")顯然 , 不需查表利用式 (5')和(5") 了即可對標準偏差值作出快速估計 , 用以對用貝塞爾公式 及其他公式的計算結果進行校核。應指出 ,式(5)的 準確度 比用其他公式的準確度要低 , 但當 5n15時,式 (5)不僅大大提高了計 算速度 , 而且還頗為準確 。當 n>10 時 , 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多

7、 , 因此誤差較大 , 為了提高準確度這時應將測得值分成四個或五個一組 , 先求出各組的極差 R1 、, 再由各組極差求出 極差平均值極差平均值 和總體標準偏差的關系為需指出 , 此時 d2 大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù) n 而不是用數(shù)據(jù)總數(shù) N(=nK) 去查表 2。再則 , 分組 時一定要按測得值的先后順序排列 ,不能打亂或顛倒。標準偏差 的平均誤差估計平均誤差的定義為誤差理論給出(A)可以證明與 的關系為(證明從略 )于是(B)由式 (A)和式 (B)得從而有式(6)就是佩特斯 (C.A.F.Peters.1856) 公式。用該公式估計 值, 由于 right|Vright| 不需平方 故計算

8、較為簡便。但該式的準確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標準偏差的應用實例 1對標稱值 Ra = 0.160 < math > m < math > 的一塊粗糙度樣塊進行檢定 , 順次測得以下 15 個 數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和 1.63 m, 試求該樣塊 Rn 的平均值和標準偏差并判斷其合格否。解： 1) 先求平均值2) 再求標準偏差 S若用無偏極差估計公式式 (5)計算 , 首先將測得的 , 15 個數(shù)據(jù)按原順序分為三組 , 每組五

9、個 見表 3。表3組號l_1l_5R11.481.651.601.671.520.1921.461.721.691.771.640.3131.561.501.641.741.630.24因每組為 5 個數(shù)據(jù)按 n=5 由表 2 查得故若按常用估計即貝塞爾公式式 (2') , 則若按無偏估計公式即式 (3')計算 , 因 n=15 ，由表 1 查得 K = 1.018 , 則若按 最大似然估計 公式即式 (4')計算 , 則= 0.09296( < math > m < math > )若按平均誤差估計公式即式 (6), 則現(xiàn)在用式 (5'

10、) 對以上計算進行校核可見以上算得的 S 、 S1、 S2、 S3 和 S4 沒有粗大誤差。由以上計算結果可知 0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即 S2 < S < S1 < S4 < S3可見 , 最大似然估計值最小 , 常用估計值 S 稍大 , 無偏估計值 S1 又大 , 平均誤差估計值 S4 再 大 , 極差估計值 S3 最大?？v觀這幾個值 , 它們相當接近 , 最大差值僅為 0.01324 m。從理論上講 , 用無偏估計值和常用估計比較合適 , 在本例中 , 它們僅相差 0.0017 m?？梢韵嘈?,

11、 隨著的增大 , S、S1、S2、S3 和 S4之間的差別會越來越小。就本例而言 , 無偏極差估計值 S3 和無偏估計值 S1 僅相差 0.0083 m, 這說明無偏極差估計是 既可以保證一定準確度計算又簡便的一種好方法。JJG102-89 表面粗糙度比較樣塊 規(guī)定 Ra的平均值對其標稱值的偏離不應超過+12% 17%,標準偏差應在標稱值的 4% 12% 之間。已得本樣塊二產(chǎn),產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內 , 故該樣塊合格。標準偏差與標準差的區(qū)別標準差 (Standard Deviation) 各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離( 離均差 )的 平均數(shù) ，它是離差平方 和平均后的方根 。用 表示 。因此，標準差 也

12、是一種平均數(shù) 。標準差是 方差 的算術平方根 。 標 準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。例如， A、B 兩組各有 6 位學生參加同一次語文測驗， A 組的分數(shù)為 95、85、75、65 、55、 45，B 組的分數(shù)為 73、72、71、69、68 、67。這兩組的平均數(shù)都是 70，但 A 組的標準差為 17.08 分，B 組的標準差為 2.16 分，說明 A組學生之間的差距要比 B 組學生之間的差距大得多。標準偏差 (Std Dev,Standard Deviation) -統(tǒng)計學 名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標準，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術平均值的程度。標準偏差

13、越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦 然。標準偏差的大小可通過標準偏差與平均值的倍率關系來衡量。有人經(jīng)?；煊镁礁`差( RMSE )與標準差( Standard Deviation )，實際上 二者并不是一回事。1.均方根誤差均方根誤差為了說明樣本的離散程度。均方根誤差( root-mean-square error )亦稱標準誤差，其定義為 i1，2，3，n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示： 式中，n 為測量次數(shù)； di為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計分布是正 態(tài)分布，那么隨機誤差落在土 以內的概率為 68 。2.標準差 標準差是方差的算術平方根。 標準差能反映一個數(shù)據(jù)集

14、的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。 標準差也被稱為標準偏差，或者實驗標準差。均方根值也稱作為效值 ，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為 100V 而 占空比為 0.5 的方波信號， 如果按平均值計算， 它的電壓只有 50V ，而按均方根值計算則有 70.71V 。這是為什么呢？舉一個例子，有一組 100 伏的電池組，每次供電 10 分鐘之后停 10 分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是10 電阻，供電的 10 分鐘產(chǎn)生10A 的電流和 1000W 的功率，停電時電流和功率為零。那么在 20 分鐘的一個周期內其平均功率為 500W ，這相當于 70.71V 的

15、直流電向 10 電阻 供電所產(chǎn)生的功率。而 50V 直流電壓向 10 電阻供電只能產(chǎn)生的 250W 的功率。對于電機 與變壓器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時間內過載，也不會燒壞。PMTS1.0 抽油機電能圖測試儀對電流、電壓與功率的測試計算都是按有效值進行的，不會 因為電流電壓波形畸變而測不準。這一點對于測試變頻器拖動的電機特別有用。均方根誤差 為了說明樣本的離散程度。對于 N1,Nm, 設 N=(N1+.+Nm)/m; 則均方根誤差記作： bbs.itgoal.c om.F 6F!M n+t8Q5i.Y-mt=sqrt(N2-N12)+.+(N2-Nm2)/(m(m-1)；

16、比如兩組樣本：第一組有以下三個樣本： 3，4，5第二組有一下三個樣本： 2，4，6這兩組的平均值都是 4，但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小， 方差就是表示這個的。同樣，方差、標準差 (方差開根 ,因為單位不統(tǒng)一 )都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。 幾種典型平均值的求法n 代表測(1)算術平均值這種平均值最常用。設x1、x2、 、x n 為各次的測量值，量次數(shù)，則算術平均值為2)3)均方根平均值對數(shù)平均值4)5)加權平均值相對標準方差的計算公式準確度： 測定值與真實值符合的程度絕對誤差： 測量值（或多次測定的平均值）與真（實）值之差稱為絕對誤差，用 表示。相對誤差： 絕對誤差與真

17、值的比值稱為相對誤差。常用百分數(shù)表示。絕對誤差可正可負， 可以表明測量儀器的準確度， 但不能反映誤差在測量值 中所占比例， 相對誤差反映測量誤差在測量結果中所占的比例， 衡量相對誤差更 有意義。例：用刻度 0.5cm 的尺測量長度，可以讀準到 0.1cm，該尺測量的絕對誤差 為 0.1cm；用刻度 1mm的尺測量長度，可以讀準到 0.1mm，該尺測量的絕對誤差 為 0.1mm。例：分析天平稱量誤差為 0.1mg, 減重法需稱 2 次，可能的最大誤差為 0.2mg, 為使稱量相對誤差小于 0.1%，至少應稱量多少樣品？答：稱量樣品量應不小于 0.2g 。 真值（）：真值是客觀存在的，但任何測量都存在誤差，故真值只能逼近而不 可測知，實際工作中，往往用“標準值”代替“真值”。標準值：采用多種可靠 的分析方法、由具有豐富經(jīng)驗的分析人員經(jīng)過反復多次測定得出的結果平均值。 精密度： 幾次平行測定結果相互接近的程度。各次測定結果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差： 單次測量值與樣本平均值之差：平均偏差： 各次測量偏差絕對值的平均值。 相對平均偏差： 平均偏差與平均值的比值。標準偏差： 各次測量偏差的平方和平均值再開方， 比平均偏差更靈敏的反映較大 偏差的存在，在統(tǒng)計學上更有意義。相對標準偏差（變異系數(shù)）