兩角和差正余弦公式的證明

1、For pers onal use only in study and research; not for commercial use兩角和差正余弦公式的證明以用三角函數(shù)值表示，因此，我們可以用單位圓來(lái)構(gòu)造聯(lián)系 函數(shù)值的等式。1.和角余弦公式兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。F 面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進(jìn)行探討。由角 d ,的三角函數(shù)值表示“ + P的正弦或余弦值，這正是兩角和差的正余弦公式的功能。 換言之，要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式，就是希望能得到一個(gè)等式或方程或 現(xiàn)士甸與征,厲的三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。根據(jù)誘導(dǎo)公式，由角0的三角函數(shù)可以得到（丿的三角函數(shù)。 因此，由和角公式容易

2、得到對(duì)應(yīng)的差角公式，也可以由差角公式得到對(duì)應(yīng)的和角公式。 又因?yàn)閟n(- = cos(a/?).由向Wft fit積的坐標(biāo)喪示*冇()A ()R= (COHa sin a (cos jS, sind、（二）在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式，還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來(lái)證明和差角的正弦公式。1.和角正弦公式 （一）（方法 3）如圖所示,R。為的曲邊上的高,為曲邊上的高。設(shè)I ”1, /, ，則。從而有, CE皿 a,J)cos acosp -sm asm ；BE=CEtxtfl=bmdtAfiBC=CEtscfl=bmdscfio因此 曲二廊+磁二施

3、5撫+金(Zcot/O ,.57)= Jjsm(z=A(aiszl-sniact/?)9nao注意到 BD 二 BC 誠(chéng) L+対二 B 蚯(zcsc0sn(a+/J),從而有：(cma+sinactf/Qdna=macscy79D(af/l),整理可得：頤+向二“acas+c(is(zEn#o注記：在方法 3 中，用J!C和與底角d，卩相關(guān)的三角函數(shù),從兩個(gè)角度來(lái)表示邊上高 AD,從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的，對(duì)基于直角或銳角三角形的情形，證明過(guò)程類(lèi)似。利用方法 3 中的圖形，我們用類(lèi)似于恒等變形的方式，可以得到下面的(方法 4)如圖所示，尺 D 為化 4 乩

4、的優(yōu)邊上的高,(卞為“邊上的高。設(shè)M, =0,則勿以二時(shí)#。/=,則有 ZlCB = ff-（fl+/9 ,o 由正弦定理可得JCBC AB- - -snfldna an(z+/F)其中 d 為 445C 的外接圓直徑。由AB= jJCcnsa+5Ccre/?得諷鈕血+網(wǎng)二 d 血/Qosa*dsmattos/,AEESDABLBCjlflEBCAD CE RDREIBUC二aKasm+smaaKj?o利用正弦定理和射影定理，將得到下面這個(gè)非常簡(jiǎn)潔的證法。 架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。注意證明利用的圖形框（方法 5）如圖所示QJ 為的屈邊上的高。設(shè)二 fl,注意到 MCtfL4D

5、 ,則有血SD，即。從而有siii(z 4旬二dn ccoisQ+ccisab02.和角正弦公式（二）方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角d,放在三角形的兩個(gè)底角上。如果將這兩（方法 6）如圖所示，作應(yīng)丄于D,交如 C 外接圓于E,連 BE 和 CE。ZBAE-H,0,則二a, ZCBE 二 0 ,C。設(shè)的外接圓直徑為 d,則有，i=tima3D=BEwfl=ddk(Zmfi CE=d3nfi CDCEaKaddnflcosa,所以有AC - HDtCD - dn(TA;/ff costrsm/Qo注意到BCdsn（a+/J）,從而 血住*再二血住 cos0+cns 住 sinA。個(gè)角的

6、和作為三角形的一個(gè)內(nèi)角,將會(huì)有下面的幾種證法（方法 611）。（方法 7）如圖所示,RD 為的曲邊上的高，為您邊上的高。設(shè)注記：我們用兩種不同的方法計(jì)算$也，得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方ZO=a,ZBCE=fi,則。設(shè)伽二h,則AE=ha ,BE二Atan0,BC=hsecfi , JB=AE+JiE=h(taika+ta!i/I)肋二屈 sin/二屈 msd = 4 口+阪血 又HD BCn(L l /J)治T.陽(yáng) n(7 小從而(taitr I t3n/f)ctK7set/fsin(a fF)。整理可得 血位 I 切血 a 匚 0501 匚 oscr&n/f。（方法 8）

7、如圖所示，作HDLOC于 D,過(guò) D 作DF L0A于 F,ZXJ丄胚于 G。設(shè)0C 二a ,/oc=p，則ZAOR 二 a+0，設(shè)0A=r肋二 Fsin#OD=rcus/JBG= BDaisa=rsui.fiaisa1(K=2)F=0DaiiCE=rcnsnaa所以Uli BGIGEF(sin cos er f cos /fan er)。注意到肚F血(at 切，則有赳 a !團(tuán)=sin GCOS0 * cosadii0法來(lái)計(jì)算 0E,則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得OF=CDcos(z=rcoscDsaEF=GD = ADaflsinao?(inacos 04- cos ctsinP)S

8、、耐=ACJBC5in ZACB = absiu(a +J3)$in(Z +P) =sin(Zcos4-cosZ sinp方法 9 利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個(gè)證法的思路則有所不同。又因?yàn)?從而可得AB -dcosfl BC -t/sin0CD dsinct DA dcosOLRD =i/sin(a +P)由托勒密定理知ACZBD = ABd + ADZBC即dZdsin(a+6) = cossin Of + cos a/sin(3整理即得sin(a + /3)二sinacos(3+cos a si n0（方法 10）如圖所示，設(shè)億為的外接圓直徑 d,長(zhǎng)度為 d。設(shè)上仁邊 2,叢也

9、F,則也加a,從而AB =dcosp BC-dsin 0CD -dsinasDA = dcos aRD= i/sin(a+P)由托勒密定理知ACZBD = ABHD + ADC即dZdsin(a+j6) = i/cos/sina+dcos ad sin (3整理即得sin(a + /3) - sin tzcos/J+cosflf sin0注記：這一證明用到了托勒密定理：若/C 和是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線1O 血（a+肋二 dois/Q/血 cc+dcosflQNn0。（方法 ii）如圖所示,（刃為 M/JC 的 M 邊上的高。設(shè)aCD a,則有BCD-fi則ZACB=tt+/?。設(shè)皿則= AD

10、+ BD= .ft(tan + tan /3)AC = heca C=/jsec由正弦定理可得屛AB AC BCsin(tz +0) sinBsinA盤(pán)_ /C _RCsin(tZ + Q cosPcoscrAB _4C + 5Csin(ff+ /X cosj3+cos a/r(tana + tanp)_ 幾(5亡亡卞+亡f 0)sin(Ct + ff)cos 5+cos asin(tz + j5) = sinacosp-k cos tz si n方法 10 和 11 將某一線段作為基本量，利用與角 住，/匚相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段，再通過(guò)聯(lián)系這些線段的幾何定理（托勒密定理或正弦定理）,構(gòu)造

11、出我們希望的等式關(guān)系。3.差角正弦公式仍然還是在三角形中 ，我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來(lái)。方法 12 和 13 便是用這種想法來(lái)證明的。即從而即整理即得= AD + BD= .ft(tan + tan /3)（方法 12）如圖所示ZACB-設(shè)加 C 二a, /DBC=fi記肋二 b,作EDEL.i于E,則,從而有CD = b sin DE = bm(a-/J)DA - DEseca -bn(ap)sca因此有AC CD -DA b(sin 0+ sin(7 /3)secff)注意到BC bcop AC=JffCtana = dcos/?tana（方法 13）如圖所示，血為 A-1SC

12、的外接圓直徑，長(zhǎng)度為 d。設(shè)山 iDa.ZCAD=fi,則 /尬 0=0, ZCAH =征-卩。從而從而sin j5+sin(cr-*/7)secf = cosPtana整理可得sinfff p)= sin GCOEQ cossin/3ZASD =(E-j?-d cQa BD =Of3BC-dsin(z-/7)AC -dcos(a-7)DE -.4Ztandcos僅tan /?RE = BCsec 0 = i/sin(zQ昶匚0所以BD = BE+ DE =+P)注意到RDsin a =sin(df-)sec /?+ cosfftan /?整理可得sin(a/?) = sin ZCQSJ3-c

13、ostzsinP-1方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計(jì)算同一線段，借此來(lái)構(gòu)造等式關(guān)系。很顯然，在這十二種證法中，方法 1 和 2 更具普遍性。換言之，這兩種方法中出現(xiàn)的角a,0 是任意角。而其余方法中，角 a 和則有一定的限制，它們都是三角形 的內(nèi)角（甚至都是銳角）。因此，對(duì)于方法 313,我們需要將我們的結(jié)果推廣到角（1和0 是任意角的情形。具體而言，我們要證明：如果公式對(duì)任意八 2 才成立，則對(duì)任意角也成立。容易驗(yàn)證，角 必和中至少有一個(gè)是軸上角（即終邊在坐標(biāo)軸上的角），我們的公式是成立的。下面證明，角住和 0 都是象限角（即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角）時(shí)，我們的公式

14、也成立。不妨設(shè)為第二象限角，0 為第三象限角，從而有ar = 2mjr+orT0 ar, 2,2,戰(zhàn)迂Z； = （2rt+l）jr+29neZsinot cos costz sinasinp = sin cosp= cos究性學(xué)習(xí)很有幫助。從上文中可以看到(1)明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系的等式或方程；因此有從而,71sin（cr= sin（2m+0）十（2丹+1）酒= sin（2m + 2n+/?J= YOS（Q +A）= -cosaLcos/5 +si口印sin/5=cos G （-cos A）+（- sin務(wù)） （-sin 0】）=sinacos0+ cosasin 0同理可證，公式對(duì)于

15、象限角化和的其它組合方式都成立。因此我們可以將方法兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。其推導(dǎo)證明對(duì)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探,這一探究過(guò)程可分為四個(gè)步驟:三角函數(shù)與313 推導(dǎo)的公式推廣到角(2)簡(jiǎn)化課題：四個(gè)公式只要解決一個(gè) ，其余的都可由它推出(3) 解決問(wèn)題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系必和三角函數(shù)與 皿如為或Gn(/r I 同的工具，尋找我們希望的等式關(guān)系；(4) 完善解決問(wèn)題的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 ，可考慮將其化歸為已解決的情形，必要時(shí)還要進(jìn)行分類(lèi)討論。以下無(wú)正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study

16、 and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etuetela recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO員BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHM以下無(wú)正文ucno員B30BaTbCEBKOMMepqeckuxqe員EX.以下無(wú)正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nli