概率論與數(shù)理統(tǒng)計第5章課件

1、 1第第5章章 大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律5.2 中心極限定理中心極限定理 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科規(guī)律性的學(xué)科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象. 3 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究形式，由此導(dǎo)致對極限定

2、理進行研究. 極極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種種:與與大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限定理中心極限定理5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律一、依概率收斂的概念一、依概率收斂的概念二、切比雪夫不等式二、切比雪夫不等式三、切比雪夫大數(shù)定律三、切比雪夫大數(shù)定律四、伯努利大數(shù)定律四、伯努利大數(shù)定律五、辛欽大數(shù)定律五、辛欽大數(shù)定律 5定義定義一、依概率收斂的概念一、依概率收斂的概念依概率收斂不是通常微積分中的收斂依概率收斂不是通常微積分中的收斂0的附近的概率的極限為的附近的概率的極限為不穩(wěn)定在不穩(wěn)定在它表明它表明aYn1的的附附近近的的概概率率的的極極限限為為穩(wěn)穩(wěn)定定在在即即a

3、Yn1|lim aYPnn因此因此 6設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 的期望值的期望值 方差方差X,)( XE,)(2 XD則對于任意給定的正數(shù)則對于任意給定的正數(shù), 有有.22 XP二、切比雪夫不等式二、切比雪夫不等式注注: (1)切比雪夫不等式也可以寫成切比雪夫不等式也可以寫成.122 XP(2)切比雪夫不等式表明：切比雪夫不等式表明：則事件則事件 X發(fā)生的概率越大，發(fā)生的概率越大，即，即，隨機變量隨機變量X集中在期望附近集中在期望附近的可能性越大的可能性越大.隨機變量隨機變量X的方差越小，的方差越小， 7(3)在方差已知的情況下，在方差已知的情況下，它的期望的偏差不小于它的期望的偏差不小于 的概率

4、的估計式的概率的估計式.如如取取,3 則有則有切比雪夫不等式給出了切比雪夫不等式給出了X與與,111. 09322 XP故對任給的分布，故對任給的分布，只要期望和方差存在，只要期望和方差存在，則隨機變則隨機變量量X取值偏離取值偏離 超過超過3倍均方差的概率小于倍均方差的概率小于.111. 0 8，和方差有有限的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機變量DXEXX都有則,02|DXEXXP證明:)(xFX的分布函數(shù)為設(shè)| EXXP|)(EXxxdF|22)()(EXxxdFEXx|22)()(1EXxxdFEXx2DX 9(1),(| )0,;(| )1. |kkkkYkkE YP YE YP Y 設(shè)隨機變量 的 階矩

5、存在則對于任意都有：成立定定理 馬爾可夫不等理的：式 ：為等價形式()kkE YYP Y特別地，當(dāng) 為取非負值的隨機變量時，則有 10 ,0,YYf x證明：僅就 為連續(xù)型時證之 設(shè) 的概率密度為則對于任意有 YP Yf x dx | |kkyyf x dx 1|kkyf x dx(| ).kkE Y 11例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中, , 每一毫升白細胞每一毫升白細胞數(shù)平均是數(shù)平均是 7300, 均方差是均方差是 700. 利用切比雪夫不利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在等式估計每毫升白細胞數(shù)在 5200 9400 之間的之間的概率概率. .解解 設(shè)每毫升白細胞數(shù)

6、為設(shè)每毫升白細胞數(shù)為,X依題意依題意, ,7300 ,70022 所求概率為所求概率為94005200 XP73009400730073005200 XP21002100 XP.2100| XP 12由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式22)2100/(12100| XP即每毫升白細胞數(shù)在即每毫升白細胞數(shù)在 5200 9400 之間的概率不之間的概率不小于小于 8/9. ., 9/89/11 2)2100/700(1 13例例2 在每次試驗中在每次試驗中, , 事件事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 0.75,利用切比雪夫不等式求利用切比雪夫不等式求: : 獨立試驗次數(shù)獨立試驗次數(shù)n最小取最小取何值時

7、何值時, ,事件事件A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在 0.74 0.76 之間的之間的概率至少為概率至少為 0.90?解解 設(shè)設(shè)X為為n次試驗中次試驗中, , 事件事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù), , 則則)75. 0,(nBX,75. 0nEX ,1875. 025. 075. 0nnDX 01. 0|nEXXP 76. 074. 0nXnP 01. 075. 001. 0nnXnP 14在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取,01. 0n 則則76. 0/74. 0 nXP20001. 0/1875. 01nn n/18751 01. 0|nEXXP 2)01. 0/(1nDX 01. 0|nEX

8、XP 76. 074. 0nXnP 依題意依題意, ,取取n使使, 9 . 0/18751 n解得解得,18750)9 . 01/(1875 n即即n取取 18750 時時, , 可以使得在可以使得在n次獨立重復(fù)試驗次獨立重復(fù)試驗中中, ,事件事件A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在76. 074. 0之間的概率之間的概率至少為至少為 0.90. 15111lim, 0,1121 niiniiniiinEXnXnPcDXcDXEXXXX都都有有則則對對于于任任意意使使得得常常數(shù)數(shù)且且存存在在都都存存在在和和方方差差數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望序序列列為為相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變量量設(shè)設(shè)三、切比雪夫大數(shù)定律三

9、、切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫切比雪夫 16證明:niiXnnX11)(設(shè)相互獨立由于,21nXXX所以niiEXnnXE11)(niiDXnnXD121)(nc由切比雪夫不等式有,0)()(nXEnXP2)(1nXD21nc1n令111lim11niiniinEXnXnP)()(limnXEnXPn1即切比雪夫大數(shù)定律 17切比雪夫大數(shù)定律說明：在定理的條件下，當(dāng)切比雪夫大數(shù)定律說明：在定理的條件下，當(dāng)n充充分大時，分大時，n個獨立隨機變量的平均數(shù)這個隨機變量個獨立隨機變量的平均數(shù)這個隨機變量的離散程度是很小的的離散程度是很小的. .這意味著只要這意味著只要n充分大，盡充分大，盡管管n個隨機變量

10、可以各有其分布，但其算術(shù)平均以個隨機變量可以各有其分布，但其算術(shù)平均以后得到的隨機變量后得到的隨機變量 將比較密地聚集在它將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 的附近，不再為個別隨機變的附近，不再為個別隨機變量所左右量所左右. .作為切比雪夫大數(shù)定律的特例，我們有作為切比雪夫大數(shù)定律的特例，我們有下面的推論下面的推論. . niiXn11 niiEXn11 18推論. 證明:定律顯然服從切比雪夫大數(shù),21nXXX111lim11niiniinEXnXnP都有即,0niniinEXn1111所以11lim1niinXnP,隨機變量序列為相互獨立且同分布的設(shè)nX都有即,0,2iiDXEX且.,2

11、1服從大數(shù)定律則nXXX11lim1niinXnP 19四、伯努利大數(shù)定律四、伯努利大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律的另一個推論通常稱為伯努切比雪夫大數(shù)定律的另一個推論通常稱為伯努利大數(shù)定律利大數(shù)定律 n重重伯努利伯努利試驗中事件試驗中事件A發(fā)生發(fā)生 n次次, 每次試驗每次試驗A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 p，則對任意，則對任意 0, 有有1lim pnPnn 伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律表明事件發(fā)生的表明事件發(fā)生的頻率依概率頻率依概率收斂于事件的概率收斂于事件的概率。由由實際推斷原理實際推斷原理,在實際應(yīng)用在實際應(yīng)用中中, 當(dāng)試驗次數(shù)很大時當(dāng)試驗次數(shù)很大時,可以用事件發(fā)生的頻率來可以用事件發(fā)生的頻率來

12、代替事件的概率。代替事件的概率。 20,出現(xiàn)的次數(shù)試驗中事件重為設(shè)ABernoullinn都有則,0,pA率為在每次試驗中出現(xiàn)的概且1limpnPnn不出現(xiàn)次試驗第出現(xiàn)次試驗第設(shè)AiAiXi01ni,2 , 1niinX1又證明:pEXi)1(ppDXi11lim1pXnPniin都有即,01limpnPnn所以 21進一步研究表明，切比雪夫大數(shù)定律推論中的方進一步研究表明，切比雪夫大數(shù)定律推論中的方差存在這個條件并不是必要的，下面給出一個獨差存在這個條件并不是必要的，下面給出一個獨立同分布場合下的立同分布場合下的辛欽辛欽大數(shù)定律。大數(shù)定律。11lim, 0,1 niininXnPEXX都都有

13、有則則對對于于任任意意且且隨隨機機變變量量序序列列為為相相互互獨獨立立且且同同分分布布的的設(shè)設(shè) 22作業(yè)作業(yè)P139 練習(xí)5.11. 2.5.2 中心極限定理中心極限定理一、萊維一、萊維中心極限定理中心極限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心極限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心極限定理 24 ( , )ZN12nZXXXn 1nniiZX( , )N 111()()nniiiiniiXE XDX(0,1)N 252(), () (1,2,)nnnnE XD XnnX111()()nnkkkknnkkEXXZDX1121 (1,2,) nnkkkknkkXn()0,()1 (1,2,)nnE ZD ZnnZ(0

14、,1)N111 (1,2,)nXZn1X0 (2,3,),nXn221( )2txedt xnX( )nFxxnZ1121lim( )lim nnkkkknnnnkkXFxPx 26nX12,nXXX(),()kkE XD X(1,2,)k 27林德伯格中心極限定理林德伯格中心極限定理設(shè)獨立隨機變量設(shè)獨立隨機變量123,nXXXX有數(shù)學(xué)期望和方差有數(shù)學(xué)期望和方差2,iiiiEXDX記記1111,nniiniininniiiXEXSDXYDX若滿足林德伯格條件若滿足林德伯格條件 212lim0inniixSinnxfx dxS 則則 limnnP Yxx limnnFx 28分析林德伯格條件分析

15、林德伯格條件 212lim0inniixSinnxfx dxS 設(shè)設(shè)iinXAS則則iinXP maxS1niiPA1niiP A1niiniP XS 1innixSifx dx 2221inniixSinxf x dxSlimmax0limmax1iiiinnnnXXPPSS 292(),()0 (1,2,)kkE XD XknX111()()nnkkkknnkkXEXZDX( )nFxx221( )2txedt xnX 1 (1,2,)nkkXnnn 1lim( )lim nkknnnnXFxPxn 30證明證明 212liminniixSinnxfx dxS21222limlim0nxn

16、inxnnxfxd xnnxfxd xn 31,0212,kXXX 1 (0 , 1)nkkXnNn212+ (, )nXXXN nn 32例例1設(shè)有設(shè)有30個電子元件個電子元件,它們的壽命均服從參數(shù)為它們的壽命均服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時小時),每個元件工作相互每個元件工作相互獨立獨立,求他們的壽命之和超過求他們的壽命之和超過350小時的概率小時的概率.解解為為壽壽命命之之和和個個元元件件的的壽壽命命為為第第設(shè)設(shè)TiiTi,30, 2 , 1, 30., 2 , 1),1 . 0( iETi且且 301iiTTiET101 iDT10012 相相互互獨獨立立顯顯然然

17、3021,TTTDTETT 由由萊維中心極限定理萊維中心極限定理100301030 T)1 , 0(N 33 350 TP 30003003503000300TP 30003003501 )91. 0(1 1814. 08186. 01 即他們的壽命之和超過即他們的壽命之和超過350小時的概率為小時的概率為0.1814標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布表分布表他們的壽命之和超過他們的壽命之和超過350小時小時)1 , 0(100301030NT 300030035030003001TP 34 201kkVV2012/1005202012/100520201 VVZkk例例2 一加法器同時收到一加法器同時收到

18、20個噪聲電器個噪聲電器Vk(k=1,2,20),設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)上上服從均勻分布。記服從均勻分布。記 求求PV105的近似值的近似值解解E(Vk) = 5 , D(Vk) = 100/12 ( k=1,2,20 ).近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布N(0,1),由由萊維中心極限定理萊維中心極限定理 35 39. 020)1210(1001VP 39. 020)1210(100VP 2012/1005201052012/100520VP 105 VP)39. 0(1 3483. 0105 VP所所以以3483. 06517

19、. 01 )1 , 0(2012/100520NV 36 1001kkXX例例3 對敵人的防御地段進行對敵人的防御地段進行100次炮擊次炮擊, 在每次在每次炮擊中炮擊中, 炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學(xué)期望為炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2, 均方差為均方差為1.5, 求在求在100次炮擊中次炮擊中,有有180顆到顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的顆炮彈命中目標(biāo)的概率概率.解解設(shè)設(shè)Xk為第為第k次炮擊炮彈命中的顆數(shù)次炮擊炮彈命中的顆數(shù)(k=1,2,100),在在100次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)Xk相互獨立，且相互獨立，且E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,100)200(1515

20、 . 110021001001 XXkk)1 , 0( N 由由萊維中心極限定理萊維中心極限定理 37 220180 XP1)33. 1(2 有有180顆到顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的概率顆炮彈命中目標(biāo)的概率)1 , 0()200(151NX 33. 11520033. 1XP19082. 02 8164. 0 1)(2|, ) 1 , 0( xxXPNX 38二、棣莫佛拉普拉斯中心極限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心極限定理證明證明由于由于,1 nkknXX則則分布律為分布律為分布的隨機變量分布的隨機變量一一是相互獨立的、服從同是相互獨立的、服從同其中其中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(

21、1 ippiXPiik),(pnBXn 39,)(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk xpnpnpXPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1,1 nkknXX分布律為分布律為分布的隨機變量分布的隨機變量一一是相互獨立的、服從同是相互獨立的、服從同其中其中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(1 ippiXPiik根據(jù)萊維中心極限定理得根據(jù)萊維中心極限定理得dtexnnXPtxniin21221lim xtxt).(de2122 40,)(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk xpnpnpXPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1

22、(lim1,1 nkknXX分布律為分布律為分布的隨機變量分布的隨機變量一一是相互獨立的、服從同是相互獨立的、服從同其中其中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(1 ippiXPiik根據(jù)萊維中心極限定理得根據(jù)萊維中心極限定理得 xtxt).(de2122 41 xtxt).(de2122 棣莫佛拉普拉斯中心極限定理棣莫佛拉普拉斯中心極限定理表明表明:當(dāng)當(dāng)n充分大時充分大時, )1 , 0()1(NpnpnpXn xpnpnpXPnn)1(lim)1(,(pnpnpNXn 即即),(pnBXn 42 正態(tài)分布是二項分布的極限分布正態(tài)分布是二項分布的極限分布, ,當(dāng)當(dāng)n充分充分大時大時,

23、, 可以利用下面公式計算二項分布的概率可以利用下面公式計算二項分布的概率)(21mXmPn )1()1()1(21pnpnpmpnpnpXpnpnpmPn )1()1(2pnpnpmpnpnpm ),(pnBXn 43Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8151kkX) 51 , 0 (N) , (2nnN1, 1,kX(1,2,15)k kk151, 0 1522nn 44例例4 某工廠有某工廠有200臺同類型的機器臺同類型的機器, ,每臺機器工作時需每臺機器工作時需要的電功率為要的電功率為Q千瓦千瓦, ,由于工藝等原因由于工藝等原因, ,每臺機器

24、的實每臺機器的實際工作時間只占全部工作的際工作時間只占全部工作的75%,各臺機器工作是相互各臺機器工作是相互獨立的獨立的, ,求求: :(1)(1)任一時刻有任一時刻有144至至160臺機器正在工作的概率臺機器正在工作的概率. .(2)(2)需要供應(yīng)多少電功率可以保證所有機器正常工作需要供應(yīng)多少電功率可以保證所有機器正常工作的概率不少于的概率不少于0.99.解解 ( (1) )設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X表示表示200臺任一時刻正在工作的機臺任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)，器的臺數(shù)， 則則 X B(200,0.75) .由由棣莫佛拉普拉斯中心極限定理棣莫佛拉普拉斯中心極限定理, 有有n = =200,

25、 ,p = =0.75, ,q = =0.25, ,np = =150, ,npq = =37.5)5 .37,150( NX 45 5 .371501445 .37150160160144 Xp)98. 1()63. 1 ( 1)98. 1()63. 1( 197615. 094845. 0 9246. 0 (1)(1)任一時刻有任一時刻有144至至160臺機器正在工作的概率臺機器正在工作的概率. .)5 .37,150( NX )(1)(),1 , 0(xxNX 46( (2) )設(shè)任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)不超過設(shè)任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)不超過m,則則 99. 00 mXP99.

26、05 .3715005 .37150 m 5 .245 .37150 99. 05 .37150 m 9901. 0)33. 2( 33. 25 .37150 m3 .164 m165 m)5 .37,150( NX 由由3 原則知原則知，0)(3 aa 時時0 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得 33. 25 .37150 m 47例例4 某工廠有某工廠有200臺同類型的機器臺同類型的機器, ,每臺機器工作時需每臺機器工作時需要的電功率為要的電功率為Q千瓦千瓦, ,由于工藝等原因由于工藝等原因, ,每臺機器的實每臺機器的實際工作時間只占全部工作的際工作時間只占全部工作的75%,

27、各臺機器工作是相互各臺機器工作是相互獨立的獨立的, ,求求: :(1)(1)任一時刻有任一時刻有144至至160臺機器正在工作的概率臺機器正在工作的概率. .(2)(2)需要供應(yīng)多少電功率可以保證所有機器正常工作需要供應(yīng)多少電功率可以保證所有機器正常工作的概率不少于的概率不少于0.99.解解 ( (1) )設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X表示表示200臺任一時刻正在工作的機臺任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)，器的臺數(shù)， 則則 X B(200,0.75) .由由棣莫佛拉普拉斯中心極限定理棣莫佛拉普拉斯中心極限定理, 有有)5 .37,150( NX 48 5 .371501445 .3715016016014

28、4 Xp)98. 1()63. 1 ( 1)98. 1()63. 1( 197615. 094845. 0 9246. 0 (1)(1)任一時刻有任一時刻有144至至160臺機器正在工作的概率臺機器正在工作的概率. . 49查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得( (2) )設(shè)任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)不超過設(shè)任一時刻正在工作的機器的臺數(shù)不超過m,則則 99. 00 mXP99. 05 .3715005 .37150 m 5 .245 .37150 99. 05 .37150 m 9901. 0)33. 2( 33. 25 .37150 m3 .164 m165 m0 50思考題思考題 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人