拋物線及其標準方程

1、拋物線及其標準方程 一、 教學內(nèi)容分析 拋物線及其標準方程是全日制普通高級中學教科書（必修）數(shù)學第二冊（上）第八章圓錐曲線第三節(jié)第一課時內(nèi)容。本節(jié)在教材中的地位和作用：在初中階段，拋物線為學生學習二次函數(shù)提供直觀的圖象感覺；在高中階段，它在一元二次不等式的解法、求最大（?。┲档确矫嬗兄匾淖饔?。但學生并不清楚這種曲線的本質(zhì)，隨著學生數(shù)學知識的逐漸完備，尤其是學習了橢圓、雙曲線的第二定義之后，已具備了探討這個問題的能力。從本章來講，這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后，一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要，拋物線是離心率的特例；另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次強化。本節(jié)對拋物線定義

2、的研究，與初中階段二次函數(shù)的圖象遙相呼應，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧之美。教材的這種安排，是為了分散難點，符合認知的漸進性原則。二、學生學習情況分析我校是省一級達標學校，有優(yōu)越的多媒體設(shè)備，學生的數(shù)學基礎(chǔ)較好，有強烈的求知欲，具備一定的分析、觀察等能力。在此之前，學生已經(jīng)熟練掌握二次函數(shù)圖象、橢圓、雙曲線的第二定義與求軌跡方程等內(nèi)容，迫切想了解拋物線的本質(zhì)特征。但是在動手操作與合作學習等方面，發(fā)展不均衡，有待加強。三、設(shè)計思想為了培養(yǎng)不僅能“學會”知識，而且能“會學”知識的人才以及根據(jù)我校提出的“創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)情感、主動發(fā)現(xiàn)、主動發(fā)展”的教學模式，在課堂設(shè)計上，教師應學會如何創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學生學習的興趣

3、；圍繞教材的重難點，比如本節(jié)的“拋物線的標準方程及其推導”和“拋物線概念的形成”，教師應學會如何設(shè)計不同的活動環(huán)節(jié)，設(shè)置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的問題，通過教師適時的引導，通過生生間、師生間的交流互動，通過學生自己的發(fā)現(xiàn)、分析、探究、反思，使學生真正成為學習的主人，不斷完善自己的知識體系，提高獲取知識的能力，嘗試合作學習的快樂，體驗成功的喜悅。四、教學目標1理解拋物線的定義，掌握拋物線的標準方程及其推導。明確拋物線標準方程中 的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標準方程問題。 2、通過對拋物線和橢圓、雙曲線離心率的比較，體會三種圓錐曲線內(nèi)在的區(qū)別和聯(lián)系。3、熟練掌握求曲線方程的基本方法，通過四種不同形式

4、標準方程的對比，培養(yǎng)學生分析、歸納的能力。 4營造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學。引導學生用運動變化的觀點發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，體會數(shù)學的簡捷美、和諧美。培養(yǎng)合作學習的意識，體會成功帶來的喜悅。發(fā)展數(shù)學應用意識，認識數(shù)學的應用價值。五、教學重點和難點教學重點: 拋物線的定義及其標準方程的推導。通過學生自主建立直角坐標系和對方程的討論選擇突出重點。教學難點：拋物線概念的形成。通過條件的畫法設(shè)計，標準方程與二次函數(shù)的比較突破難點。六、教學過程設(shè)計一設(shè)置情景，導入新課（借助多媒體）先給出一張姚明的圖片。（此時學生的興趣來啦?。煟阂γ魇俏覀冎袊说尿湴?，我們要向他學習！大

5、家都知道姚明的投籃非常精準！為什么呢？生：天賦、身高！生：勤奮練習?。ㄔ俳o出兩張姚明的圖片）生：與投籃時的弧線有關(guān)！生：這弧線是拋物線！師：對！姚明有許多優(yōu)越的先天條件，同時好的技術(shù)也是一個關(guān)鍵的因素，今天我們就著手研究這個內(nèi)容。（進而引出本節(jié)研究的課題：拋物線及其標準方程）【學情預設(shè)】學生被教師設(shè)置的情景所吸引，學習的熱情高漲。【設(shè)計意圖】一個引人入勝的開頭會拓寬學生思路，尊重學生的生命活動，激發(fā)興趣，陶冶情操，大大提高教學效率。二引導探究，獲得新知師：在初中我們已經(jīng)從函數(shù)角度學過拋物線，那么，這一節(jié)課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來學習拋物線。師：前面，我們學習了橢圓和雙曲線的相關(guān)

6、知識，那么它們的聯(lián)系和差異是什么？生：定義不一樣！生：方程！橢圓是，雙曲線是。師：還有嗎？生：橢圓是封閉的，雙曲線是開放的。師：這只是圖象不同，為什么會這樣呢？生：第二定義！就是它們到定點的距離與到定直線的距離的比等于一個常數(shù)！生：這個常數(shù)是離心率！師：對??！這是定性上的，定量上有不同嗎？生：離心率不同，橢圓離心率的范圍是，雙曲線離心率的范圍是。師：對了，可看成是它們的相同點，又是不同點?。ù蜷_幾何畫板）師：現(xiàn)在我慢慢拖動，大家認真觀察圖象。生：是橢圓，是雙曲線。師：但你們有沒觀察到時的圖象？生：拋物線！【學情預設(shè)】學生認真觀察圖象的變化，認知的圖象就是拋物線?！驹O(shè)計意圖】不僅回顧了橢圓與雙曲

7、線的相關(guān)內(nèi)容，而且為如何畫拋物線奠定堅實基礎(chǔ)。師：這拋物線是怎么畫出來的?。。ㄕn堂頓時一片寂靜）師：那這條拋物線與什么有關(guān)？眾生：！師：是什么意思？生：到定點的距離等于到定直線的距離！師：回答得很好！那你們能據(jù)此設(shè)計一種方案，畫出這樣的點嗎？（一段時間后，讓學生匯報自己的設(shè)計方案，并用實物投影儀展示學生所畫的圖形，師生共同就方案的可行性進行論證。）（在直線上找特殊點） （在第一象限找特殊點） （在第一象限找所有點）【活動設(shè)計】前后學生組成四人小組，探討畫圖方案。【教師活動】教師以平等的身份介入學生的討論中，并且關(guān)注： 1.學生在知識認知與情感發(fā)展方面的疑惑，及時引導鼓勵；2.關(guān)注每個人的活動情

8、況，做到全員參與，從同學們的探究中，了解學生對知識理解的不同程度，思考的不同方向，對有代表性的方案注意收集；3.了解學生探究的進展，把握課堂節(jié)奏?！緦W情預設(shè)】學生可能找到個別點，教師應指導學生設(shè)計好如上圖中的方案。【設(shè)計意圖】著重培養(yǎng)學生合情推理與邏輯思維能力，增強學生的學習興趣，增強學生的自信心。師：同學們的設(shè)計讓我們看到了這條曲線上的一個點，那么怎么畫滿足的圖象呢？（課堂又一片寂靜）（出示預先準備的圓錐曲線教具）師：現(xiàn)在我介紹這個教具的用法，將直尺與定直線重合，豎直固定在黑板上，再將磁鐵固定在定點上，拉緊白線，就可以畫出來了。誰上來試試？（兩位學生積極上臺板演）師：這兩位同學表現(xiàn)非常好！這

9、就是我們見過的拋物線！【活動設(shè)計】兩位學生上臺演示教具畫拋物線的過程。【學情預設(shè)】教師應先介紹教具的使用方法，然后學生嘗試。在嘗試的過程中，學生可能會遇到困難，教師應給予指導?！驹O(shè)計意圖】體現(xiàn)數(shù)學實踐在數(shù)學學習中的地位和作用，同時教師應多鼓勵學生，多引導學生間進行合作交流，培養(yǎng)合作學習的意識，體驗成功帶來的喜悅。師：接下來我也來演示下拋物線的形成過程。（打開幾何畫板軟件）師：認真觀察點的運動過程，你們有什么發(fā)現(xiàn)？（利用幾何畫板軟件同步動態(tài)演示）生：和等于，所以點在運動時，始終等于。師：這位同學觀察很敏銳，直接抓住關(guān)鍵地方！師：那這樣畫出來的圖象也是？眾生：拋物線！師：很好！【活動設(shè)計】利用幾何

10、畫板軟件演示拋物線的形成過程?！緦W情預設(shè)】學生驚訝！計算機軟件居然能演示拋物線形成的過程，學生學習的興趣再次調(diào)動起來！【設(shè)計意圖】強調(diào)“在操作中促進學習”，體現(xiàn)數(shù)學實驗在學習數(shù)學中的應用價值，同時激發(fā)學生學習計算機知識的興趣。至此本節(jié)的難點得以突破。師：以前我們是用描點法畫出拋物線，那今天我們怎么畫？眾生：教具，電腦師：現(xiàn)在變換教具的位置，那么畫出的圖象還是拋物線嗎？眾生：是。師：這說明了什么？生：畫拋物線與位置無關(guān)。師：所以今天我們就巧妙地利用幾何知識和計算機等方式畫出了整個圖象。師：現(xiàn)在你們就可以歸納一下拋物線的定義了！ 生：到點的距離和到直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。師：這樣歸納完

11、整嗎？生:應該說，平面內(nèi)到一個定點和到一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。生：還要注意定點不能在定直線上。師：為什么??？師：如果這樣，就只能找到一個點。師：說得很好！這里叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。【學情預設(shè)】學生間合作交流，完成對拋物線定義的歸納?！驹O(shè)計意圖】著重培養(yǎng)學生分析、歸納等能力。三深入探索，推導方程師：接下來你們試試推導拋物線的方程？（簡單回顧求曲線方程的方法）。一段時間后，實物投影儀展示學生探討的結(jié)果。（分組討論，集中探索）1.以為原點，定直線所在的直線為軸建立平面直角坐標系，此時得方程為： 2.以為原點，過且垂直于定直線的直線為軸建立平面直角坐標系，此時得方

12、程：3.以垂線段的中點為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，此時得方程：師：哪個好呢？ 生：方案3所得的方程更簡潔！師：我們就把它叫做拋物線的標準方程，注意這里標準的規(guī)范是頂點在原點，圖象關(guān)于軸對稱?！净顒釉O(shè)計】以原來的四人小組為單位，討論建立直角坐標系的方案，一段時間后，各組交流，對可行的方案進行驗證?！緦W情預設(shè)】可能出現(xiàn)的情況如上。若只出現(xiàn)第一種和第二種方案，教師要適時引導出現(xiàn)第三種方案；若直接出現(xiàn)第三種方案，教師就引導學生歸納拋物線的標準方程?！驹O(shè)計意圖】通過有啟發(fā)性的活動設(shè)計和層層深入的問題設(shè)置，使學生在分析、探究、反思和歸納中，不斷獲得解決問題的方法。師：現(xiàn)在請同學們增大點到直尺

13、的距離，重復剛才的實驗，比較一下，拋物線有什么變化？再縮小這個距離試一試。生：點到直尺的距離發(fā)生變化，拋物線開口也發(fā)生變化。師：觀察很準確！這說明了什么？生：焦點到準線的距離是拋物線的一個重要的幾何特征。師：說得非常好！師：接下來看課本的一條拋物線，試將你們的課本逆時針旋轉(zhuǎn)再觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？生：軸和軸對調(diào)了。生：還有開口向上了！師：同學觀察得很仔細！那么你們能推出它的方程嗎？生：將中的和對調(diào)就行了，就是！師：大家在等式兩邊同除看看！生：，哦，是二次函數(shù)形式！師：對了！這就是我們熟悉的二次函數(shù)了！師：那再逆時針旋轉(zhuǎn)，怎么求？生：和圖象關(guān)于軸對稱，將替換就行，就是！師：再逆時針旋轉(zhuǎn)呢？眾生：和

14、圖象關(guān)于軸對稱，將替換就行，就是?。ù蜷_計算機里的表格，學生迅速完成表格內(nèi)容?。藴史匠虉D形焦點坐標準線方程師：你們完成的過程有沒什么發(fā)現(xiàn)？生：從的形式上，方程的一次項決定焦點的位置。生：還有一次項系數(shù)符號決定開口方向，而且可以迅速算出焦點坐標為和準線方程為。師：還有嗎？生：拋物線標準方程和橢圓、雙曲線的標準方程不同的是：確定拋物線只要一個自由量，而確定橢圓和雙曲線則需要兩個自由量。師：觀察很敏銳，分析很透徹，很好！【學情預設(shè)】通過老師的層層引導，學生自主完成計算機中的表格的內(nèi)容，認清拋物線和二次函數(shù)圖象的聯(lián)系，認清拋物線標準方程的各種形式?！驹O(shè)計意圖】引導學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，不斷提升分析、總

15、結(jié)與歸納等能力，也為分析例題和解決實際應用問題奠定理論基礎(chǔ)。四.指導應用，鼓勵創(chuàng)新師：接下來我們運用上述所學到的知識來解決一些問題，如：已知拋物線的標準方程是，現(xiàn)在請你們說出它的焦點坐標和準線方程。生：方程是關(guān)于的一次項，系數(shù)是負的，所以焦點在軸上，開口向左，所以焦點坐標是（），準線方程是。再看一道：已知拋物線方程是，請說出它的焦點坐標和準線方程。生：焦點坐標是。師：是這樣嗎？生：二次項系數(shù)不為1，所以要先化成標準方程！應該先變成再求。師：太好了！所以解題時不要張冠李戴！結(jié)果算出來了嗎？眾生：焦點坐標是，準線是?！驹O(shè)計意圖】鞏固四種方程的形式及曲線特征，熟悉相關(guān)公式。強調(diào)解決拋物線方程問題時要

16、先轉(zhuǎn)化為標準方程。師：現(xiàn)在我們回到姚明的這副圖，有一次姚明投籃時，測得投籃的軌跡是拋物線，請看右邊畫的圖形，拋物線最高點離底面距離為，籃框高為，籃框中心離最高點的水平距離為，怎么求投中時拋物線的方程？（生思考）師：這是一道實際生活問題！我們?nèi)绾螌⑦@個問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題呢？生：建立直角坐標系！師：那怎么建立??？生：這里應該以點為坐標原點，所在直線為軸建立坐標系，這樣拋物線就在軸下方，直接設(shè)，又，則，方程就是！師：很好！接著我們還可以算出？生：只要知道姚明的身高，我們還可以算出投籃地方離籃框的水平距離。師：非常好！【學情預設(shè)】當遇到實際應用題，學生可能會感到困惑，但在教師的引導下，利用掌握的相關(guān)知

17、識解決了實際生活問題。【設(shè)計意圖】設(shè)計一道求投籃軌跡的方程的例題，不僅與開頭遙相呼應，而且可以鞏固新知識，加深學生的數(shù)學應用意識，讓學生感受數(shù)學的價值，體會數(shù)學來自生活，又應用于生活，服務(wù)于生活。五小結(jié)概括，深化認識師：今天我們學習了什么內(nèi)容？ 生：可以巧妙地利用幾何知識畫出拋物線。生：知道了拋物線的標準方程，它的頂點在原點，焦點落在對稱軸上，有四種形式。師：這是知識方面的。我們還學到了哪些數(shù)學思想方法？生：轉(zhuǎn)化思想，求解拋物線方程問題時要特別注意先化成標準方程。師：還有嗎？生：從橢圓和雙曲線中的變化研究到拋物線，實際是用了類比的方法。生：如果我們做生活的有心人，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學與生活實際是密切相

18、連的。師：很好！今天我們學習的內(nèi)容雖然不多，但是從知識、能力、思想與應用等方面都理解和體驗了數(shù)學的奧秘！【學情預設(shè)】學生總結(jié)出在知識、數(shù)學思想等方面的收獲?！驹O(shè)計意圖】擺脫傳統(tǒng)教學中教師小結(jié)的做法，讓學生自己總結(jié)，加深對本節(jié)課內(nèi)容的認識。六布置作業(yè)課本P119 1、2、3、4板書設(shè)計拋物線及其標準方程2拋物線的標準方程1拋物線的定義3應用與小結(jié)建系方案三建系方案二建系方案一例題練習七、教學反思本節(jié)是在學生學習了橢圓、雙曲線之后，因此在教學設(shè)計中，應注意充分調(diào)動學生已有的知識，引導學生把新舊知識有機融合，掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。時時與前兩種曲線進行比較，不斷復習學生已經(jīng)理解和掌握了的建系求曲線方程的步驟。為了突破本節(jié)課的難點拋物線概念的形成。在教學設(shè)計中，注重設(shè)計三個活動：第一個活動讓學生感受曲線上的一個點，并培養(yǎng)學習的信心；第二個活動中，圓錐曲線教具在概念的形成過程中起到非常