含參變量的積分

1、 2含參變量反常積分一致收斂性的判別法 阿貝耳(Abel判別法 設(shè) (i +¥ 狄利克雷(Dirichlet判別法 設(shè) (i 對一切實數(shù) A > a , 含參量常義積分 òa f ( x , y dx 在 c , d 上一致有界, 即存在正數(shù)L, 對一切 A ò a f ( x , y dx在 c , d 上一致收斂, (ii 對每一個 y Î c , d , 函數(shù) g ( x , y 為 x 的單調(diào)函數(shù)， (iii對參量 y, g ( x , y 在 c , d 上一致有界, 則含參變量反常積分 A > a , 及一切 y Î c

2、 , d , 都有 òa f ( x , y dx £ L ; (ii 對任意 y Î c , d , 函數(shù) g ( x , y 關(guān)于 x 單調(diào)； (iii 當(dāng) x ® +¥ 時, 對參量 y, g ( x , y 一致收斂于0, 則含參量反常積分 +¥ A ò +¥ a f ( x , y g ( x , y dx 在 c , d 上一致收斂. ò a f ( x , y g ( x , y dx 在 c , d 上一致收斂. 2含參變量反常積分一致收斂性的判別法 Dini 定理 設(shè) f ( x , y

3、 在a , + ¥ ´ c , d 上連續(xù)且保持定號， 上連續(xù), 若含參變量反常積分 +¥ 例4 證明 ò +¥ 0 sin( xy dy 在 ( -¥, +¥ 上一致收斂. 1 + y2 證 顯然，對任意 x Î ( -¥ , +¥ , 有 I ( y = ò a f ( x , y dx 且 sin( xy 1 |£ 1 + y2 1 + y2 +¥ 1 ò0 1 + y 2 dy 收斂. | +¥ 在 c,d 上連續(xù), 則 I (y 在 c

4、,d 上一致收斂. 由Weierstrass判別法(M判別法），可得 ò 0 sin( xy dy 在 ( -¥, +¥ 上一致收斂. 1 + y2 例5 證明含參量反常積分 在 0, d 上一致收斂. 證 由于反常積分 ò +¥ 0 e - xy sin x dx x 3含參變量反常積分的性質(zhì) 定理5.10 (含參量反常積分的連續(xù)性 設(shè) f ( x , y 在a , + ¥ ´ c , d 上連續(xù), 若含參量反常積分 ò +¥ 0 sin x dx 收斂(當(dāng)然, 對于參量 y, x - xy 它在 0,

5、 d 上一致收斂, 函數(shù) g ( x , y = e 對每一 I ( y = ò +¥ a f ( x , y dx 在 c,d 上一致收斂, 則 I (y 在 c,d 上連續(xù). 注: 滿足定理條件時， y ® y0 a 個 x Î 0, d 單調(diào), 且對任何 0 £ y £ d , x ³ 0 都有 g ( x , y = e - xy £ 1 . 故由Abel判別法知：該反常積分在 0 , d 上一致收斂. lim ò +¥ f ( x , y dx = ò +¥ a f

6、 ( x , y0 dx = ò +¥ a y ® y0 lim f ( x , y dx 即，求極限與求積分可交換次序. 6 定理5.11 (含參量反常積分的可微性 設(shè) f ( x , y 與 f y ( x , y 在區(qū)域 a , + ¥ ´ c , d 上連續(xù). 若 I ( y = ò +¥ a 定理5.12 (含參量反常積分的可積性 設(shè) f ( x , y 在 a , + ¥ ´ c , d 上連續(xù), 若 I ( y = òa f ( x , y dx 在 c , d 上一致收斂, 則

7、I (y 在 c , d 上可積, 且 d +¥ +¥ d +¥ f ( x , y dx 在 c , d 上收斂, ò +¥ a f y ( x , y dx 在 c,d上一致收斂, 則I (y 在 c,d上可微, 且 ò c dy ò a f ( x , y dx = ò dx ò f ( x , y dy . a c I ¢( y = ò +¥ a f y ( x , y dx 注: 滿足定理條件時，積分次序可以交換. 注: 滿足定理條件時，求導(dǎo)與求積分可交換次序. 定

8、理5.13 設(shè) f ( x , y 在 a , + ¥ ´ c , + ¥ 上連續(xù), 且 例6 計算 (i òa òc +¥ f ( x , y dx 關(guān)于 y 在任何 c , d 上一致收斂, f ( x , y dy 關(guān)于 x 在任何 a , b上一致收斂; +¥ +¥ +¥ +¥ sin bx - sin ax dx ( p > 0 , b > a . x b sin bx - sin ax 解 因為 = ò cos xydy , 所以 a x I = ò

9、e - px 0 +¥ (ii積分 ò +¥ a dx ò c f ( x , y dy 與 ò dy ò c +¥ a f ( x , y dx I = ò e - px 0 +¥ 中有一個收斂. 則必有 = ò e - px 0 +¥ ( ò cos xydy )dx b a b sin bx - sin ax dx x ò +¥ a dx ò +¥ c f ( x , y dy = ò dy ò c +

10、5; a f ( x , y dx . = ò dx ò e- px cos xydy . 0 a +¥ - px - px 由于 e cos xy £ e 及反常積分 ò +¥ 0 e - px dx 收斂, 由 例7 計算 ò +¥ 0 +¥ sin x sin ax dx . dx . Dirichlet積分為 ò 0 x x - px Weierstrass判定法, 含參量反常積分 ò0 e cos xydx +¥ 在區(qū)間 a , b 上一致收斂. 由于 e - px

11、 cos xy 在 解 在上例中, 令 b = 0, 則有 +¥ sin ax a F ( p = ò e - px dx = arctan 0 x p (* 0, + ¥ ´ a , b 上連續(xù), 由定理5.12交換積分次序，有 由阿貝耳判別法可得上述含參量反常積分在 p ³ 0 上 一致收斂. 于是由定理5.10, F ( p 在p ³ 0 上連續(xù), 且 +¥ sin ax F (0 = ò dx . 0 x 又由(*式 I = ò dy ò e - px cos xydx = ò

12、 a 0 b +¥ b a p dy 2 p + y2 b a = arctan - arctan . p p F (0 = lim F ( p = lim arctan + + p®0 p®0 a p = sgn a . p 2 7 例8 計算 j ( r = 解 由于 e - x2 2 ò +¥ 0 e - x cos rxdx . - x2 2 (a 綜合上述結(jié)果，由定理5.11即得 cos rx £ e 對任一實數(shù) r 成立且反常積分 ò +¥ 0 e - x dx 收斂, 所以此積分在 r Î

13、( -¥, + ¥ 上收斂. j ¢( r = ò - xe - x sin rxdx = lim ò - xe - x sin rxdx 2 2 +¥ A 0 A®+¥ 0 考察含參量反常積分 ò +¥ 0 (e - x2 cos rx 2 )¢ dx = ò r 2 +¥ 0 - xe - x sin rxdx . (b 2 A 2 1 A æ1 2 ö = lim ç e - x sin rx - ò re- x cos rxdx ÷ A®+¥ 2 0 2 0 è ø r +¥ - x 2 r = - ò e cos rxdx = - j ( r . 2 0 2 由于 - xe - x sin rx £ xe - x 對一切x ³ 0 , - ¥ < r < +¥ 成立及反常積分 ò +¥ 0 xe - x dx 收斂, 根據(jù)M判定法, 含 2 參