從用幾何畫板教雙曲線談起

1、 從用幾何畫板教雙曲線談起 南京師大附中（210003） 陶維林 1、把制作的過程告訴學(xué)生 本學(xué)期開學(xué)初，我用全國中小學(xué)計(jì)算機(jī)教育研究中心推薦的幾何畫板軟件上了一堂平面解析幾何課一上課，我首先把課件制作的過程告訴學(xué)生：（1） 在平面上，作線段，“測(cè)算”（“測(cè)算”是該軟件中的“菜單項(xiàng)”，以下同）其長度定義為2c（2） 在同一平面上作一條直線L，在上面取兩點(diǎn)A、M（3） “構(gòu)造”線段AM，“測(cè)算”其長度，定義為（4） 以線段AM為半徑，以點(diǎn)為圓心，“構(gòu)造”圓（5） 在直線L上再取一點(diǎn)B，使其在M的右側(cè)，且使AB（6） “構(gòu)造”線段BM，“測(cè)算”其長度，定義為；“構(gòu)造”線段AB，“測(cè)算”其長度，定義

2、為2a（7） 以線段BM為半徑，為圓心“構(gòu)造”圓（8） 與交于P、；“構(gòu)造”線段、（提示：= AM，= ），并選擇“跟蹤” P、（9） 拖動(dòng)點(diǎn)M在L上運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡是橢圓 學(xué)生：“？”，這不是橢圓嗎？今天老師不是講雙曲線嗎？繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)M，使M在B的右側(cè)，出現(xiàn)兩圓與不相交（如圖1）老師：兩圓與為什么不相交？兩圓相交的條件是什么？ 師，生：兩圓相交的條件是兩圓的連心線的長小于兩半徑的和而大于兩半徑的差A(yù)B 圖1現(xiàn)在連心線的長小于兩半徑的和AM+BM，但不大于兩半徑的差MAMB 老師：兩半徑的差是多少？ 學(xué)生：兩半徑的差是AB 老師：怎樣使兩圓相交呢？ 學(xué)生：改變A，B間的距離，使AB（教師拖

3、動(dòng)點(diǎn)B，使B到A的距離AB（2a）小于(2c)，此刻兩圓開始相交，又出現(xiàn)點(diǎn)P、P 老師：（不要立即拖動(dòng)點(diǎn)M，否則會(huì)出現(xiàn)“雙曲線”的一部分）點(diǎn)P滿足的幾何條件是什么？學(xué)生：（很容易）MAMBAB是定值教師緩緩?fù)蟿?dòng)點(diǎn)M，出現(xiàn)雙曲線的右支（學(xué)生：這不是“單曲線”嗎？），再拖動(dòng)點(diǎn)M，使其在點(diǎn)的左側(cè)，出現(xiàn)雙曲線的左支這就是我們要研究的“雙曲線”提問：什么叫雙曲線？學(xué)生：平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值是一個(gè)定值，且這個(gè)定值小于兩定點(diǎn)間的距離的點(diǎn)的軌跡這堂課是“雙曲線”這一節(jié)的第一課時(shí)，目的是讓學(xué)生完成“雙曲線”概念的構(gòu)建、“雙曲線”標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)2、建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下的媒體運(yùn)用“建構(gòu)主義”理論

4、是近代國際教育改革探索中的新理論，吸取了近幾十年來哲學(xué)、心理學(xué)、思維科學(xué)、教育領(lǐng)域的新成果，結(jié)合教學(xué)的基本性質(zhì)和特點(diǎn)，對(duì)各科教學(xué)作出全面的闡述，成為教育理論和實(shí)際教學(xué)的指導(dǎo)性理論建構(gòu)主義理論的核心即認(rèn)為“知識(shí)不是被動(dòng)接受的，而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的”建構(gòu)主義認(rèn)為，雖然學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是前人已經(jīng)建造好了的，但對(duì)學(xué)生來說，仍是全新的、未知的，需要每個(gè)人再現(xiàn)類似的創(chuàng)造過程來形成，即用學(xué)生自己的活動(dòng)對(duì)人類已有的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建起自己的正確理解，這應(yīng)該是學(xué)生親身參與的充滿豐富、生動(dòng)的概念或思維活動(dòng)的組織過程隨著計(jì)算機(jī)的日益普及，以多媒體計(jì)算機(jī)為核心的輔助教學(xué)也日益興起，各種類型的教學(xué)軟件也不斷出現(xiàn)但是任何一種

5、新的教育技術(shù)、教學(xué)手段的運(yùn)用，無不受著教育思想、教育理論的支配如果把過去的老師一支筆、一張嘴、一塊黑板的“滿堂灌”變成計(jì)算機(jī)的“滿堂灌”，計(jì)算機(jī)成了放像機(jī)，教師成了“放映員”，這是對(duì)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的誤解開始也許因新鮮，出現(xiàn)過提高學(xué)習(xí)興趣的假像，時(shí)間一長，學(xué)生會(huì)討厭這種教學(xué)，因?yàn)槟阌滞ㄟ^另一種手段加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)這不是教育的改革筆者在“雙曲線”這堂課的教學(xué)中，事先并沒有制作好課件，而是把制作的過程展現(xiàn)在學(xué)生面前，力圖正確利用幾何畫板這一優(yōu)秀軟件，通過這一“過程”來讓學(xué)生完成“雙曲線”的“意義建構(gòu)”整個(gè)過程有停頓、有沉默，決不把教師的認(rèn)識(shí)強(qiáng)加給學(xué)生，始終讓學(xué)生處于認(rèn)知的“主體”地位學(xué)生的思維得到了

6、發(fā)展，觀察能力、歸納能力得到提高；概念的理解更加準(zhǔn)確、完整；知識(shí)間的聯(lián)系建立；印象也更加深刻筆者從事數(shù)學(xué)教學(xué)二十六年，教過十幾次“雙曲線”總是用一根拉鏈演示以下，形成“雙曲線”的一支，告訴學(xué)生調(diào)換固定拉鏈的圖釘又有另一支，就開始給“雙曲線”下定義，推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生感覺不出為什么要PP，尤其對(duì)定義中的“絕對(duì)值”印象不深；學(xué)生也感覺不出橢圓與雙曲線的聯(lián)系；，=會(huì)引起什么變化，缺乏感性認(rèn)識(shí)到了高三，甚至高考時(shí)也不能立即辨認(rèn)zizi=2所表示的是一條線段（高考題）；的大小變化對(duì)雙曲線開口的影響雖然課本上有過證明，但印象不深有了幾何畫板的動(dòng)態(tài)操作，這一切都變得方便快捷，形象、生動(dòng)這一節(jié)課除弄清了以上幾

7、個(gè)問題外，也完成了標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由于加強(qiáng)了雙曲線與橢圓的聯(lián)系，有一部分同學(xué)課后提出平面上，到兩個(gè)定點(diǎn)距離的積（或商）是一個(gè)常數(shù)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么用幾何畫板立即進(jìn)行了“實(shí)驗(yàn)”，同學(xué)們得到了滿意的回答，思維得到發(fā)展，素質(zhì)得到提高3、學(xué)習(xí)建構(gòu)主義理論，理解幾何畫板，用好幾何畫板“沒有實(shí)踐的理論是空洞的理論，沒有理論指導(dǎo)的實(shí)踐是盲目的實(shí)踐”建構(gòu)主義理論隨著計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展越來越顯示出強(qiáng)大的生命力建構(gòu)主義理論把“情景”、“協(xié)作”、“會(huì)話”、“意義建構(gòu)”作為學(xué)習(xí)的四大要素或四大屬性“情景”即要求學(xué)習(xí)環(huán)境中的情景必須有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的“意義建構(gòu)”幾何畫板提供了一個(gè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”、“做數(shù)學(xué)”

8、的環(huán)境，是建構(gòu)主義理想的學(xué)習(xí)媒體數(shù)學(xué)中有許多需要反復(fù)比較、仔細(xì)觀察、認(rèn)真體會(huì)才能發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系；有各種各樣的情況需要考慮；各種各樣的概念的形成過程需要暴露用幾何畫板可以把概念的形成過程暴露出來；隨時(shí)看到各種情形下的數(shù)量關(guān)系的變化或不變；它可以把“形”和“數(shù)”的潛在關(guān)系及其變化動(dòng)態(tài)的顯現(xiàn)在屏幕上而且這個(gè)過程可以根據(jù)需要進(jìn)行控制是進(jìn)行探索、驗(yàn)證的好幫手，是創(chuàng)設(shè)“情景”的極好工具學(xué)生通過用幾何畫板制作的過程，比較的過程，產(chǎn)生他的經(jīng)驗(yàn)體系，完成他的認(rèn)知筆者曾與學(xué)生、同事討論過一個(gè)簡單而有趣的問題：ABC的邊BC固定，點(diǎn)A在定圓上運(yùn)動(dòng)，判斷它的外心軌跡的形狀有的認(rèn)為還是圓，有的認(rèn)為應(yīng)該是線段用幾何畫板一

9、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)是“線段”（如圖2）在意料之中呀不會(huì)脫離BC的垂直平分線！認(rèn)為是線段的這部分同學(xué)很高興當(dāng)把點(diǎn)B拖入圓內(nèi)時(shí)，外心O的軌跡卻是直線！同學(xué)們不敢再說話忽然一個(gè)同學(xué)說：“噢，我知道了，把點(diǎn)B、C都拖入圓內(nèi)時(shí)，外心的軌跡會(huì)是射線”我問他為什么？他說，線段、直線都有了，還差（缺）射線呀？看來他對(duì)化學(xué)中的門捷列夫周期表很熟悉，還有一個(gè)空格應(yīng)該由射線這個(gè)“元素”來填呀這樣的結(jié)論看來已經(jīng)很“完美”了，但是，即使點(diǎn)B、C都拖到圓外，外心的軌跡也可能是射線（BC與圓相交）！這樣的“情景”，怎樣的效果！直線的傾斜角、直線的斜率，以及當(dāng)直線在平面上繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其斜率如何變化，也是一個(gè)學(xué)生容易出錯(cuò)的問題利用幾何

10、畫板就可以把它們的變動(dòng)情況以及數(shù)量關(guān)系都顯示在屏幕上，不用老師開口，同學(xué)們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線繞定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（不繞過垂直于x軸）時(shí)，斜率總是在增大同一個(gè)屏幕上，還顯示了函數(shù)k=tg，0，)的圖象，又從“形”的角度認(rèn)識(shí)斜率與傾斜角間的數(shù)量關(guān)系相信一定會(huì)減少解不等式1 tg10，) 所出現(xiàn)的錯(cuò)誤 圖2“協(xié)作”對(duì)學(xué)習(xí)資料的收集與分析、假設(shè)的提出與驗(yàn)證、學(xué)習(xí)成果的評(píng)價(jià)，乃至意義的最終建構(gòu)都有著重要的作用，應(yīng)該發(fā)生在學(xué)習(xí)過程的始終幾何畫板作為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的軟件，可以對(duì)學(xué)習(xí)的成果進(jìn)行存儲(chǔ)，以便再認(rèn)識(shí)、再探索、再實(shí)驗(yàn)與學(xué)習(xí)者有很好的“協(xié)作”功能課堂上一次不能完成的認(rèn)識(shí)，課后可以到“電子閱覽室”，教室的講臺(tái)旁

11、（我校高中教室都配有“奔騰”多媒體計(jì)算機(jī)、大屏幕投影儀，學(xué)校有網(wǎng)絡(luò)電子閱覽室）再進(jìn)行研究、交流、探討三角函數(shù)y=sin(x+)的圖象的教學(xué)一直是一個(gè)難點(diǎn)傳統(tǒng)的教學(xué)，往往就一、兩個(gè)的值（如2，=）作出它們的圖象就開始?xì)w納列表描點(diǎn)，沒有動(dòng)態(tài)的演示，沒有更多的比較、更多的探索而幾何畫板與您可以很好的“協(xié)作”，容許你對(duì)一切想探試的值進(jìn)行探試，來加深對(duì)這一問題的認(rèn)識(shí)由于計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算功能，容許你有一些“怪異”的想法在極坐標(biāo)方程2acos(n)（a、n為非零常數(shù)）中，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是n葉玫瑰線，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，是2n葉玫瑰線“調(diào)皮”的學(xué)生給一個(gè)讓你為難的值n=3.5，啊，重瓣的玫瑰，“數(shù)學(xué)美”立馬展現(xiàn)在你

12、的面前再給n=20怎么樣，“孔雀開屏”；再給n=1.1，1.01，1.001，這不是圓嗎？再給n=0.1，0.01，0.001，為什么還是圓，圓心到了極點(diǎn)極限得到運(yùn)用，知識(shí)間的聯(lián)系建立計(jì)算機(jī)任你“擺布”，多好的“伙伴”“會(huì)話”是“協(xié)作”過程中的一個(gè)不可缺少的環(huán)節(jié)，“協(xié)作”的過程當(dāng)然也是“會(huì)話”的過程學(xué)生可以用幾何畫板進(jìn)行討論，在網(wǎng)絡(luò)電子閱覽室中，可以互相調(diào)閱同學(xué)制作的課件，從中受到啟發(fā)，相互學(xué)習(xí)幾何畫板本身就是一個(gè)智力開發(fā)的好工具筆者在幾何畫板學(xué)習(xí)小組中征集橢圓的作法，到目前為止，就發(fā)現(xiàn)七、八種引起學(xué)生極大的興趣報(bào)名參加學(xué)習(xí)的學(xué)生逐漸增多“意義建構(gòu)”是學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)所要建構(gòu)的意義是指事物的性質(zhì)

13、、規(guī)律，事物之間的內(nèi)在聯(lián)系由以上分析，幾何畫板顯然十分有利于學(xué)生進(jìn)行他的“意義建構(gòu)”，為學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)“意義建構(gòu)”創(chuàng)造了良好的條件運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，可以使學(xué)習(xí)者始終處于主動(dòng)的地位，用幾何畫板制作的過程、幾何畫板的動(dòng)態(tài)顯示是最好的話語，可控制的過程更加有利于揭示事物的性質(zhì)、規(guī)律，事物之間的內(nèi)在聯(lián)系老師只要合理地控制這一過程，起著“畫龍點(diǎn)睛”的作用4、結(jié)束語筆者雖然使用幾何畫板的時(shí)間不長，但體會(huì)到幾何畫板是數(shù)學(xué)教師的“好伙伴”，每一個(gè)有條件的數(shù)學(xué)教師，尤其是青年教師，應(yīng)該熟練地掌握幾何畫板，理解幾何畫板，努力運(yùn)用于自己的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，提高教學(xué)效果多媒體計(jì)算機(jī)技術(shù)的運(yùn)用，已經(jīng)無疑會(huì)給教育帶來深刻的變革“也許被改變得面目全非”（比爾蓋茨語-見（3），這給我們教師，尤其是青年教