同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式知識講解

1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系5【學(xué)習(xí)目標(biāo)】22sin ot1借助單位圓，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin二亠cos : -1,tan j ,掌握已知一個COSG角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法；2會運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值、化簡三角式或證明三角恒等式?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：2丄2“si n t - cos1(2)商數(shù)關(guān)系：sin :-,tan :cos:-(3)倒數(shù)關(guān)系：tan： cot ： =1 , sin ： esc： =1 , cos： sec： =1要點(diǎn)詮釋：(1) 這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意” 一個角(使得

2、函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；2 2sin是(sin)的簡寫;(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“一 ”的選取。要點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1 平方關(guān)系式的變形：2 2 2 2 2sin 1cos : , cos 1sin : , 1 _2sin： cos： = (sin： -cos )2.商數(shù)關(guān)系式的變形.si nsin ： =cos： tan 一：,cos：ta n°【典型例題】類型一：已知某個三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例1 .已知tant = 2，求sin爲(wèi),cos爲(wèi)的值。sin a22【思路點(diǎn)撥】先利用"tan2&q

3、uot;，求出sin-：: = 2cos-：，然后結(jié)合 sin -：:+cos二=1，求出cos®sin 二,cos 二?！窘馕觥?解法一：t tant = 2,. sinr= 2cosH 。2 2又 sin :- +cos 二=1,由消去 sin得(2cos)2+cos2=1，即 cos2二丄。當(dāng)為第二象限角時,cos-衛(wèi)，代入得sin-52、551，即 cos ：cos :11 tan2 :-當(dāng)為第二象限角時,cos：1 tan :-1(-2)2當(dāng)、*為第四象限角時，cos = 5，代入得sin ：二- 一5 。55解法二： ta =2 v 0為第二或第四象限角。2sin2 si

4、n :-又由tan，平萬得tan2。cos ：cos :-.2sin :tan 二皿 121 =cos a22sin ： = tan -：匚 cos 二當(dāng)為第四象限角時,cos：1 tin2 :11 (-2)222【總結(jié)升華】解答此類題目的關(guān)鍵在于充分借助已知角的三角函數(shù)值，縮小角的范圍。在解答過程中 如果角:-所在象限已知，則另兩個三角函數(shù)值結(jié)果唯一；若角 :-所在象限不確定，則應(yīng)分類討論，有兩種 結(jié)果，需特別注意：若已知三角函數(shù)值以字母a給出，應(yīng)就:所在象限討論。舉一反三：5【變式1】已知A是二ABC的一個內(nèi)角，且ta nA，求si n A,cos A.4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)tan A : 0

5、可得A的范圍：A ：二再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式求解25【解析】tan A0, A為鈍角，si nA 0,cos A 0.4 41414由tan A二竺口 ,平方整理得cos2 A丄三,cos A二-cos A1 + tan Asin A = tan A cos A = 541.41例 2.已知 cosa=m ( 1< m < 1),求 sina 的值?！窘馕觥?1 )當(dāng)m=0時，角的終邊在y軸上， 當(dāng)角:-的終邊在y軸的正半軸上時，sin =1; 當(dāng)角:-的終邊在y軸的負(fù)半軸上時，si= 1。(2) 當(dāng)m= 土 1時，角二I的終邊在x軸上，此時，si=0。(3) 當(dāng) |m|v 1

6、 且 m0 時，sin :- =1 cos : =1 m ,當(dāng)角二為第三象限角或第四象限角時，si n=- 一仁 m2?！究偨Y(jié)升華】 當(dāng)角的范圍不確定時，要對角的范圍進(jìn)行討論，切記不要遺漏終邊落在坐標(biāo)軸上的 情況。類型二：利用同角關(guān)系求值例 3.已知：tan v - cot v - 2,求：(1) sin cost 的值；(2) sinv cost 的值；(3) si nr -cost 的值；(4) si n v 及 cost 的值【思路點(diǎn)撥】同角三角函數(shù)基本關(guān)系是反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變 形提供了工具與方法?！敬鸢浮?1) - (2)(3) 0 (4)1-1 或

7、 2,22 2 2 2 2【解析】(1)由已知沁空2cos ： sin v221.sin cosv22(2) 幕 sin j cos =1 2sin v cos v -11=2.sin J cos)-2(3) sin v-cosr -1-2sin vcosr -1-1=0.sin v -cost -0a 亠匚sisin日-一、,sin 日+cos° =±寸2 的/曰2 卡2(4) 由，解得或sin 日-cos。| 血 lo.丘coscos JI 2 I 2【總結(jié)升華】 本題給出了 sin - cosr,sin v - cos及sin cos三者之間的關(guān)系， 三者知一求 求解

8、的過程中關(guān)鍵是利用了sin2 v cos2 v -1這個隱含條件。舉一反三：【變式1】已知求下列各式的值:1 sin-：cos： ：V222(1)tan2 :1tan2 :3 .3 .(2) sin - +cos -?！窘馕觥恳?yàn)?sin 二" cos?二所以(sin 二，cos-：)22、 1 所以sin芒cos用42/八21(1 )(1) tan2- = tan2tan a Vtana 丿sin2篤宀cos2：sin ： cos：2-22-22sin : cos :一2 二丄一2 =14116(2) sin3 工" cos3 :=(sin 二" cos )(s

9、in2 :-型的問題，常有兩種解法：一是兩邊平方，得土 ,cost的值，從而使問題得以解決；二是對所求式子 進(jìn)行變形，化為 sin± cos、£ , sin用 cos、*的形式代入求解，解題時注意正、負(fù)號的討論與確定。例4 .已知tan=3，求下列各式的值。【總結(jié)升華】對于已知sin ：丄± cos.士 =m2sin用cos、£ =m2 1,聯(lián)立以上兩個式子解出sin匸2 2/八 4sin gcos?！?、 sin 口 一2sin otcosacos。“、 3.2(1); (2)22；( 3) sin :3sin a +5cosa4cos a -3sin

10、a42 24cos3sin :cos2 ：。2【思路點(diǎn)撥】由已知可以求出sin : ,co ,進(jìn)而代入得解，但過程繁瑣。在關(guān)于sin : ,cos ：“齊次”式中可以使用“弦化切”，轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan的式子，然后利用已知求解【解析】(1 )原式的分子分母同除以COS1 ( COS1豐0)得,4tan ： -14 3-1113ta n x3 3 5 14 °2cos :-原式(2)原式的分子分母同除以2（cos豐 0）得，原式2tan :- -2 tan ：- -124 3ta n :9-2 3-14 -3 322。23(3)用“ 1”來代換,3 19 -4 29 13 . 212sin

11、 cos -=42 2 丄2sin ： cos :【總結(jié)升華】已知tan 的值，求關(guān)于sin二】、cos/.豐0,所以可用cosl （n N* ）除之，將被求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 從而完成被求式的求值；在（ 為仁sin2+cos2代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于舉一反三：【變式1】（1）已知tan.J =3，求（2）已知如泌 65cos 日 +3sin 日11【解析】（1 ）T tan_：:=3, 1=sin2 ： +cos2 ：原式3。 21tan :_42丄2丄/tan :129。40的齊次式的值問題如(1 )、(2)題,/ cosottad =m的值，tana的表示式，可整體代入3）題中，求形如a sin2.j

12、+b sintcos.j+c cos2.j的值，注意將分母的 1化tanr的表達(dá)式后再求值。2sin :- 3sin： cos： +1 的值;，求 cos4 - -sin4 二的值。二原式=sin2 ： -3sin 二 cos工"(sin2 ：2 、COS 二）2 sin：- 3 si n cos si n« + coscos 2 2 t-a n : 3 t a n 1 o1 t2an'2(2 )由4sin 2cos5cos v 3sin r6，得116，解得:11二 cos4 - sin4 v - (cos% sin2 R(cos2 j - sin2 R= cos

13、2sin2八吒匹単 例5化簡：4. 41 -cos-sin :/ 6 6 °1 -cos 二一sin :-類型三：利用同角關(guān)系化簡三角函數(shù)式【解析】解法原式cos 6 +sin 日 1+tanB 1+4（cos 二亠sin2 ： ）cos4 ：sin4 ：/2,. 2、36. 6(cos "：亠sin : ) -cos sin :2cos2as in2 a22 2 2 2 °3cos - sin ： (cos h * sin : )344解法二：原式解法三：原式1 -(cos 上- sin ：)1 - (cos6 篇- sin6 ：)2 2 2 21-(cos 匚

14、"-sin ： )-2cos : sin :2242241-(cos 二 sin ： )(cos cos : sin 二 “ sin :)2 2 2 21-1+2cos a sin a2cos a sina 2 2 2 2 2 2 2 2 1 一 (cos'二 sin : ) -3cos : sin : 3cos : sin ：3224(1cos a)(1 + cos a)sin a(1 -cos2 ： )(1 cos2 篇" cos : ) -sin6:2 2 2_ sin a(1+cosasin «) sin2 ： (1 cos2 二' cos

15、4 ；： -sin4 ：)2cos2 a_ 2 2 2 2 21 cos 二 (cos 二 sin - )(cos : -sin ：)2 22cos a2cos a 22221 cos -： ' cos sin ： 3cos ：3【總結(jié)升華】以上三種解法雖然思路不同，但是主要都是應(yīng)用公式sin2+cos2=1，解法二和解法三都是順用公式，而解法一則是逆用公式，三種解法中，解法一最為簡單。這里，所謂逆用公式 sin2a+cos2a=1，實(shí)質(zhì)上就是“ 1”的一種三角代換：“仁sin2。+cos% ”，1的三角代換在三角函數(shù)式的 恒等變形過程中有著廣泛的應(yīng)用。舉一反三：【變式1】化簡(1)s

16、in日一cos日I 2 丿(2)、1 -sin2 2 - 1 -cos22 ；(3)(4)cos1 -cosg ；1 ;,1si n2si n1 sin v 1 - sin v1 -sin v. 1 sin n【答案】(1) 1 (2) -cos2-sin2（3）略（4）略【解析】（1）原式=（sH sine -cos0(2)|sin j - cost | _ i sin v - cos：原式 cos 2 -，sin2 2 =| cos21 - |sin 2| - - cos2 - sin 2(3)0,（日在第一象限或第三象限） 原式=_£0M 一曲|cosT|sin 日=«

17、; -2,（日在第二象限）2，（日在第四象限）(4)原式=1si n=彳 sinJ1 -sin2 二1 - sin2 v1 sin r 1 -sin)|cosv|cosv |2tan r(2k二-：: 2k二 -)-2ta n (2 k 2k )L223 二類型四：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例6 .求證：tan ： sin 二 tan 一二 1 sin 二 。tan ： - sin 二 tan ： sin 二【思路點(diǎn)撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式對式子的左邊或右邊進(jìn)行化簡，使之與式子的另一邊相同。直22tan ： sin -【解析】證法一：右邊=（tan： sin：）（tansin：）二tan。s

18、in口（tan。-sin）（tan口 - sino）tanosin。2 2 2tan tan ： cos :(tan： -sin ： ) tan： sin :29tan a (1-cos a) (tan： -sin ： )tan ： sin :證法二：左邊 =2 2tan : sin -(tan -sin ： ) tan ： sin :tan ： sin :亠、丄=左邊。 tan；、-sin：tan - sin :sin :tan tan： cos：1 - cos:tan J 1 ta n： cos：1 cos：1-cos：sin 八si n：右邊tan。sin。sin。sin。(1一cos。

19、)sina(1 cos91 -cosa. 21 - cossin2:sin :所以左邊=右邊，原等式成立。證法三：左邊sin :sin :=cos二 -sin :since cos 二sin2:-sin: -sin t cos：sin( 1 -cos )1 cos：si n上sin :sin :-sin a +sina cosa2sin :1 cos：sin:右邊二cos：sinasin :cos.s所以左邊=右邊，原等式成立?！究偨Y(jié)升華】本題主要考查三角恒等式的證明方法。就一般情況而言，證明三角恒等式時，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡的原則，即從較繁的一邊推向較簡的一邊；還可以 將左、右兩邊同時推向一個中間結(jié)果；有時候改證其等價命題更為方便。但是，不管采取哪一種方式，證 明時都要“盯住目標(biāo)，據(jù)果變形” 分解因式，回歸定義等?；喿C明過程中常用的技巧有：弦切互化，運(yùn)用分式的基本性質(zhì)變形,舉一反三:【變式1】求證： cosx1-sin x1 sin xcosx【解析】證法一：由題意知cosx = 0，所以