換元法在計算三角函數(shù)有理式積分中的應用

1、3換元法在計算三角函數(shù)有理式積分中的應用王仙彩(太鋼職工鋼鐵學院基礎教研室 ,太原 030000)摘要 :換元法是數(shù)學解題中最常用的一種方法 。鑒于三角函數(shù)的公式多且運算量大 ,文中通過具體的例子闡述了三角函數(shù)有理式的積分方法 ,并對常見的類型進行了歸納總結 。關鍵詞 :換元法 ;代換 ;恒等變形中圖分類號 :O172文獻標識碼 : A在解題過程中為了達到化繁為簡 、化難為易 , 促使未知向已知轉化的目的 , 把某個式子看成 一個整體 新的未知數(shù) , 實施變量代換的方法 稱之為換元法。換元法的思想在微積分等數(shù)學教 學中經常使用 , 貫穿于整個高等數(shù)學教學。在此僅 討論換元法在積分學中尤其是三角

2、函數(shù)有理式積 分中的應用即換元積分法 , 對積分變量進行適當 的變量代換 , 將欲求的積分轉化為對新變量的積 分 , 從而可化成基本積分公式中的形式 。三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)經過四則運 算所組成的式子。關于這一類型的積分問題的運 算是比較麻煩的。由于 t a n x , co t x , sec x , c sc x 都可 用 si n x , co s x 表示 , 所以把三角函數(shù)有理式記為R ( si n x , co s x) , 則積分為R ( si n x , co s x) d x 可通過變量代換化為有理函數(shù)的積分。為此把這一類型的主要積分方法歸納如下 :d x求例 1.3

3、+ 5co s x令 t a n x解= t 則2d x12 d t1 -3 + 5=223 + 5co s x1 + tt1 + t2= d tt24 - 1 1 1 4( 2 -+) d t t 2 + t=1( l n 2 + t - l n 2 -4)=t+ C1 l n2 + t=+ C2 - t4 x2 + t a n12=4 l n+ C. x2 - t a n21 .R ( sin x , cos x) d x 類型xx對于三角函數(shù)有理式的積分 , 作代換 t a n萬能代換即令 t a n, 則有=t22= 2 t ,= t 總可以將積分有理化 , 故此代換常稱為萬能代換。但

4、此方法計算起來往往比較麻煩 , 因而對于si n x1 + t22= 1 - tco s x, 1 某些比較特殊類型的函數(shù) , 可作其它代換。2 .R ( sin x) cos xd x 或R ( sin x , cos2 x) cos xd x 類型此種類型可用代換 sin x = t ,所以 cos xd x = dt.1 + t2故R ( si n x , co s x) d x22 t, 1 - t ) 2= R (d t.1 + t2 1 + t2 1 + t2收稿日期 :2007 - 02 - 20作者簡介 :王仙彩 (1965 - ) ,女 ,講師 ,主要從事高等數(shù)學教學及其研究

5、工作 。322第 20 卷第 2 期2007 年 4 月高等函授學報(自然科學版)Higher Co r re spo ndence Educatio n ( Nat ural Scie nce s)Vol . 20 No . 2Ap ril 2007J o ur nal of1例 2si n2 xco s3co s2 x =x d x .,1 + t2解令 si n x= t 則1d xd t.=1 + t2si n2 xco s3 x d x = t2 ( 1 -t2 ) d td x例 4求.241 t3 1 t5co s x si n x=-+ C35解令 t a n x= t 則有=

6、 1= 1 si n3 x - 1 si n5 x + C.d x1 d t co s2 x si n4 x35t22 1 + t22 (2 )3 .R (cos x) sin xd x 或R ( cos x , sin2 x) sin xd x 類型1 + t1 + t4 2 t + 2 t + 1=d tt4用代換 co s x = t , 所以 si n x d x例 3si n3 xco s2 x d x .= -d t.= ( 1 + 2 t- 2 + t- 4 ) d t解令 co s x= t 則 2 1 = t -+ C3 t32tsi n3 xco s2 x d x = -

7、( 1 -t2 ) t2 d t1= t a n x -+ C.3t a n x 3t a n x1 t5 1 t3=-+ c53 5.sinmxcosnxdx , cosmxcosnxdx , sinmxsin nxdx 類型先積化和差將被積函數(shù)化作兩項之和 , 再分項用湊微分換元法積分 。= 1 co s5 x - 1 co s3 x + C.53綜合 1 , 2 中含有類型為si n m x co sn x d x ( 其中m , n 為自然數(shù)) 其方法可歸納為 :( 1) 當 m , n 中至少有一個是奇數(shù)時 , 如 m =2 k + 1 ( k 為自然數(shù))si n2 k +1 xco

8、 sn x d x =( 1 - co s2 x) k co sn x d ( - co s x)= - ( 1 - t2 ) k t n d t.即先把奇數(shù)次的三角函數(shù)拆成偶次方和一次方的三角函數(shù)的乘積 , 再把偶次方的部分用 si n2 x+ co s2 x = 1 把一種三角函數(shù)變?yōu)榱硪环N三角函 數(shù); 而一次部分與 d x 結合為 dsi n x 或 dco s x .( 2) 當 m , n 均為偶數(shù)時 , 可用倍角公式求si n3 xco s4 x d x .例 51解 sin3 xcos4 xd x =(sin7 x - sin x) d x2 1 1= 2sin7 xd x -

9、2sin xd x 1 1= - cos7 x + cos x + C.1426 . 用三角恒等式對被積函數(shù)進行適當變形例 6sec x d x .解 1sec x d x把 ( sec x + t a n x) 看為一整體 ,= sec x ( sec x + t a n x)d x( sec x + t a n x)= 1 - co s2 x ,si n2 x2= sec x + sec x t a n x d x2( sec x + t a n x)co s2 x = 1 + co s2 x 降低三角函數(shù)的冪次 2 ,= d ( sec x + t a n x)2( sec x + t

10、a n x)或用下法 4 .4 . R ( tan x) d x ,= l n | sec x + t a n x | + C.把 si n x 看為一整體 ,R ( sin2 x , cos2 x) d x ,R ( tan x ,解 2sin2 x) d x 類型用代換 t a n x = t ,= 1sec x d xd xco s x( 下轉第 25 頁)2t所以 si n2 x =,1 + t223第 20 卷第 2 期2007 年 4 月高等函授學報(自然科學版)Higher Co r re spo ndence Educatio n ( Nat ural Scie nce s)V

11、ol . 20 No . 2Ap ril 2007J o ur nal of11A = 40 co s x a rct a n ( t a n x) dsi n x6= 80 x si n2 x si n2 x d x6 x 6= 40 co s x co s x d x2= 8 ( x60)26= 40 x d x2= 9 .2= 4 ( x )602 2因此 A + B2= +1892= 6 ,2= 18 .同時 ,11 -= 即( x y ) i - 1 d x d yd x d y x y11 - u2u- 1 1 -D i = 1D2 d v2u+ v2 1i2=1 -u -u112

12、v= 1i = 1a rct a nd uu2u221 -1 -2= .61 1 1 - u = 41a rct a nu2d u , u21 -1 -2參 考 文 獻同濟大學應用數(shù)學系主編. 高等數(shù)學 ( 第五版 下 冊) M . 北京 :高等教育出版社 ,2005 .1 - u令 a rct a n=x , 1 u21 -= 1 - u ,顯然 t a n2 x = 2 11 + u 2 王興東.的一個初等證明J . 數(shù)學通2i 6i = 1則 u = co s2 x , 所以訊 ,2003 , (13) .1 1 1 - u B = 41a rct a nu2d u u21 -1 -2d ( x + (上接第 23 頁)= co s x d x) 2 = si n ( x + co s2 x)2= co s xd xcsc ( x + - cot ( x + 1 - si n2 x)= ln+ C22dsi n x= = l n sec x + t a n x + C.( 1 - si n x) ( 1 + si n x)總之 , 文中例子體現(xiàn)了換元法在計算三角函數(shù)有理式積分中的作用 。其實換元法的應用非常 廣泛 , 熟練掌握并多加以應用 , 方可達到良好的效果。= 1 l n1 + si n x+ C21 - si n x= l n sec x