談中學(xué)數(shù)學(xué)中的猜想方法及其作用

1、談中學(xué)數(shù)學(xué)中的猜想方法及其作用天津市塘沽六中高寶紅數(shù)學(xué)談中學(xué)數(shù)學(xué)中的猜想方法及其作用內(nèi)容摘要數(shù)學(xué)猜想是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律、本質(zhì)時(shí)的一種方法它是建立在已有的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，運(yùn)用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合理推理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度數(shù)學(xué)猜想能縮短解決問題的時(shí)間；能鍛煉數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；能更快捷地尋找解題思路，更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)；還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí)，掌握研究數(shù)學(xué)的一般方法關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)猜想；操作方法；教學(xué)作用科學(xué)的發(fā)展離不開創(chuàng)新，高素質(zhì)人才最重要的是要有豐富的想像力，有善于提出問題、解決問題的能力，有發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新新東西的

2、能力引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想是發(fā)展學(xué)生個(gè)體、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的一種有效方法，是培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的重要手段所謂數(shù)學(xué)猜想，是指根據(jù)某些已知的事實(shí)、材料和數(shù)學(xué)知識(shí)，以已有的數(shù)學(xué)理論和方法為指導(dǎo)，對(duì)未知的量及其關(guān)系所作的一種預(yù)測(cè)性的推斷它是數(shù)學(xué)研究常用的一種科學(xué)方法，又是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要形式猜想作為一種手段，目的是為了驗(yàn)證猜想的正確性對(duì)于未給出結(jié)論的數(shù)學(xué)問題，猜想的形成有利于解題思路的正確誘導(dǎo)；對(duì)于已有結(jié)論的問題，猜想也是尋求解題思維策略的重要手段可見探討數(shù)學(xué)猜想及其在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用具有重要作用本文擬對(duì)此做一探討一、數(shù)學(xué)中的猜想方法1、探索性方法猜想探索性猜想指的是根據(jù)教材的特點(diǎn)組織一些有趣的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)

3、生在實(shí)驗(yàn)中探索事物表面的、外部聯(lián)系的知識(shí)，取得感性材料，在對(duì)這些材料加工整理，使知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)變化，從中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，作出猜想，然后再?gòu)睦碚撋嫌枰宰C明，使學(xué)生較好的掌握新知識(shí)例1 平面上的n條直線最多可以把平面分成幾部分？分析：我們可從同學(xué)感興趣的意大利餡餅（pizza）談起：Primos pizzeria的職員喜歡將pizza餅切成形狀各異的一塊塊他們發(fā)現(xiàn)每切一定數(shù)量的刀數(shù)，就可產(chǎn)生一個(gè)最多的塊數(shù)，講到這里，教師提問：同學(xué)們，你們是否也想操刀一試身手？是否也想知道其中奧妙？在教師的煽情、鼓動(dòng)下，學(xué)生已顯得有些按捺不住、躍躍欲試，探索的欲望非常迫切這時(shí)，教師要求學(xué)生每6人為一個(gè)小組，以合作探究的形

4、式進(jìn)行“切餅”的實(shí)驗(yàn)探索每個(gè)學(xué)生小組基本上都是按照切1刀、2刀、3刀、4刀、5刀來進(jìn)行觀察的，具體的結(jié)果如圖1所示在這切的過程中，學(xué)生感知最多塊數(shù)與切口直線的位置關(guān)系有關(guān)，要想塊數(shù)最多，切口直線的位置關(guān)系應(yīng)滿足條件：其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)。再注意到 ,，學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法，就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律于是學(xué)生提出了下面的猜想：平面上有n條直線，其中任何兩條都不平行，并且任何三條都不交于同一點(diǎn)，則這些直線把平面分成個(gè)部分用數(shù)學(xué)歸納法可證明上述猜想的正確性這個(gè)實(shí)驗(yàn)操作簡(jiǎn)單，學(xué)生感興趣學(xué)生通過自己動(dòng)手可得到一個(gè)直觀印象：平面上的n條直線最多可以把平面分成部分，這不僅增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也培養(yǎng)了學(xué)

5、生創(chuàng)造性思維2、歸納性方法猜想 對(duì)研究對(duì)象或問題從一定數(shù)量的特例進(jìn)行觀察、分析，應(yīng)用不完全歸納法得出有關(guān)命題的形式、結(jié)論或方法的猜想，叫歸納猜想。歸納猜想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的一種基本方法，而且在解題中由歸納猜想可以發(fā)現(xiàn)解題思路，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而獲得超越原有知識(shí)的認(rèn)識(shí)水平例2：123n，122232n2(備注n2=nxIO+2)，132333n3(備注n3=nxIO+3)，它們的結(jié)果等于多少?解：123n=0.5n（1+n）122232n2=(10+2)+(20+2)+(30+2)+(nx10+2)=(10+20+30+nx10)+nx2=(1+2+3+.n)x10+nx2=5n(1+n

6、)+nx2=5n2+7n132333n3=5n2+8n都是由歸納法先提出猜想之后再證明的。作為數(shù)學(xué)教師，要選擇具有可猜因素的材料，讓學(xué)生在問題的情境中去思考。如等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高。學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真分析、思考，很容易證得所求結(jié)論。若順勢(shì)誘導(dǎo)，假如一點(diǎn)在底邊延長(zhǎng)線上，又有怎樣的結(jié)論？請(qǐng)寫出你的猜想，倒不失為一道好的開放型試題。例3 求前n個(gè)自然數(shù)的立方和分析：先用幾個(gè)具體的數(shù)字試試看：歸納猜想：這個(gè)猜想的正確性可由數(shù)學(xué)歸納法加以證明對(duì)于上述較為復(fù)雜和一般化的問題，往往一下子難以找到直接的解決方法，這時(shí)不妨退一步考慮，把問題簡(jiǎn)單化，先嘗試解決簡(jiǎn)化了的問題，然后再通過分析

7、，利用從簡(jiǎn)單情況得到的啟發(fā)，推斷猜想出一般復(fù)雜狀態(tài)下問題的解決途徑此類猜想的基本思路是先借助不完全歸納法，通過對(duì)部分簡(jiǎn)化了的對(duì)象的研究，歸納出特征后提出猜想，然后用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法推理論證3、類比性方法猜想運(yùn)用類比方法，通過比較兩個(gè)對(duì)象或問題的相似性部分相同或整體類似，得出數(shù)學(xué)新命題或新方法的猜想叫類比猜想它是一種從特殊到特殊的推理方法，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，無論是對(duì)于命題本身或解題思路方法，類比都是產(chǎn)生猜測(cè)，獲得命題的推廣和引伸的原動(dòng)力教師新授等腰梯形的性質(zhì)“同一底上兩個(gè)底角相等”時(shí)，完全可以啟發(fā)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)等腰三角形性質(zhì)時(shí)的方法：先讓學(xué)生觀察等腰梯形的兩個(gè)底角，后聯(lián)想學(xué)習(xí)等腰三角形的情形，用量角

8、器測(cè)量、對(duì)折重合等方法，從而通過“類比 - 猜想”來得到等腰梯形“兩個(gè)底角相等”的性質(zhì)。又如，學(xué)生學(xué)習(xí)“等腰梯形中位線定理”時(shí)，只要讓學(xué)生操作，馬上會(huì)回憶起原先學(xué)習(xí)“三角形中位線定理”時(shí)的情形，從而促進(jìn)新定理的學(xué)習(xí)。 教學(xué)中讓學(xué)生在“手腦并用”中體會(huì)“觀察 - 聯(lián)想 - 類比 - 猜想”的思想方法，無疑是一種行之有效的方法！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如能靈活運(yùn)用類比的方法，就能溝通知識(shí)間的聯(lián)系，使思維更加廣闊。此類猜想的基本思路是利用已有的命題，通過改變命題中的部分條件從而得到新的命題，使命題的適用范圍變廣當(dāng)然，最后也要嚴(yán)格證明猜想的正確性4、直觀性方法猜想直觀猜想是指在整體觀察和細(xì)部考察的結(jié)合中發(fā)現(xiàn)事物的

9、內(nèi)在規(guī)律，作出直覺判斷和猜想 初中數(shù)學(xué)中的許多概念、性質(zhì)、判定等知識(shí)，對(duì)于正處于由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化的初中生而言是比較抽象的。讓它們通過觀察具體圖形或?qū)嵨锬Ｐ秃蛣?dòng)手實(shí)驗(yàn)，根據(jù)自己的觀察實(shí)驗(yàn)，在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出合理的猜想，對(duì)加深學(xué)生認(rèn)知與促進(jìn)學(xué)生的直覺思維是相當(dāng)有益處的！例如：三角形的內(nèi)角和是180度。這是一個(gè)十分重要的概念。在教學(xué)中我讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，自己尋求：三角形內(nèi)角和的答案。這時(shí)有的學(xué)生將三角形的三個(gè)角分別剪下來，拼在一起是一個(gè)平角；有的學(xué)生剪下三角形的兩個(gè)角后，再與第三個(gè)角拼在一起同樣可以得出結(jié)論；還有的學(xué)生則用量角器分別量出每個(gè)角的度數(shù)，把三個(gè)角度數(shù)相加。例如初三復(fù)習(xí)課上，

10、教師向?qū)W生給出了這樣一道習(xí)題： 設(shè) A 、 B 、 C 、 D 是四個(gè)居民小區(qū)，現(xiàn)要在四邊形 ABCD 內(nèi)部建一個(gè)購(gòu)物中心，試問應(yīng)把購(gòu)物中心健在何處，能使四個(gè)居民小區(qū)到購(gòu)物中心的距離總和最?。?因?yàn)樗倪呅?ABCD 內(nèi)有無數(shù)的點(diǎn) , 學(xué)生很難找到確切的解決途徑。學(xué)生沒有通過動(dòng)手操作 , 是很難想到從特殊的點(diǎn)出發(fā) , 再進(jìn)行猜想 , 然后再加以論證的而當(dāng)學(xué)生拿出筆和尺來，隨意地在四邊形內(nèi)畫一畫時(shí)，還是能夠找到“對(duì)角線的交點(diǎn) P ”這一比較特殊的點(diǎn)的。隨后，教師繼續(xù)提問：為什么這一交點(diǎn)肯定是到 A 、 B 、 C 、 D 這四點(diǎn)距離之和最小的呢？然后進(jìn)一步讓學(xué)生通過動(dòng)手畫圖，在圈圈點(diǎn)點(diǎn)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

11、在四邊形 ABCD 內(nèi)部的點(diǎn)可以分為兩類。一類是在線段 AC 與 BD 上的；一類是在四個(gè)小三角形內(nèi)的。逐漸的，在一次又一次的畫圖中，進(jìn)一步證實(shí)了只有 P 點(diǎn)才是符合要求的點(diǎn)。同時(shí)在測(cè)量中也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)可以利用“三角形兩邊之和大于第三邊”來進(jìn)行嚴(yán)密地論證。通過這樣的親身實(shí)踐，學(xué)生對(duì)知識(shí)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性記憶。在猜想中探索出正確的答案，在實(shí)踐中驗(yàn)證了猜想的準(zhǔn)確性，從而加深了對(duì)知識(shí)發(fā)生過程的理解。上面的例子是在把握數(shù)學(xué)中較難理解的問題的特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，通過直觀、直感獲得數(shù)學(xué)猜想，從而使問題迎刃而解數(shù)學(xué)猜想的方法有很多這些猜想之間既有聯(lián)系又有相對(duì)的獨(dú)立在學(xué)習(xí)中要靈活的運(yùn)用，才能有利于學(xué)習(xí)二、猜想在數(shù)學(xué)學(xué)

12、習(xí)中的作用1、有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣興趣是學(xué)習(xí)的最好老師，當(dāng)一個(gè)學(xué)生對(duì)某個(gè)學(xué)科、問題發(fā)生興趣時(shí)，他就會(huì)積極思考，想方設(shè)法去解決所遇到的問題而猜想就能調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性因?yàn)椴孪胧菑膶W(xué)生所熟悉的知識(shí)或事實(shí)出發(fā)，這就降低了問題的難度，從而具有較好的可接受性恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用猜想，很容易使學(xué)生的興趣放到被研究的事物上來比如在講解韋達(dá)定理時(shí)，老師可讓學(xué)生每人寫出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，只要學(xué)生說出這個(gè)方程的兩個(gè)根，老師就能馬上“猜出”這個(gè)方程這樣學(xué)生就會(huì)迫不及待的問有什么“訣竅”，很顯然就把學(xué)生的興趣引到韋達(dá)定理的學(xué)習(xí)上來2、有利于更快捷地尋找解題思路由于猜想具有整體性、直接性、簡(jiǎn)敏性和跳躍性的特點(diǎn)

13、，它可以省去若干轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，忽略問題的細(xì)部，抓住問題最重要、最突出的特征直捕實(shí)質(zhì)，因此思維的速度大大加快，這便增加了對(duì)同一問題的思考時(shí)間，從而有利于篩選出最佳解題方案 3、有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往只注重知識(shí)的表層，或是死記硬背，這樣在運(yùn)用知識(shí)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)“我知道這個(gè)內(nèi)容，但就是不會(huì)用它來解題”的問題所以學(xué)生只有真正理解、掌握知識(shí)才能去靈活運(yùn)用它而猜想在這里能起到事半功倍的效果比如在學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，學(xué)生先自己去猜想他們大概有幾種關(guān)系，再討論各自的猜想依據(jù)，最后與課本內(nèi)容相對(duì)照，這樣就能加深印象、透徹的理解和掌握知識(shí)了4、有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)

14、造性思維和創(chuàng)新意識(shí)猜想是創(chuàng)造性思維的重要組成部分綜觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，一種理論、規(guī)律的獲得，在最初的表現(xiàn)形式上，只能是一些閃光的猜想，如著名的費(fèi)爾馬定理、哥德巴赫猜想等等牛頓曾說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，由此可見猜想的重要比如在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)后，根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，可讓學(xué)生對(duì)照指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)“猜想”對(duì)數(shù)是否也有運(yùn)算性質(zhì)，并通過對(duì)一些特殊的對(duì)數(shù)值（如lg1,lg2,lg9,lg10）之間的關(guān)系來歸納對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，讓學(xué)生在類比、歸納中得出運(yùn)算性質(zhì)，有利于提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí)5、有利于掌握研究數(shù)學(xué)的一般方法考察科學(xué)家研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，一般是“提出問題作出猜想檢驗(yàn)猜想得出結(jié)論

15、”在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，使他們自己去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，這不但能使他們體會(huì)到研究方法，還能充分調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，從而使他們學(xué)得生動(dòng)活潑，提高學(xué)習(xí)效果三、結(jié)束語猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，猜想的功能是強(qiáng)大的它可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，使他們不斷探索、收獲；它能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，使他們更為透徹的理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)；它又能開拓學(xué)生的思維，使他們能更為快捷地尋找解題思路在中學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生營(yíng)造一種寬松的、和諧的猜想氛圍，并鼓勵(lì)學(xué)生積極尋找猜想的依據(jù)，探索猜想的合理性和準(zhǔn)確性，通過自己的實(shí)踐操作檢驗(yàn)猜想的真?zhèn)芜@將有效地提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，使他們更聰明，更富有創(chuàng)新精神參考文獻(xiàn)：