四邊形中幾種特殊的四邊形浙江版

1、四邊形中幾種特殊的四邊形一 . 本周教學(xué)內(nèi)容：1. 四邊形中幾種特殊的四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形。2. 常見的添線方法：（1）過對角線O 的任意一直線將平行四邊形割成的幾種三角形中恒有：DEO BFO ， CEO AFODECOAFB（2）梯形平移一腰可得平行四邊形等腰梯形平移一腰可得平行四邊形與等腰三角形平移對角線可得平行四邊形及（或等腰三角形）等腰梯形作兩條高線可構(gòu)成一對全等的Rt 及矩形3. 比例與比例線段，相似三角形常見的基本圖形DE / /BCADE ABC1ADEBCAAAOE ABCADACAE AB或：AAAED ACBADE ABCAEDBCDE / /BCAOE

2、 ABCEDABC4. 相似三角形的性質(zhì)與判定5. 射影定理及基本圖形：CADBACBAC 2AD ABRt2BD ABBCCD AB2AD BDCDAC 2ADBC 2BD2【典型例題】例 1. 四邊形 DEFG 中， DEF 120°， EFG 135°， DE 6，EF 53 ， FG6 ，求 SDEFG 。解：過 D 、G 分別作 DA EF，GB EF，垂足分別為A 、B ，過 D 作 DC BG，垂足為 C，則四邊形ABCD 是矩形。DCGAEFB A 90°， AED 60°， ADE 30°又 DE6，AE1 DE32AD 2D

3、E 2AE 2369 27AD3 3又 B 90° BFG 45°， BF BG由勾股定理得：2BFFG6BF3，BG3AB3 5338GCADBG3 332 3SDEFGSABCDS ADES BGF3133S DCG22精析：這個題目在構(gòu)造矩形時， 關(guān)鍵是抓住了 DEF 120°和 EFG 135°，使構(gòu)成的矩形填補上的三角形是直角三角形。最后求出四邊形的面積。例 2. 梯形 ABCD 中， AD BC， AB AD BC， E 為 CD 中點。求證：（ 1） AEBE；（ 2） AE 、 BE 分別平分 BAD 、 ABC 。AD1 2E3BCF證

4、：（ 1）延長 AE 交 BC 延長線于點FAD BC， E 是 CD 的中點3 1 F， 2 3， DE CEAEDFECAEFE，ADFCABBCADABBCCFBFBEAE（ 2） AB BF， E 是 AF 的中點 BE 平分 ABCABBF， BAEF又 1 F 1 BAEAE 平分 BAD精析：通過引輔助線把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形全等進行解決，這是梯形問題常用的思考方法，即：“中點平行全等三角形”。例 3. ABC 中，在 AC 上取一點E，在 AB 邊上取一點D，使 AD AE ，直線交 BC 的延長線于P 點。求證： BD ·CP CE·BPADFEBCP證：

5、過 C點作 CFDP交 AB 于 F點BPBD，ADAECPFDFDCEADAEFDCEBPBDCPCE即 BD · CP CE· BPBPBD精析：將求證的乘積式，轉(zhuǎn)化為比例式，但不能構(gòu)成一對相似三角形，從而通過添平行線構(gòu)造相關(guān)的比CPCE例式傳遞達到證明的目的。例 4. 在銳角 ABC 中， BD AC ，CE AB ， ABC 和 ADE 的面積分別為18， 8， DE22 ，求點 A 到 BC 的距離。4ADEBC解： BD AC ， CE AB ADB AEC 90o A AADB AECADABAEAC A A ADE ABCSSADEABCDE248BC189

6、BC3 DE322 32221點A到BC的距離為： 18BC622精析：本題考查的知識要求多，可先從三角形相似入手，求得相似比。當然也可先求AED 中 DE 邊上的高線長，再通過對應(yīng)高線之比等于相似比等ABC 中 BC 邊上的高線長。四邊形部分一 . 填空題。1. 四邊形 ABCD 中， A： B： C： D 2： 2： 3： 5，那么 D _度。2.已知一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的5 倍，則此多邊形的邊數(shù)是_ 。3.平行四邊形 ABCD 的周長是 28cm，AC 和 BD 交于點 O，OAB的周長比 OBC 的周長大 4cm，則 AB _cm ，BC _cm。4. 菱形的兩條對角線長是 8

7、cm 和 10cm，則菱形的面積為 _ cm2 。5.要證明一個四邊形是正方形，可以先證明這個四邊形是_，再證明它 _ 。（只需填寫一種方法）6.用長為 40cm 的一根繩子圍成一個矩形，其面積的最大值是_ cm2 。7.一個等腰梯形的周長是100cm，已知它的中位線與腰長相等，則中位線長_ cm 。8.若正三角形，正方形，正六邊形的周長都相等，它們的面積分別記為S3 ，S4 ， S6 ，則 S3 ，S4 ， S6 由大到小的排5列順序是 _。9. 如圖，根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性制作的邊長為16cm 的可活動的菱形衣架， 若墻上釘子之間距離ABBC163 cm ，則 _ 度。10. 如圖，矩形 A

8、BCD 的長、寬分別為5 和 3，將頂點 C 折過來， 使它落在AB 上，則陰影部分的面積S 是_ 。11. 如圖，正方形OEFG 的一個頂點與正方形ABCD 的對角線交點O 重合，且正方形ABCD ， OEFG 邊長都是a cm，則圖形中重合部分的面積是_ cm2 。12.如圖，把一個面積為1 的正方形等分成兩個面積為1 的矩形， 接著把面積為1 的矩形等分成兩個面積為1 的矩形，224再把面積為1 的矩形等分成兩個面積為1 的矩形，如此進行下去，試利用圖形揭示的規(guī)律計算：4811111111248163264128_。256二 . 選擇題。13.在平行四邊形 ABCD中，已知 A 80&#

9、176;，則 B， C 的度數(shù)分別是（）A. 80 °， 80°B. 80°， 100°C. 100°， 80°D. 100 °， 100°14.下列命題中假命題是（）A. 和已知線段兩端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線B. 一組對邊平行且對角線相等的四邊形是矩形6C. 菱形的對角線垂直且互相平分D. 任意三角形都有內(nèi)切圓15. 某校計劃修建一座既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的花壇，從學(xué)生中征集到的設(shè)計方案有等腰三角形，正三角形，等腰梯形，菱形四種圖案，你認為符合條件的是（）A. 等腰三角形B. 正三角形

10、C. 等腰梯形D. 菱形16. 下面四個圖形每個均由六個相同的小正方形組成，折疊后能圍成正方體的是（）17. 同學(xué)們曾玩過萬花筒， 它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的。如圖是萬花筒的一個圖案， 圖中所有小三角形均是全等的等邊三角形，其中的菱形AEFG 可以看成是菱形ABCD 以 A 為中心（）A. 順時針旋轉(zhuǎn) 60°得到B. 順時針旋轉(zhuǎn)120°得到C. 逆時針旋轉(zhuǎn) 60°得到D. 逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到18. 斜拉橋是利用一組組鋼索，把橋面重力傳遞到聳立在兩側(cè)的高塔上的橋梁，它不須建造橋墩。圖中A1B1 A 2B2A 5B5被均勻地固定在橋上，如果最長的鋼

11、索A 1B1 80m ，最短的鋼索 A 5B520m ，那么A 3B 3 A 2B 2 的長分別為（）A. 50m ， 65mB. 50m ， 35mC. 50m ， 57.5mD. 40m ， 42.5m19. 如圖，已知在正方形ABCD 中，F(xiàn) 是 AD 的中點，BF 與 AC 交于點 G，則 BGC 與四邊形 CGFD 的面積之比是（）7A. 2：3B. 2：5C. 4：5D. 4：920. 如圖，在矩形 ABCD 中，AB 3，AD 4，P 是 AD 上的動點， PE AC 于 E，PF BD 于 F。則 PE PF 的值為（）12B. 2513A.C.D.52521. 如圖，直角梯形

12、 ABCD 中， AD BC ， B 90°， AD BC DC ，若腰 DC 上有點 P，使 AP BP，則這樣的點（ ）A. 不存在B. 只有一個C. 只有兩個D. 有無數(shù)個三 . （每小題9 分，共 36 分）AEBFDGAH22. 如圖，四邊形 ABCD 中，E、F、G、H 分別是 AB 、BC 、CD、DA 上的一點，F(xiàn)CGCk (k 0) ，EBHD閱讀下段材料，然后回答后面的問題。如圖所示，連結(jié)BDAEAH ，EH /BDEBHDBFDG ，F(xiàn)G /BD，F(xiàn)G / /EHFCGC（1）連結(jié) AC ，則 EF 與 HG 是否一定平行？答：_ 。（ 2）當 k 值為 _ 時

13、，四邊形 EFGH 為平行四邊形。（ 3）在（ 2）的情形下，對角線 AC 與 BD 只須滿足 _條件時， EFHG 為矩形。（ 4）在（ 2）的情形下，對角線 AC 與 BD 只須滿足 _條件時， EFHG 為菱形。8AHDEGBFC四 . （每小題11 分，共 22 分）23. 如圖，有四個動點P、 Q、 E、F 分別從正方形ABCD 的頂點 A 、B 、 C、 D 同時出發(fā)，沿著AB 、 BC、 CD、DA 以同樣的速度向點B、C、 D、 A 移動。（ 1）證明四邊形 PQEF 是正方形。（ 2） PE 是否總過某一定點，并說明理由。（ 3）四邊形 PQEF 的頂點位于何處時，其面積有最

14、小值和最大值，最小值和最大值各是多少？AFDEPBQC24. 閱讀下面短文：如圖（ 1）， ABC 是直角三角形，C 90°，現(xiàn)將 ABC 補成矩形，使 ABC 的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩個：矩形ACBD 和矩形 AEFB （如圖（ 2），解答問題：AADAABCBCBCBCF（1）設(shè)圖（ 2）中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面積分別為S1、 S2 ，則 S1 _ S2 。（填“ >， =， <”）（2）如圖（ 3）， ABC 是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出_個

15、，利用圖（ 3）把它畫出來。（3）如圖（ 4）， ABC 是銳角三角形且三邊滿足BCACAB ，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出_ 個，利用圖（ 4）把它畫出來。（4）在（ 3）中所畫出的矩形中，哪一個的周長最?。?相似形部分一 . 填空題。1.如果 x7 ，那么 x y_， x y_。y3yy2.已知線段 a4cm， b9cm ，則線段 a， b 的比例中項 c 為 _cm。3. 如圖，在 ABC 中， C Rt， DE AB ，若 AB 24， AC 18， AD 15，那么 AE _。AEDBC4.直角三角形斜邊上的高線把直角三角形的面積分成1： 4 的兩部分，則兩

16、直角邊之比是 _ 。5.已知如圖， BE、 AF 是 ABC 的中線，它們相交于點G，則 GE： BE _。AEGBFC6. 如圖，在Rt ABC 中， ACB 90°， CD AB 于 D ，若 AD 、 BD 的長是方程x 27x50 的兩根，則AB 的長為 _，CD 的長為 _。CADB7. 如圖，在 ABC 中， A 60°，以 BC 為直徑的 O 分別交 AB 、 AC 于點 D、 E，則S ADE_。S四邊形 DBCEADEBC108. 如圖，已知梯形ABCD 中， AB CD EF，其中 AB 3， CD 5， AE ： ED 1： 3，則 EF 的長為 _。

17、ABEFDC9. 如圖，在大小為 4× 4 的正方形方格中， ABC 的頂點 A 、B、C 在單位正方形的頂點上，請在圖中畫一個A 1B1C1 ，使A 1B1C1 ABC ，相似比不為1，點 A 1，B1， C1都在單位正方形的頂點上。10. 如圖，現(xiàn)有正方形ABCD 的窗框，框邊長為2m，在窗框上有一根長為5m 的木條，一端在D 處，另一端在AB上的 E 處，現(xiàn)要把一根長為1m 的木條 MN 釘在窗框上，要求M 、N 分別在 BC 和 DC 上，且使點M 、N 、C 圍成的三角形與 AED 相似，則 CM 的長為 _m 。11. 如圖，已知 AB CD ，那么與 AB 相等的比例式

18、有ABPA ，等等。請你再寫出4 個與 AB 相等的比例式：CDCDPCCD_ 。1112.一條河的兩岸有一段是平行的，在河的這一岸每隔5 米有一棵樹，在河的對岸每隔50 米有一根電線桿，在這岸離開岸邊 20 米處看對岸，看到對岸相鄰的兩根電線桿，恰好被這岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則這條河的寬度是 _米。二 . 選擇題（每小題4 分，共 36分）13.在 ABC 中， DEBC ，DE 交 AB 于 D ，交 AC 于 E，如果 AE 3， EC 6， DE4，那么 BC 等于（）A. 6B. 8C. 10D. 1214.已知，如圖AD EF BC，則下列各比例式中錯誤的是

19、（）AEDFAEBEAEDFBECFA.CFB.C.ABCDD.CDBEEFBCAB15.兩個三角形中， 一個三角形兩邊分別是1.5cm 和 2cm，另一個三角形的兩邊分別是2.8cm 和 2.1cm，且夾角均為 48°，那么這兩個三角形間的關(guān)系是（）A. 相似B. 全等C. 不相似D. 不能確定16.三角形一條中位線將這三角形分成兩部分，這兩部分中較小部分與較大部分的面積之比為（）A. 1：4B.1：3C.1：2D. 2：317.如圖，已知在 ABC 中， H 是高線 AD ， BE 的交點，圖中與AEH 相似的三角形有（）A.1 個B.2個C.3個D.4個18. 1m 長的標桿直

20、立在水平的地面上，它在陽光下的影長為0.8m，此時，若某電視塔的影長為100m，則此電視塔的高度應(yīng)是（）A. 80mB. 85mC. 120mD. 125m19. 如圖，點 D 在 AB 上，不能判定ABC 與 ACD 相似的是（）A. 1 BB. 2 ACBC. AC 2AD ABD.DB2AB AD1220. 點 P 是 ABC 中 AB 邊上的一點，過點P 作直線（不與直線AB 重合）截 ABC 使得三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（）A.2 條B.3條C.4條D.5條21. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中， E 為 CD 上一點， DE：CE 2：3，連結(jié) AE 、 B

21、E、BD ，且 AE 、BD 交于點 F，則S DEF：S EBF：S ABF 為（）A. 4 ： 10： 25B. 4： 9：25C. 2： 3：5D. 2： 5： 25三 . （每小題 9 分，共 36 分）22. 如圖，在直角三角形 ABC 中， AD 是斜邊 BC 上的高線， DE AC ，DF AB ，垂足分別為 E、F，試探索 AB 、AC 、AF 、 AE 之間有怎樣的關(guān)系式，并加以證明。23. 如圖，有一個 ABC周長為 1，面積為 a，連結(jié) ABC 各邊的中點得 A 1 B1C1 ，連結(jié) A 1 B1C1 各邊中點得A 2 B 2 C 2 ，依同樣的方法得A 3 B 3C 3

22、 ， A 4 B4 C 4A n B n C n ，探索思考，并完成下面表格。 A 1B 1C1 A 2B 2C2A 3B 3C3A 10B10C10 A nB nCn周長面積24. 如圖， ABC 中， D、F 是 AB 上的點， E、G 是 AC 上的點， DE FG BC ，且 DE、FG 將 ABC 的面積三等分，如果 BC 12cm，求 FG 的長。1325. 開口向下的拋物線ya x1 x9 與 x 軸交于 A 、 B 兩點，與 y 軸交于點 C，已知 ACB 90°，求 a 的值。四 . （每小題11 分，共 22 分）26. 如圖，已知點A 與點 B 的坐標分別為（4

23、， 0）和（ 0， 2）（1）求直線AB 的解析式；（2）過點 C（ 2， 0）的直線與 x 軸不重合，與 AOB 的另一邊相交于點 P，若截得的三角形與 AOB 相似，求點 P 的坐標。y2 B1A01234x27. （ 1）閱讀下列材料，補全證明過程：已知：如圖，矩形ABCD 中， AC 、 BD 相交于點 O，OE BC 于 E，連接 DE 交 OC 于點 F，作 FG BC 于 G。求證：點 G 是線段 BC 的一個三等分點。ADOFBEGC證明：在矩形ABCD 中， OE BC ， DC BCOE / /DC，OE1DC2EFOE1，EF1FDDC2ED3（2）請你仿照上面的畫法，在

24、原圖上畫出BC 的一個四等分點（要求：保留畫圖痕跡，不寫畫法），并加以證明。14試題答案四邊形部分一 . 填空題。 1. 1502. 123. 9，54. 405. 矩形，一組鄰邊相等（或菱形，有一個Rt）6. 1007. 258.S6 S4S39. 12010.2511.1 a212.25534256二 . 選擇題。13. C14. B15. D16. C17. D18. A19. C20. A21. C三 .22. （ 1）不一定；（ 2） 1；（ 3）AC BD ；（ 4） AC BD四 .23. （ 1）由 SAS 可知 AFP BPQ CQE FDEPFE180o AFP DFE90oPQEF 是正方形（ 2） PE 總過 AC 中點（3）當 BP AP 時， PQ2 最小，最小值為1 AB 2 ；2當 P、 Q、 E、F 在頂點 B 、 C、 D、 A 上時， PQ 2 最大，最小值為 AB2 。24. （ 1）；（ 2） 1（ 3