數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義-排列組合與概率

1、第十三章 排列組合與概率一、基礎(chǔ)知識(shí)1加法原理：做一件事有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有N=m1+m2+mn種不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n個(gè)步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3排列與排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，從n個(gè)

2、不同元素中取出m個(gè)(mn)元素的所有排列個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用表示，=n(n-1)(n-m+1)=,其中m,nN,mn,注：一般地=1，0！=1，=n!。4N個(gè)不同元素的圓周排列數(shù)為=(n-1)!。5組合與組合數(shù)：一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，即從n個(gè)不同元素中不計(jì)順序地取出m個(gè)構(gòu)成原集合的一個(gè)子集。從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用表示：6組合數(shù)的基本性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。7定理1：不定方程x1+x2

3、+xn=r的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為。證明將r個(gè)相同的小球裝入n個(gè)不同的盒子的裝法構(gòu)成的集合為A，不定方程x1+x2+xn=r的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為B，A的每個(gè)裝法對(duì)應(yīng)B的唯一一個(gè)解，因而構(gòu)成映射，不同的裝法對(duì)應(yīng)的解也不同，因此為單射。反之B中每一個(gè)解(x1,x2,xn),將xi作為第i個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)，i=1,2,n，便得到A的一個(gè)裝法，因此為滿射，所以是一一映射，將r個(gè)小球從左到右排成一列，每種裝法相當(dāng)于從r-1個(gè)空格中選n-1個(gè)，將球分n份，共有種。故定理得證。推論1 不定方程x1+x2+xn=r的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為推論2 從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)允許元素重復(fù)出現(xiàn)的組合叫做n個(gè)不同元素的m可重組

4、合，其組合數(shù)為8二項(xiàng)式定理：若nN+,則(a+b)n=.其中第r+1項(xiàng)Tr+1=叫二項(xiàng)式系數(shù)。9隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率，記作p(A),0p(A)1.10.等可能事件的概率，如果一次試驗(yàn)中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率為p(A)=11.互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么A1，A2，An中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為p(A1+A2+An)= p(A1)+p

5、(A2)+p(An).12對(duì)立事件：事件A，B為互斥事件，且必有一個(gè)發(fā)生，則A，B叫對(duì)立事件，記A的對(duì)立事件為。由定義知p(A)+p()=1.13相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。14相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。即p(AB)=p(A)p(B).若事件A1，A2，An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率為p(A1A2 An)=p(A1)p(A2) p(An).15.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):若n次重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的

6、.16.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率:如果在一次試驗(yàn)中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)=pk(1-p)n-k.17離散型隨機(jī)為量的分布列：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫隨機(jī)變量，例如一次射擊命中的環(huán)數(shù)就是一個(gè)隨機(jī)變量，可以取的值有0,1,2,10。如果隨機(jī)變量的可能取值可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫離散型隨機(jī)變量。一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為x1,x2,xi,取每一個(gè)值xi(i=1,2,)的概率p(=xi)=pi，則稱表x1x2x3xipp1p2p3pi為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列，稱E=x1p1+x2p2+

7、xnpn+為的數(shù)學(xué)期望或平均值、均值、簡稱期望，稱D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+為的均方差，簡稱方差。叫隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。18二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為p(=k)=, 的分布列為01xiNp此時(shí)稱服從二項(xiàng)分布，記作B(n,p).若B(n,p)，則E=np,D=npq,以上q=1-p.19.幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所做試驗(yàn)的次數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，若在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率為p，則p(=k)=qk-1p(k=1,2,)，的分布服從幾何分布，E=，D=(q=1-p)

8、.二、方法與例題1乘法原理。例1 有2n個(gè)人參加收發(fā)電報(bào)培訓(xùn)，每兩個(gè)人結(jié)為一對(duì)互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對(duì)方式？2加法原理。例2 沒有電流通過電流表，其原因僅因?yàn)殡娮钄嗦返目赡苄怨灿袔追N？3插空法。例3 10個(gè)節(jié)目中有6個(gè)演唱4個(gè)舞蹈，要求每兩個(gè)舞蹈之間至少安排一個(gè)演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？4映射法。例4 如果從1，2，14中，按從小到大的順序取出a1,a2,a3使同時(shí)滿足：a2-a13,a3-a23，那么所有符合要求的不同取法有多少種？5貢獻(xiàn)法。例5 已知集合A=1，2，3，10，求A的所有非空子集的元素個(gè)數(shù)之和。6容斥原理。例6 由數(shù)字1，2，3組成n位數(shù)(n3)，且在n

9、位數(shù)中，1，2，3每一個(gè)至少出現(xiàn)1次，問：這樣的n位數(shù)有多少個(gè)？7遞推方法。例7 用1，2，3三個(gè)數(shù)字來構(gòu)造n位數(shù)，但不允許有兩個(gè)緊挨著的1出現(xiàn)在n位數(shù)中，問：能構(gòu)造出多少個(gè)這樣的n位數(shù)？8算兩次。例8 m,n,rN+，證明： 9母函數(shù)。例9 一副三色牌共有32張，紅、黃、藍(lán)各10張，編號(hào)為1，2，10，另有大、小王各一張，編號(hào)均為0。從這副牌中任取若干張牌，按如下規(guī)則計(jì)算分值：每張編號(hào)為k的牌計(jì)為2k分，若它們的分值之和為2004，則稱這些牌為一個(gè)“好牌”組，求好牌組的個(gè)數(shù)。10組合數(shù)的性質(zhì)。例10 證明：是奇數(shù)(k1).例11 對(duì)n2,證明：11二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。例12 若nN, n2，求

10、證：例13 證明：12概率問題的解法。例14 如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽樣方式從中抽取n件產(chǎn)品，問：恰好有k件是次品的概率是多少？例15 將一枚硬幣擲5次，正面朝上恰好一次的概率不為0，而且與正面朝上恰好兩次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。例16 甲、乙兩個(gè)乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時(shí)可以用三局二勝或五局三勝制，問：在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？例17 有A，B兩個(gè)口袋，A袋中有6張卡片，其中1張寫有0，2張寫有1，3張寫有2；B袋中有7張卡片，其中4張寫有0，1張寫有1，2張寫有2。從A袋中取出1張

11、卡片，B袋中取2張卡片，共3張卡片。求：（1）取出3張卡片都寫0的概率；（2）取出的3張卡片數(shù)字之積是4的概率；（3）取出的3張卡片數(shù)字之積的數(shù)學(xué)期望。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1三邊長均為整數(shù)且最大邊長為11的三角形有_個(gè)。2在正2006邊形中，當(dāng)所有邊均不平行的對(duì)角線的條數(shù)為_。3用1，2，3，9這九個(gè)數(shù)字可組成_個(gè)數(shù)字不重復(fù)且8和9不相鄰的七位數(shù)。410個(gè)人參加乒乓球賽，分五組，每組兩個(gè)人有_種分組方法。5以長方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是_。6今天是星期二，再過101000天是星期_。7由展開式所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有_項(xiàng)。8如果凸n邊形(n4)的任意三條對(duì)角線不共點(diǎn)，那么這些對(duì)角

12、線在凸n邊形內(nèi)共有_個(gè)交點(diǎn)。9袋中有a個(gè)黑球與b個(gè)白球，隨機(jī)地每次從中取出一球（不放回），第k(1ka+b)次取到黑球的概率為_。10一個(gè)箱子里有9張卡片，分別標(biāo)號(hào)為1，2，9，從中任取2張，其中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率是_。11某人拿著5把鑰匙去開門，有2把能打開。他逐個(gè)試，試三次之內(nèi)打開房門的概率是_。12馬路上有編號(hào)為1，2，3，10的十盞路燈，要將其中三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)是_。13a,b,c,d,e五個(gè)人安排在一個(gè)圓桌周圍就坐，若a,b不相鄰有_種安排方式。14已知i,m,n是正整數(shù)，且1(1+n)m.15.一項(xiàng)“過關(guān)游

13、戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所得到的點(diǎn)數(shù)之和大于2n，則算過關(guān)。問：（1）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過幾關(guān)？（2）他連過前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個(gè)在各面上分別有1，2，3，4，5，6點(diǎn)數(shù)的均勻正方體）四、高考水平訓(xùn)練題1若n1,2,100且n是其各位數(shù)字和的倍數(shù)，則這種n有_個(gè)。2從-3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取3個(gè)不同元素作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)，能組成過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一或第三象限的拋物線有_條。3四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中任取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有_種取法。4三個(gè)人傳球，從甲開始發(fā)球，每次接球后將球傳給另外兩人中的任意一

14、個(gè)，經(jīng)5次傳球后，球仍回到甲手中的傳法有_種。5一條鐵路原有m個(gè)車站（含起點(diǎn)，終點(diǎn)），新增加n個(gè)車站（n1），客運(yùn)車票相應(yīng)地增加了58種，原有車站有_個(gè)。6將二項(xiàng)式的展開式按降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)有_個(gè)。7從1到9這九個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的真數(shù)和底數(shù)，共可得到_種不同的對(duì)數(shù)值。8二項(xiàng)式(x-2)5的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第_項(xiàng)，系數(shù)最小的項(xiàng)為第_項(xiàng)。9有一批規(guī)格相同的均勻圓棒，每根被劃分成長度相同的5節(jié)，每節(jié)用紅、黃、藍(lán)三色之一涂色，可以有_種顏色不同的圓棒？（顛倒后相同的算同一種）10在1，2，2006中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列

15、的概率是_。11投擲一次骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，2，3，6的概率均為，連續(xù)擲6次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為35的概率為_。12某列火車有n節(jié)旅客車廂，進(jìn)站后站臺(tái)上有m(mn)名旅客候車，每位旅客隨意選擇車廂上車，則每節(jié)車廂都有旅客上車的概率是_。13某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)=）五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1若0abcd500，有_個(gè)有序的四元數(shù)組（a,b,c,d）滿足a+d=b+c且bc-ad=93.2.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合

16、-3,-2,-1,0,1,2,3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線傾斜角為銳角，這樣的直線條數(shù)是_。3已知A=0，1，2，3，4，5，6，7，映射f:AA滿足：（1）若ij，則f(i)f(j)；（2）若i+j=7，則f(i)+f(j)=7，這樣的映射的個(gè)數(shù)為_。41，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性質(zhì)：對(duì)于1i4,a1,a2,ai不構(gòu)成1，2，i的某個(gè)排列，這種排列的個(gè)數(shù)是_。5骰子的六個(gè)面標(biāo)有1，2，6這六個(gè)數(shù)字，相鄰兩個(gè)面上的數(shù)字之差的絕對(duì)值叫變差，變差的總和叫全變差V，則全變差V的最大值為_，最小值為_。6某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每兩名選手恰比賽一場(chǎng)，但有3名選手各

17、比賽2場(chǎng)之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行50場(chǎng)，上述三名選手之間比賽場(chǎng)數(shù)為_。7如果a,b,c,d都屬于1,2,3,4且ab,bc,cd, da；且a是a,b,c,d中的最小值，則不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_。8如果自然數(shù)a各位數(shù)字之和等于7，那么稱a為“吉祥數(shù)”，將所有的吉祥數(shù)從小到大排成一列a1,a2,a3,若an=2005，則an=_。9求值：=_。10投擲一次骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，2，6的概率均為，連續(xù)擲10次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是30的概率為_。11將編號(hào)為1，2，9這九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每個(gè)等分點(diǎn)上各有一個(gè)小球，設(shè)周圍上所有相鄰兩球的號(hào)碼之差的絕對(duì)值之和為S，求S達(dá)到最小值的

18、放法的概率（注：如果某種放法經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）。12甲、乙兩人輪流向同一目標(biāo)射擊，第一次甲射擊，以后輪流射擊，甲每次擊中的概率為p(0p1)，乙每次擊中的概率為q(0q1)，求甲、乙首先擊中的概率各是多少？13設(shè)m,nN,0mn，求證：+六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1100張卡片上分別寫有數(shù)字1到100，一位魔術(shù)師把這100張卡片放入顏色分別是紅色、白色、藍(lán)色的三個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里至少放入一張卡片。一位觀眾從三個(gè)盒子中挑出兩個(gè)，并從中各選取一張卡片，然后宣布這兩張卡片上的兩個(gè)數(shù)的和數(shù)，魔術(shù)師知道這個(gè)和數(shù)之后，便能夠指出哪一個(gè)是沒有被觀眾取出卡片的盒子。問：共有多少種放卡片的方法，使得這個(gè)魔術(shù)師總能夠成功？（如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子，兩種方法被認(rèn)為是不同的）2設(shè)S=1,2,10，A1，A2，Ak是S的