分段函數(shù)的幾種常見(jiàn)題型及解法

1、.分段函數(shù)的幾種常見(jiàn)題型及解法分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi),有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù),它是一個(gè)函數(shù),卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集,其值域也是各段函數(shù)值域的并集.由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用,時(shí)常在高考試題中 “閃亮” 登場(chǎng) ,筆者就幾種具體的題型做了一些思考,解析如下：1求分段函數(shù)的定義域和值域2 x2x 1,0;y例 1求函數(shù) f (x)21xx(0, 2);的定義域、33x2,);2值域 .1-1o12【解析】x-1作 圖 ,利 用 “ 數(shù) 形 結(jié)合 ” 易 知 f ( x) 的 定 義 域 為

2、1,),值域?yàn)?(1,3.2求分段函數(shù)的函數(shù)值| x1|2, (| x |1)例 2（ 05 年浙江理）已知函數(shù)f ( x)1求 f f (12 ) .1x2, (| x |1)【解析】因?yàn)?f ( 21 ) | 211| 223,所以 f f ( 12 )f ( 23 )1324 .1 (2 )133求分段函數(shù)的最值4x3(x0)例 3求函數(shù) f ( x)x3(0x 1) 的最大值 .x5(x1).【解析】當(dāng)x0時(shí) ,f max( x)f (0) 3 ,當(dāng)0 x 1時(shí) ,fmax (x) f (1) 4 ,當(dāng) x1 時(shí) ,x51 5 4,綜上有 fmax ( x)4 .4求分段函數(shù)的解析式例

3、 4在同一平面直角坐標(biāo)系中, 函數(shù) yf ( x) 和 yg( x) 的圖象關(guān)于直線 yx 對(duì)稱(chēng),現(xiàn)將 yg(x) 的圖象沿 x 軸向左平移2個(gè)單位,再沿 y 軸向上平移 1個(gè)單位 ,所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）,則函數(shù) f (x) 的表達(dá)式為（）A.f ( x)2x2(1x0)x2(0x2)y2B.f ( x)2x2(1x0)3x2(0x2)222x2(1x2)1C.f ( x)x2x1 (2x 4)-2-1o1D.f ( x)2 x6(1x2)x3(2x4)2【解析】當(dāng) x2,0 時(shí) ,y12x 1, 將其圖象沿 x 軸向右平移2個(gè)單位 , 再沿 y 軸向下平 移 1個(gè)單位

4、,得 解 析 式 為 y21 (x 2)1 112 x 1 ,所 以f ( x) 2x2 ( x 1,0) ,當(dāng) x 0,1時(shí) ,y2x1,將其圖象沿 x 軸向右平移 2個(gè)單位 ,再沿 y 軸向下平移1個(gè)單位,得解析式y(tǒng)2( x2) 11 2 x 4,所以f ( x)12 x2 ( x 0, 2) ,綜上可得 f ( x)2x2( 1x0)故選 A.x2(0x,22)5作分段函數(shù)的圖像例 5函數(shù) y e|ln x| x 1| 的圖像大致是（）.yy1x1O1o1xAByy11xxOO11CD6求分段函數(shù)得反函數(shù)例 6已知 yf ( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù) ,且當(dāng) x0 時(shí) ,f (x)

5、3x1 , 設(shè)f ( x) 得反函數(shù)為 yg( x) ,求 g( x) 的表達(dá)式 .【解析】設(shè) x0 ,則x0 ,所以 f (x) 3 x 1 ,又因?yàn)?f ( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù) ,所以 f (x)f ( x) ,且f (0)0 ,所以 f (x)13 x ,因此3x1 ( x0)log 3 ( x1) ( x0)f ( x)0( x0) ,從而可得 g( x)0( x0).13x ( x0)log 3 (1x) ( x0)7判斷分段函數(shù)的奇偶性例 7判斷函數(shù) f ( x)x2 ( x1)( x0)x2 ( x1) ( x的奇偶性 .0)【解析】當(dāng) x0 時(shí) ,x 0 ,f (

6、x)(x)2 ( x 1) x2 ( x 1)f (x) ,當(dāng) x0 時(shí) ,f ( 0)f (0) 0 ,當(dāng) x0 ,x0 ,f ( x) ( x) 2 ( x1)x2 ( x1)f ( x).因此 ,對(duì)于任意 xR都有 f (x)f ( x) ,所以 f ( x) 為偶函數(shù) .8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例 8判斷函數(shù) f ( x)x3x ( x0)x2( x的單調(diào)性 .0)【解析】顯然 f ( x) 連續(xù) .當(dāng) x0 時(shí) ,f ' (x)3x21 1恒成立 ,所以 f (x) 是單調(diào)遞增函數(shù) ,當(dāng) x0 時(shí) ,f ' (x)2x0恒成立 ,f ( x) 也是單調(diào)遞增函數(shù),所以 f

7、 ( x) 在 R上是單調(diào)遞增函數(shù) ;或畫(huà)圖易知f ( x) 在 R 上是單調(diào)遞增函數(shù) .例 9寫(xiě)出函數(shù) f ( x)|1 2x | 2x | 的單調(diào)減區(qū)間 .y3x 1 ( x21 )5【解析】 f (x)3x( 12x2) ,畫(huà)圖易知單調(diào)53x1( x2)2減區(qū)間為 (11ox, 2.2-29解分段函數(shù)的方程2 xx(,1, 則滿(mǎn)足方程 f ( x)1例 10（ 01 年上海）設(shè)函數(shù) f ( x)(1,)的 x 的log81 x x4值為【解析】若x1x2124,則22 ,得x 2 (,1,所以x 2,若log 81 x4,（舍去）1則 x 814 , 解得 x 3 (1, ) , 所以

8、x 3 即為所求 .10解分段函數(shù)的不等式2 x1 ( x0)例 11 設(shè) 函 數(shù) f ( x)1,若x2( x0)y.1x-11.f ( x0 )1,則 x0 得取值范圍是（）A. (1,1)B.( 1,)C .(,2)(0,)D .(,1)(1,)【解析 1】首先畫(huà)出yf (x) 和 y1的大致圖像 ,易知 f (x0 ) 1時(shí) ,所對(duì)應(yīng)的 x0 的取值范圍是 (, 1)(1, ).【解析 2】因 為 f ( x0 )1 ,當(dāng) x00 時(shí) ,2 x01 1 ,解 得 x01 , 當(dāng) x0 0 時(shí) ,1x021 ,解得 x01,綜上 x0 的取值范圍是 (, 1)(1,) .故選 D.例 12設(shè)函數(shù) f ( x)( x1)2(x1)則使得 f ( x)1的自變量 x 的取值范圍為,4x 1(x1)（）A (,20,10C. (,21,10B.(, 20,1D.2,01,10【解析】當(dāng)x1時(shí) ,2或,所 以或,f ( x) 1(x 1) 1x2 x 0x2 0 x 1當(dāng) x1時(shí) ,f ( x) 14x 1 1x 1 3x 10 ,所以 1x 10 ,綜上所述 ,x2 或