初中數(shù)學(xué)思想方法大全

1、一、宏觀型思想方法數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的靈魂。（一）、轉(zhuǎn)化（化歸） 思想 解決數(shù)學(xué)問題就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程，把問題進(jìn)行變換，使之化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化生疏 為熟悉，變未知為已知，從而使問題得以解決。不是對(duì)原來的問題直接解答，而是想方設(shè)法對(duì)它進(jìn)行變形，直到把它轉(zhuǎn)化成某個(gè)（某幾個(gè)）已 經(jīng)解決了的問題為止。 通過轉(zhuǎn)化可使原條件中隱含的因素顯露出來， 從而縮短已知條件和結(jié)論 之間的距離，找出它們之間內(nèi)在的聯(lián)系，以便應(yīng)用有關(guān)方法將問題解決?！稗D(zhuǎn)化”的思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想。 數(shù)學(xué)解題過程的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化過程， 具體的說

2、， 就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)” ，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知” ，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體” ， 把“復(fù)雜問題”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單問題” ，把“高次”轉(zhuǎn)化為“低次” ，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中使問題 得到解決?？蛇\(yùn)用聯(lián)想類比實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、利用“換元”、“添線”、消元法，配方法，進(jìn)行構(gòu)造變形實(shí) 現(xiàn)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。一般轉(zhuǎn)化為特殊，有些代數(shù)問題，通過構(gòu)造圖形，化抽象為具 體，借助直觀啟發(fā)思維， 轉(zhuǎn)化為易解的幾何問題。 有些不易解決的幾何題通過輔助線轉(zhuǎn)化為代 數(shù)三角的知識(shí)來證明， 有些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的問題， 可以簡(jiǎn)化題中某一條件， 甚至?xí)簳r(shí)撇開不顧， 先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化的問題， 這種簡(jiǎn)化題對(duì)于證明原題常常能起到引

3、路的作用。 把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為 數(shù)學(xué)問題。結(jié)合解題進(jìn)行化歸思想方法的訓(xùn)練的做法：a、化繁為簡(jiǎn)；b、化高維為低維；c、化抽象為具體；d、化非規(guī)范性問題為規(guī)范性問題；e、化數(shù)為形；f、化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題； g、化綜合為單一；h、化一般為特殊。有加減法的轉(zhuǎn)化，乘除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開方的轉(zhuǎn)化，添輔助線，設(shè)輔助元等等都是實(shí)現(xiàn) 轉(zhuǎn)化的具體手段。因此，首先要認(rèn)識(shí)到常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法 應(yīng)用：A將未知向已知轉(zhuǎn)化；B將陌生向熟知轉(zhuǎn)化；C方程之間的轉(zhuǎn)化；D平面圖形間的轉(zhuǎn)化； E空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化；F統(tǒng)計(jì)圖之間的相互轉(zhuǎn)化。 例子：減法轉(zhuǎn)化成加法（減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)） ；除法轉(zhuǎn)化成

4、乘法（除以一個(gè) 不等于零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)） ；多項(xiàng)式的先化簡(jiǎn)再代入求值；單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式可化歸 為有理數(shù)乘法和同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算； 單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式都可以化歸為單項(xiàng)式 乘單項(xiàng)式的運(yùn)算； 將求負(fù)數(shù)的立方根轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的相反數(shù)； 實(shí)數(shù)近似運(yùn)算中據(jù)問題 需要取近似值， 從而轉(zhuǎn)化為有理數(shù)計(jì)算； 將異分母分式的加減轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減； 將分 式的除法轉(zhuǎn)化成分式的乘法； 將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解； 將分子的次數(shù)不低于分母次數(shù) 的分式用帶余除法轉(zhuǎn)化為整式部分和分式部分的和； 將方程的復(fù)雜形式化為最簡(jiǎn)形式； 通過立 方程把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題； 通過解方程把未知轉(zhuǎn)化為已知

5、； 把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元 一次方程求解；把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程從而求解； 通過轉(zhuǎn)化為解方程實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)二次三項(xiàng)式的分解、 方程中字母系數(shù)的確定； 角度關(guān)系的證 明和計(jì)算； 平行線的性質(zhì)和判定； 把幾何問題向平行線等簡(jiǎn)單的熟悉的基本圖形轉(zhuǎn)化； 特殊化 （特殊值法、特殊位置、設(shè)項(xiàng)、幾何中添輔助線等） ；圖形的變換（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相 似變換）；解斜三角形（多邊形）時(shí)將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形；（二）、數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系（ “數(shù)”）和空間形式（“形”），而“數(shù)”和“形”是 相互聯(lián)系、相互滲透的，一定條件下也是可以互相轉(zhuǎn)化的，因

6、此，在解決問題時(shí)，常需把同一 問題的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來考查， 利用數(shù)的抽象嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀表意， 把抽象思維和 形象思維結(jié)合起來， 把數(shù)量關(guān)系問題通過圖形性質(zhì)進(jìn)行研究， 或者把圖形性質(zhì)問題通過數(shù)量關(guān) 系進(jìn)行研究，從而形成問題解決的一種重要數(shù)學(xué)思想（以數(shù)解形，以形助數(shù)） 。 數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀體現(xiàn)，把數(shù)和形結(jié)合起來，從而把隱蔽的問題明朗化、抽象 的問題直觀化、 復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化， 化難為易，達(dá)到快速、形象、簡(jiǎn)單易行地解決問題的目的。 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中非常廣泛， 它比較適合處理那些數(shù)量關(guān)系與圖形位置關(guān)系可以互相 轉(zhuǎn)化的問題。應(yīng)用：A利用數(shù)軸確定實(shí)數(shù)的范圍；B幾何圖形與代數(shù)

7、恒等式（或不等式）；C數(shù)與形相結(jié)合在 平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用；D利用函數(shù)圖像解決方程、不等式問題；E數(shù)與形相結(jié)合在函數(shù)中 的應(yīng)用；F構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題 例如：在數(shù)軸上表示數(shù)；用數(shù)軸描述有理數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算（相反數(shù)、絕對(duì)值等概念，比較 有理數(shù)的大小， 利用數(shù)軸探究有理數(shù)的加法法則、 乘法法則等）；在數(shù)軸上表示不等式的解集； 代數(shù)的不等式（組） 、方程和方程組，幾何的幾乎所有內(nèi)容；函數(shù)方面（建立直角坐標(biāo)系使點(diǎn) 與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系， 從而具備了數(shù)形轉(zhuǎn)化的重要工具； 從解析式和圖像兩 個(gè)方面來研究函數(shù)， 能更清晰地把握函數(shù)的性質(zhì)； 用圖像解決代數(shù)問題 如解不等式、 解方程 和用

8、代數(shù)解決幾何問題如通過解析式確定拋物線的對(duì)稱軸、開口方向等 ）； 運(yùn)用代數(shù)、 三角比知識(shí)通過數(shù)量關(guān)系的討論去處理幾何圖形的問題； 能運(yùn)用幾何、 三角比知識(shí) 通過對(duì)圖形性質(zhì)的研究去解決數(shù)量關(guān)系的問題。數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 函 數(shù)式與圖像之間的關(guān)系。線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數(shù)來反映形。解三角形，求角度和邊長(zhǎng)，弓I入了三角函數(shù)，這是用代數(shù)方法解決幾何問題?！皥A”這一 章中，賀的定義，點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等都是化為數(shù)量關(guān)系來處理的。統(tǒng) 計(jì)初步中統(tǒng)計(jì)的第二種方法是繪制統(tǒng)計(jì)圖表，用這些圖表的反映數(shù)據(jù)的分情況，發(fā)展趨勢(shì)等

9、。 實(shí)際上就是通過“形”來反映數(shù)據(jù)扮布情況，發(fā)展趨勢(shì)等。實(shí)際上就是通過“形”來反映數(shù)的 特征，這是數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際中的直接應(yīng)用。（三）、分類討論思想 由于題目的約束較弱（條件趨一般）或圖形位置的變化，常常使同一問題具有多種形態(tài)，因而 有必要考察全面（所有不同情況） ，才能把握問題的實(shí)質(zhì)，此時(shí)應(yīng)當(dāng)進(jìn)行適當(dāng)分類，就每一種 情形研究討論結(jié)論的真理性（正確性） 。是化整為零、 分別對(duì)待、 各個(gè)擊破的思維策略在數(shù)學(xué)解題中的體現(xiàn)。 當(dāng)被研究的問題包含多種 情況，又不能一概而論時(shí)，必須按出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論。 在具體的求解過程中，整體問題轉(zhuǎn)化為部分問題后，事實(shí)上增加了題設(shè)條件

10、。把一個(gè)復(fù)雜的問題分成若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問題來處理。 分類有不同方法，但必須按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)分類，且做到不重不漏， “討論務(wù)盡”。 分類討論思想是指對(duì)一個(gè)問題出現(xiàn)的情況進(jìn)行全面分析思考， 將其區(qū)分為不同種類， 克服思維 的片面性，防止漏解。即根據(jù)題目的要求，將條件分為不重復(fù)、不遺漏的幾種情況，并逐一列 出它們的解答。從整體上看，中學(xué)數(shù)學(xué)分代數(shù)、幾何兩大類，然后采用不同方法進(jìn)行研究，就 是分類思想的體現(xiàn)，從具體內(nèi)容上看，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等 等，學(xué)生要按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類，掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。當(dāng)面臨的問題不宜用一種方法處理或同一種形式敘述時(shí)， 就

11、把問題按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn) 分為若干類，然后逐類進(jìn)行討論，再把這幾類的結(jié)論匯總，得出問題的答案，這種解決問題的 思想方法就是分類討論的思想方法。分類討論的思想方法的實(shí)質(zhì)是把問題“分而治之，各個(gè)擊破” 。其一般規(guī)則及步驟是：（1） 確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；（ 2）恰當(dāng)?shù)貙?duì)全體對(duì)象進(jìn)行分類，按照標(biāo)準(zhǔn)對(duì)分類做到“既不重復(fù)又不遺 漏” ； （ 3）逐類討論，按一定的層次討論，逐級(jí)進(jìn)行；（ 4）綜合概括小節(jié)，歸納得出結(jié)論。應(yīng)用：A對(duì)問題的題設(shè)條件需分類討論；B對(duì)求解過程中不便統(tǒng)一表述的問題進(jìn)行分類討論；C從圖像中獲取信息進(jìn)行分類討論；D對(duì)圖形的位置、類型的分類討論；E對(duì)字母、未知數(shù)的取 值范圍分不同情況討論。

12、例子：有理數(shù)的分類；絕對(duì)值的討論；有理數(shù)的加法法則、乘法法則、有理數(shù)乘法的符號(hào)法則、 乘方的符號(hào)法則；整式分類；研究平方根、立方根時(shí)，把數(shù)按正數(shù)、0、負(fù)數(shù)分類；按定義或按大小對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類；（四八數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)模型指根據(jù)所研究的問題的一些屬性、關(guān)系，用形式化的數(shù)學(xué)語言（概念、符號(hào)、語言等） 表示的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（如多項(xiàng)式、方程式、不等式、函數(shù)式以及圖形等） 。數(shù)學(xué)模型方法，指先根據(jù)研究的問題建立數(shù)學(xué)模型， 再通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的探索進(jìn)而達(dá)到解題目 的的方法?？?數(shù) 用 法此法多用于解決一些實(shí)際問題或較繁瑣的數(shù)學(xué)問題 所謂數(shù)學(xué)模型，是指用數(shù)學(xué)語言把實(shí)際問題概 地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，把實(shí)際應(yīng)用題中

13、的等 關(guān)系構(gòu)建在方程組的模式，或其他模式。就是找到 種解決問題的數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀事物的 間形式和數(shù)量關(guān)系的一種反映。它可以是方程、函 或其他數(shù)學(xué)式子，也可以是一個(gè)幾何基本圖形。利 數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法就是數(shù)學(xué)模型方 它的基本步驟如下圖所示：數(shù)學(xué)中的建模思想是解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題用得最多的思想方法之一，初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)模型有：方程模型，函數(shù)模型，幾何模型，三角模型，不等式模型和統(tǒng)計(jì)模型等等。應(yīng)用：A建立幾何模型（合理、正確地畫出幾何圖形）；B建立方程、函數(shù)模型解決實(shí)際問題； C在解決實(shí)際問題（如物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律、銷售問題、利潤(rùn)問題、方案設(shè)計(jì)、幾何圖形變化問題等） 時(shí)，先抽象出一次

14、函數(shù)或二次函數(shù)關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型（即建模） ，再用函數(shù)的知識(shí)來解決這些 實(shí)際問題。1. 方程思想在解決問題時(shí)，通過已知量和未知量的聯(lián)系，建立起方程或方程組，通過解方程或方程組，求 出未知量的數(shù)值，從而使問題得以解決，這種通過立方程（組）去溝通已知和未知的聯(lián)系的數(shù) 學(xué)思想，就稱為方程思想。在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，從題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（或方程組），再通過解方程（組）使問題獲得解決。求值問題，當(dāng)未知數(shù)不能直接求出時(shí)，一般需設(shè)出未知數(shù)（x），并建立方程，用解方程的方法 去求結(jié)果，這是解題中常見的具有導(dǎo)向作用的一種思想。分析問題中的數(shù)量關(guān)系

15、，尋找已知量與未知量之間的相等關(guān)系。通過適當(dāng)設(shè)元，利用已知 條件、公式、定理中的已知結(jié)論來構(gòu)造方程（組），從而解決問題的一種思維方式。方程思想是把問題中的量劃分為已知量和未知量，并把這些量用字母表示（習(xí)慣上用x表示未知量），將問題中的條件，量與量的關(guān)系列為方程或不等式，通過解方程或不等式，或 利用方程的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)使問題得以解決。例如：立方程（組）解應(yīng)用題；利用判別式和韋達(dá)定理確定一元二次方程中待定系數(shù)（字母系 數(shù)）；二次三項(xiàng)式的因式分解；利用韋達(dá)定理解形如韋達(dá)定理的二元二次方程組；2. 函數(shù)思想將所研究的問題納入某變化過程中加以考查， 從中抽象出變量之間特定的函數(shù)關(guān)系， 然后利用 函數(shù)

16、的性質(zhì)去解決問題，從而得到實(shí)際問題的研究結(jié)果，這種研究問題的思維策略就是函數(shù)思 想。函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用運(yùn)動(dòng)變化對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)去研究?jī)蓚€(gè)變量間的相互依賴關(guān)系。辯證唯物主義認(rèn)為， 世界上一切事物都是處在運(yùn)動(dòng)、 變化和發(fā)展的過程中， 這就要求我們 教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法。 函數(shù)所揭示的是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 通俗的講就是一個(gè)量 的變化引起了另一個(gè)量的變化。 在數(shù)學(xué)中總是設(shè)法將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系用解析式表示出來， 這樣就 能充分運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、 方法來解決有關(guān)的問題。 雖然函數(shù)知識(shí)安排在初中后階段學(xué)習(xí)， 但函 數(shù)思想已經(jīng)滲透到七、 八年級(jí)數(shù)學(xué)教材的各個(gè)內(nèi)容之中。 例如學(xué)習(xí)進(jìn)行求代數(shù)式的值的時(shí)， 通 過強(qiáng)調(diào)

17、解題的第一步“當(dāng)時(shí)”的依據(jù)，滲透函數(shù)的思想方法一一字母每取一個(gè)值，代數(shù)式 就有唯一確定的值。 函數(shù)是將原來問題中的一些量轉(zhuǎn)化為變量和常量， 并把這些量用字母 （習(xí) 慣用x、y）表示，把量與量的關(guān)系抽象概括為函數(shù)模型，用運(yùn)動(dòng)、變化和對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)，通過 對(duì)函數(shù)模型的研究利用函數(shù)的性質(zhì)， 使問題獲得解決。 函數(shù)是數(shù)學(xué)最重要的概念之一。 它是量 的側(cè)面反映著現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、 變化及相互聯(lián)系、 相互制約的關(guān)系。 在初中階段能利用解析式 表示正、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。在日常生活中，還存在著函數(shù)關(guān)系，它們多數(shù)是用圖像表示 的。 應(yīng)用：求最大（小）值；解決有關(guān)方程、不等式、圓的問題；解決大量的實(shí)際問題；（五）、

18、抽象和概括思維方法 從所研究的問題中排開那些與轉(zhuǎn)化無關(guān)的表面因素， 只抽取出與研究有關(guān)， 直接作用于轉(zhuǎn)化機(jī) 制的本質(zhì)屬性。解題通常不能一步到位， 因而伴隨解題的抽象活動(dòng)也必須經(jīng)過多步才能完成。 解題過程倘若缺 少抽象概括方法的引導(dǎo)， 將會(huì)出現(xiàn)偏離解題方向的現(xiàn)象， 進(jìn)而從事無效勞動(dòng)， 甚至由于一些非 本質(zhì)屬性的干擾，難以建立解題思路。抽象：是人們?cè)诟行哉J(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，透過現(xiàn)象，深入里層，抽取出事物的本質(zhì)特征、內(nèi)部聯(lián)系 和規(guī)律，從而達(dá)到理性認(rèn)識(shí)的思維方法。抽象的過程離不開比較、歸納、分析、綜合，要經(jīng)過 “去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的加工制作過程，排除那些無關(guān)的或非本質(zhì)的 次要因素，抽取

19、出研究對(duì)象的重要特征、本質(zhì)因素、普遍規(guī)律與因果關(guān)系加以認(rèn)識(shí)，從而為解 答問題提供某種科學(xué)依據(jù)或一般原理。概括：即把抽象出來的若干事物的共同屬性歸納出來進(jìn)行考察的思維方法。 概括是人們追求普 遍性的認(rèn)識(shí)方式，是一種由個(gè)別到一般的思維方法。概括是以抽象為基礎(chǔ)，抽象度愈高，則概 括性愈強(qiáng)，高度的概括對(duì)事物的理解更具有一般性， 則獲得的理論或方法就有更普遍的指導(dǎo)性。 抽象和概括是密不可分的。抽象可以僅涉及一個(gè)對(duì)象，而概括則涉及一類對(duì)象。 從不同角度考察同一事物會(huì)得到不同性質(zhì)的抽象， 即不同的屬性。 而概括則必須從多個(gè)對(duì)象的 考察中尋找共同相通的性質(zhì)。數(shù)學(xué)思維側(cè)重于分析、提練、概括思維則側(cè)重于歸納、綜合

20、。數(shù) 學(xué)中的每一個(gè)概念都是對(duì)一類事物的多個(gè)對(duì)象通過觀察和分析，抽象出每個(gè)對(duì)象的各種屬性， 再通過歸納、概括出各個(gè)對(duì)象的共同屬性而形成的。在解決數(shù)學(xué)問題方面，得出數(shù)學(xué)的模型、 模式，總結(jié)出解題的規(guī)律和方法，都是通過分析、比較、抽象、歸納等思維環(huán)節(jié)，最后進(jìn)行理 論概括的結(jié)果 幾何圖形都是由現(xiàn)實(shí)事物去其物理性質(zhì)，而只考慮其形狀、大小、位置抽象出來的，這也是解 決現(xiàn)實(shí)生活中問題的一個(gè)途徑。（六）、整體思想將問題看成一個(gè)完整的整體， 把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)改造上， 從整體上 把握問題的內(nèi)容和解題的方向和策略。整體思想注重問題的整體結(jié)構(gòu)，將題中的某些元素或組合看成一個(gè)整體，從而化繁為簡(jiǎn)，

21、 化難為易。把問題放到整體結(jié)構(gòu)中去考慮， 就可以開拓解題思路，優(yōu)化解題過程。從整體觀點(diǎn)出發(fā)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問題進(jìn)行整體 處理的解題思想方法?；?jiǎn)：1/ (a+2)( a+3) +1/ (a+3)( a+4) +/1 (a+4)( a+5)時(shí)按常規(guī)方法進(jìn)行通分， 顯然最簡(jiǎn)公分母比較復(fù)雜，計(jì)算量較大。若從整體觀察分式的特征，可逆用分式加減法法則及 規(guī)律公式1/n (n+1) =1/n-1/ (n+1)，將原分式分離變形。即原式=1/ (a +2 ) -1/ (a+3) +1/ (a+3) -1/ (a+4) +1/ (a+4) -1/ (a+5) =1/ (a+

22、2) -1/ (a+5) =3/ (a+2)( a+5) 例子：求代數(shù)式的值；乘法公式中的字母可以表示代數(shù)式；系統(tǒng)化系統(tǒng)化，就是將各種有關(guān)材料編成順序,納入一定體系之中進(jìn)行研究的一種思維方法。它是與比較、分類、抽象、概括、具體化等思維方法緊密聯(lián)系在一起的。運(yùn)用系統(tǒng)化方法，有助于從整體上把握事物的內(nèi)在聯(lián)系，系統(tǒng)、深刻地掌握知識(shí)；有助于抓住核心，了解來龍去脈。例如, 在學(xué)習(xí)了兩角和與差的三角函數(shù)的公式，倍角、半角的三角函數(shù)公式，萬能公式以及三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式之后，應(yīng)及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把這許多公式的內(nèi)在聯(lián)系和推導(dǎo)的線索用繪 制圖表的方法進(jìn)行系統(tǒng)的整理， 這將大大有助于學(xué)生理解、記憶和掌握這些

23、公式，這是學(xué)好三 角函數(shù)公式的關(guān)鍵。又如，在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)容之后，也應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生把這三種圓錐曲線的幾何條 件(定義)、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、性質(zhì)制成圖表，進(jìn)行比較，并形成系統(tǒng)化的知識(shí)。二、邏輯型思想方法(一)、演繹推理演繹推理是從一般原理推出個(gè)別結(jié)論的思維方法。即一般到特殊的推理方法。其特點(diǎn)是：在推理的形式合乎邏輯的條件下，運(yùn)用演繹法從真實(shí)的前提一定能推出真實(shí)的結(jié)論。演繹推理是邏 輯證明的工具，整個(gè)歐幾里得幾何就是一個(gè)演繹推理系統(tǒng)，19世紀(jì)數(shù)學(xué)家們由對(duì)歐幾里得第五公設(shè)的獨(dú)立性的試證導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)非歐幾何。三段論是演繹推理的主要形式，所謂“三段論”就 是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成。例如，

24、凡同邊數(shù)的正多邊形都是相似的。這兩個(gè)正多邊形的邊數(shù)是相同的，所以這兩個(gè)正多邊 形也是相似的。這里有三個(gè)判斷，第一個(gè)判斷提供了一般的原理原則，叫做三段論的大前提； 第二個(gè)判斷指出了一個(gè)特殊場(chǎng)合的情況， 叫做小前提；聯(lián)合這兩個(gè)判斷，說明一般原則和特殊 情況間的聯(lián)系，因而得出的第三個(gè)判斷，叫做結(jié)論。公理化推理的邏輯快樂(二八歸納與猜想在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，從特殊的、簡(jiǎn)單的、局部的例子出發(fā)，通過觀察類比聯(lián)想進(jìn)而猜想結(jié)果的 思想方法。通過對(duì)一系列特殊問題的研究，概括出一類問題的一般性規(guī)律的思維方法。數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理 兩種。不完全歸納

25、推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。 完全歸納推理是在考察了一類事物 的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法， 在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛 的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在 n= 1(或nO)時(shí)成立，這 是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在 n = k時(shí)命題成立，再證明n = k + 1時(shí)命題也成立，這是無限 遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般， 實(shí)際上它使命題的正確性 突破了有限，達(dá)到無限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成

26、了這兩步，就可以斷定“對(duì)任 何自然數(shù)（或nn0且門 N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸 納的，屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是 n= k+1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)， 注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小， 最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù) n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、 數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。（三八比較的思維方法、比較法是數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)具有奠基作用的思維方法，是使用其他思想方法的前提。它不遵循邏輯思維的規(guī)律，但是卻能獲得研究發(fā)現(xiàn)，是確定

27、解題方法的導(dǎo)火索。使用比較法，首先要有一個(gè)比較的標(biāo)準(zhǔn)，如在幾何問題中，首先必須比較若干個(gè)基本圖形的異 同點(diǎn)，搞清其區(qū)別與聯(lián)系，觀察出“異中之同，同中之異”，明確問題的特征、轉(zhuǎn)化方式等標(biāo) 準(zhǔn)，才能發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化途徑，再選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法。自然界雖然千變?nèi)f化，事物千差萬別，但每一事物都不是孤立的存在著， 而是在同其他事物的 相互聯(lián)系中表現(xiàn)出自己的許多屬性。比較是一種判斷性的思維活動(dòng)，是確定所研究的對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)的思維方法。應(yīng)用：A概念的比較；B從不同圖形中尋找相同進(jìn)行比較；C將問題延伸，從中尋找規(guī)律進(jìn)行 比較。例子：同類項(xiàng)；通過角的形態(tài)的比較，形成對(duì)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、“三線八角”的鮮明對(duì)照，在區(qū)別上

28、明鑒，在聯(lián)系上溝通；1. 類比方法據(jù)事物與事物之間在某些方面（如特征、屬性、關(guān)系）的相似之處進(jìn)行比較，通過聯(lián)想和預(yù)測(cè)， 推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨?，從而去建立猜想和發(fā)現(xiàn)真理的方法。通過類比可發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，禾I用已有知識(shí)來認(rèn)識(shí)新知識(shí)和加深理解新知識(shí)。 所謂類比，就是兩個(gè)對(duì)象都有某些相同的屬性，并且其中一個(gè)對(duì)象還有另外的某些屬性作為前 提，進(jìn)而判斷出另一個(gè)對(duì)象也有這些屬性的思維形式。 一些數(shù)學(xué)問題的解決思路常常是相通的， 類比思想可以教會(huì)學(xué)生由此及彼， 靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。例如：合并同類項(xiàng)與合并同類二次格式 類比；二次根式的和相乘與多項(xiàng)式乘法類比； 通過與分?jǐn)?shù)的類比來研究分式的概念

29、、 基本性質(zhì)、 通分、約分、運(yùn)算等；由假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)繼而化為整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分的和，聯(lián)想到在分子 的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式中可以用帶余除法將分式轉(zhuǎn)化為整式部分和分式部分的和；通過與等式基本性質(zhì)的類比來學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì)；學(xué)習(xí)一元一次不等式的解法，應(yīng)將其與一元一次方程的解法進(jìn)行類比；2. 對(duì)比方法把兩個(gè)幾何圖形的特征加以對(duì)比，才能發(fā)現(xiàn)它們的區(qū)別和聯(lián)系才能深刻地理解，才能識(shí)別。例如：線段的中點(diǎn)和角平分線的區(qū)別和聯(lián)系；（四八 舉反例證明假命題的方法、反駁反駁是用已知為真的命題去揭露或證實(shí)另一個(gè)命題的虛假性的邏輯方法。反駁與證明不同，證明是確定某一判斷的真實(shí)性，反駁是確定對(duì)方論題的虛假性或不能成

30、立；證明的作用在于探求真理， 闡明真理，反駁的作用則在于揭露謬誤，捍衛(wèi)真理。反駁與證明又是密切聯(lián)系的，如果確定了 一個(gè)判斷的真實(shí)性，同時(shí)也就意味著確定了與之相矛盾的判斷的虛假性。反之，如果確定了一個(gè)判斷的虛假性，同時(shí)也就意味著確定了與之相矛盾判斷的真實(shí)性。所以，證明與反駁是相輔相成的，它們都是人們探索真理、發(fā)展真理不可缺少的思維形式和邏輯方法。常用的反駁法有以下三種：構(gòu)造一反例。即舉出一個(gè)例子，說明它具備命題的全部條件，但不具有命題的結(jié)論。假定命題成立，推出荒謬結(jié)果，從而證明了該命題是虛假的。例如，證明“零可以作除數(shù)”是錯(cuò)誤的。證明：因?yàn)?2-2=3-3 即 2（1-1）=3（1-1）若零可以

31、作除數(shù)，則推出2=3這一結(jié)果，顯然荒謬。所以，“零可以作除數(shù)”是錯(cuò)誤的。 論證與該命題相矛盾的命題是真實(shí)的，根據(jù)矛盾律則推出原命題是虛假的 數(shù)學(xué)中，要認(rèn)定一個(gè)命題是真命題，必須就一般情況給出嚴(yán)格的推理證明， 而要認(rèn)定一個(gè)命題 是假命題，只需舉出一個(gè)反例就可以了。舉反例是證明一個(gè)命題是假命題的一般方法。反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)， 經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法 可以分為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反面不只一種）。用反證法證 明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：（1）

32、反設(shè)； 歸謬；（3）結(jié)論。反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的， 例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小） 于/不大（?。┯?；都是/不都是；至少有一個(gè)/ 一個(gè)也沒有；至少有n個(gè)/至多有（n 一 1）個(gè)；至 多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一 /至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式， 但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為 無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知 的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。與前面所講的方法不同，反證法是屬于“

33、間接證明法” 一類，是從反面的角度思考問題的 證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（Hadamard）對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反 證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛 盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個(gè)互 相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中

34、的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說“ A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證 法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有 一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定 的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能 同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理 論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定-推理一否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正 確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)

35、為反證法的基本思想就是 “否定之否定”。 應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 -推導(dǎo)出矛盾 -結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題 時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種， 那么只要將這種情況駁倒了就可以， 這種反證法 又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推 斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法” 。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，

36、 牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。一般來 講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式” 、“至少”或“至多” 、“唯一”、 “無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證明難以下手 的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。（五）、“從特殊到一般” 認(rèn)識(shí)規(guī)律又“從一般到特殊”運(yùn)用知識(shí)的方法、 在由幾個(gè)簡(jiǎn)單的、個(gè)別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律、性質(zhì)或公式，再由一般的規(guī)律、 性質(zhì)或公式去得出簡(jiǎn)單的、 個(gè)別的、特殊的情況。 如公式推導(dǎo)、圖形性質(zhì)等。 例子：研究?jī)绲倪\(yùn)算規(guī)律；從具體例子，并歸納二次根式

37、的性質(zhì)；運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二 次根式；（六）、分析法和綜合法 分析法：執(zhí)果索因，從未知看已知，逐步推向已知。從要證的結(jié)論出發(fā)，反過來找出使結(jié)論成 立的條件，每一步的目的明確，容易找到證題思路，但表達(dá)啰嗦。綜合法：由因?qū)Ч?，從已知看未知，逐步推向未知。從已知條件出發(fā)，逐步向結(jié)論推進(jìn)，表達(dá) 直截了當(dāng)、簡(jiǎn)單清晰，但有時(shí)不容易把握方向，找不準(zhǔn)證題思路。所以，研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，一般總是先用分析法去想，在分析的基礎(chǔ)上用綜合法寫出來。 例如：立方程解應(yīng)用題；三、操作技巧型思想方法數(shù)學(xué)基本方法是做好題、迅速做題、準(zhǔn)確做題的關(guān)鍵。1. 分解因式法因式分解， 就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。 因式分解是

38、恒等變形的基礎(chǔ)， 它作為 數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分 解的方法有許多， 除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、 公式法、分組分解法、 十字相乘法等外， 還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。是進(jìn)行分式運(yùn)算的關(guān)鍵（通分、約分、去分母時(shí)一般都需先分解因式） ；解一元二次方程、二 元二次方程組；2. 通分 分式運(yùn)算；3. 約分 分式運(yùn)算；4. 去分母 分式運(yùn)算；5. 配方法 配方，就是用恒等變形的方法把一個(gè)解析式中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪和的 形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法角配方法。 其中用得最多的是配成完全平方式。 是數(shù)

39、學(xué)中一種重 要的恒等變形的方法。配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方” ）的技巧，通過配方找到已知和未 知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)” 、 “配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法” 。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知 中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a + b) 2 = a2 + 2ab+ b2，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：a2

40、 + b2 = (a + b) 2 2ab= (a b)2 + 2ab;a2 + ab+ b2 = (a + b) 2 ab= (a b)2 + 3ab= (a + b) 2 +(三 b) 2 ；2 21a2 + b2 + c2 + ab+ bc+ ca=(a + b)2 + (b + c) 2 + (c + a)2a2 + b2 + c2 = (a + b+ c) 2 2(ab + bc + ca) = (a + b c) 2 2(ab bc ca) =結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：21 + si n2 a = 1 + 2s in a cos a=( sin a +

41、cos a) ；111x2 + 丄二(x + -) 2 2=(X 丄)2 + 2 ； 等等。XXX應(yīng)用：因式分解；化簡(jiǎn)根式；證明等式和不等式；解一元二次方程；一元二次方程求根公式的 推導(dǎo)；一元二次方程根的判別式的應(yīng)用；韋達(dá)定理的應(yīng)用；將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式， 進(jìn)而求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或最大、最小值)和對(duì)稱軸；求函數(shù)的極值和解析式；推導(dǎo)拋物2線y=ax+bx+c與x軸兩交點(diǎn)A(X1,O)、B(X2,O)之間的距離公式(資料包 P234);6. 消元法 解方程組的基本思想是消元，將多元逐步變?yōu)槎?、一元方程來解決。代入消元法：解一元二次方程、二元二次方程組；加減消元法把兩方程相乘或相除；

42、7降次法因式分解降次法：解一元二次方程、二元二次方程組；8. 換元法：在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，把它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這 叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究 對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究， 從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化， 變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來， 隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推

43、 證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方 程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或 者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4x + 2x -2> 0,先變形為設(shè)2x二t (t>0 )，而變?yōu)槭煜さ囊辉?二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知 識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y =、. x + .J - x的值

44、域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x 0,1，設(shè)x = sin a ，a 0, j，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該 是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x2 + y2 = r2 (r>0 )時(shí)，則可作三角代換 x = rcos 0> y = rsin B化為三角問題。SS均值換元，如遇到x + y = S形式時(shí)，設(shè)x = - +1，y= -1等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍 的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的十兀t>0 和口 0,。2如：解可化為

45、一兀二次方程的分式方程、分式方程組；二次三項(xiàng)式的因式分解；9. 待定系數(shù)法在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的 某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的 方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x) =g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)三g(a);或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方

46、程。使用待定系數(shù)法，就是把具有 某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題 是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解 析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分

47、析： 利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程； 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含 有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式， 得到所求圓錐曲線的方 程。求函數(shù)解析式的重要方法（據(jù)已知自變量和函數(shù)值或者點(diǎn)的坐標(biāo)來確定函數(shù)的解析式）；10. 特殊化方法在探索某問題的過程中，先拋開其一般的情形，而抓住其個(gè)別的、局部的特殊情形，并通過對(duì) 特殊情形（如圖形的特殊位置，度量的特殊值或圖形的特

48、殊形狀等）的研究洞察出一般情形所 具有的性質(zhì)，進(jìn)而達(dá)到發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證待求結(jié)果，或者發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證解題方法的目的的一種思維方法。 這種方法主要依據(jù)的是一般規(guī)律蘊(yùn)含于特殊情形之中，特殊情形是一般規(guī)律的外在形態(tài)，因而對(duì)于一個(gè)問題，當(dāng)探索其一般性結(jié)論較為困難時(shí)，可先研究其特殊情形，再推到一般。應(yīng)用：A運(yùn)用取“特殊值”或“特殊位置”的方法發(fā)現(xiàn)結(jié)論;B由特殊圖形推廣到一般圖形尋求規(guī)律。特殊值法和輔助線的添加11. 幾何變換法 平移、旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱，相似變換在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問題而得到解決。所 謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的

49、變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化 難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。 將圖形從相等靜止條件下的研 究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對(duì)稱。12. 面積法幾何中的面積公式以及由面積公式推出的面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積法。它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題， 其困難在于如何添加適當(dāng)?shù)妮o助線。 面積法的特點(diǎn)是把已 知和未知各量

50、用面積公式聯(lián)系起來， 通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾 何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添輔助線，即使需要添輔助線， 也很容易想到。應(yīng)用：利用面積法求線段的長(zhǎng)；利用面積法證線段等式；利用面積法證線段不等式；利用面積法求線段的比13. 割補(bǔ)法、分解組合思想能把在內(nèi)容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具備的條件不完全一樣的數(shù)學(xué)問題， 通過對(duì)問題的分解、拆割，或者合成、拼補(bǔ)等手段，將問題轉(zhuǎn)化為符合公式、定理所要求的形 式，并運(yùn)用公式、定理來加以解決1、因式分解:x2 -2xy y2 _a2 _2ab -b2 ；2、將兩塊三角板如圖放置，其中-C =/EDB

51、 =90A =45E =30 ,求重疊部分的面積AB =DE =6,14. 分解圖形法 復(fù)雜的圖形都是由簡(jiǎn)單的基本圖形組成， 故可以將復(fù)雜圖形分解成幾個(gè)基本圖形， 從而使問題 簡(jiǎn)化。15. 定義法 所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和 公理推演出來。 定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法， 它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來 明確概念。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果， 它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。 簡(jiǎn)單地 說，定義是基本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。16. 公式法17. 比較法 比差法；比商法18. 構(gòu)造法 在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是 一個(gè)圖形、一個(gè)方程 （ 組） 、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論 的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可 以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問題的解決。19. 判別式法與韋達(dá)定理一元二次方程ax2+bx+c=0 （a、b、c屬于R, a0）根的判別， =b2-4ac，不僅用來判定根 的性質(zhì)，而且作為一種