3空間直角坐標(biāo)系--教師

1、A長春三校高中數(shù)學(xué)組必修24.3空間直角坐標(biāo)系仁愛之心對學(xué)生敬畏之心做教育11.空間向量的有關(guān)概念空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫作空間向量.相等向量：方向相同且模相等的向量.共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量.共面向量：平行于同一個平面的向量.2 .共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理a 是一個非零向量，若存在一個實(shí)數(shù)人使得 b=掃，則向量 b 與非零向量 a 共線.推論 如圖所示，點(diǎn) P 在 I 上的充要條件是：O)P=OA+ ta其中 a 叫直線 I 的方向向量，t R，在 I 上取 AB= a,則可化為OPO)P=(1 t)O)

2、A+tO)B.(2)平面向量定理的向量表達(dá)式：a =?1e1 代，其中 x, y R, e1, e2為不共線向量，推論的表達(dá)式為MIP = xMlA + yMfe 或?qū)臻g任意一點(diǎn) 0,有 O)P=OM+ xMlA + yMfe 或OP=xOM+yOA+ zOB,其中 x+ y+ z= 1.(3)空間向量基本定理 如果向量 e1, e?, 3是空間三個不共面的向量，a 是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)入，?,心，使得 a=入 e1+ e2+加3.空間中不共面的三個向量e1, e?, e3叫作這個空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1) 數(shù)量積及相關(guān)概念1兩向量的夾角已知兩個非零向

3、量 a, b,在空間任取一點(diǎn) 0,作 OA = a, 0B= b,則/ AOB 叫作向量 a 與 b 的夾角， 記作a, b,其范圍是 0w a, b=才，則稱 a 與 b 互相垂直，記作 a丄b.2兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a, b,則|a|b|cos a, b叫作向量 a, b 的數(shù)量積，記作 a b,即 a b= |a|b|cosa, b.(2) 空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律1結(jié)合律：( (掃掃) )b=Xa b) );2交換律：a b= b a;3分配律：a (b+ c) = a b+ a c.4.空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(1) 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a = (a1, a2, a3),

4、 b= (b1, b2, b3),則 a b= atbtb2+ a3b3.知識梳理=OA+ tAB 或A長春三學(xué)校高中數(shù)學(xué)組必修24.3空間直角坐標(biāo)系仁愛之心對學(xué)生敬畏之心做教育I(2) 共線與垂直的坐標(biāo)表示A長春三學(xué)校高中數(shù)學(xué)組必修24.3空間直角坐標(biāo)系仁愛之心對學(xué)生敬畏之心做教育I設(shè) a = (ai, a2, a3), b= (bi, b?, b3),則 aIIb? a= ?b? ai=入ba2=入2, a3=入3(入 R), a丄b? a = 0? aibi+ a2b2+ a3b3= 0(a, b 均為非零向量).模、夾角和距離公式設(shè) a = (ai, a2, a3), b= (bi,

5、b2, b3),則 |a | =w/aa=、.ai+ a2+ a3,a b =aibi+ qb +a3b3|a|b|= a1 2 3+ a2+ a3- bi+ b2+ 設(shè) A(ai, bi, ci), B(a2, b?, C2),貝 H dAB= |AB|= J(a2 ai f+ (b2 bi(C2 Ci f.典題精析題型一空間向量的線性運(yùn)算 【例 i 在如圖所示的三棱錐 0ABC 中，M , N 分別是 0A, BC 的中點(diǎn)，G 是厶 ABC 的重心，用基向量 OA,0B, 0C 表示 MG , 0G.1 求證：E、F、G、H 四點(diǎn)共面；2 求證：BDI平面 EFGH ;3 設(shè) M 是 EG

6、 和 FH 的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)0,有 0M = (0A+ 0B + 0C + 0D).cos a, bA長春三學(xué)校高中數(shù)學(xué)組必修24.3空間直角坐標(biāo)系仁愛之心對學(xué)生敬畏之心做教育I思維啟迪：禾 U 用空間向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算表示即可.解 MG = IMA + AG= gOA + 3AN23=10A+|(0N- 0A)1TIiT T T=|0A+ 3【|(|(0B + 0C)-0AiTiTiT=-$0A+30B+30C.TTTiTiTiT0G=0M+MG=i0A-i0A+30B+i - i - i -=30A+0B+30C.題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用【例【例2】已知 E、F、G、H

7、 分別是空間四邊形30C.二各二陽仔林 高中數(shù)學(xué)組 必修4.3空間直角坐標(biāo)系仁愛之心對學(xué)生敬畏之心做教育54 .如圖所示,已知PA 丄平面 ABC,/ ABC = 120 PA= AB= BC = 6,貝 U PC 等于(A . 6 2答案 C5.如圖，在四面體O ABC 中，OA= a, OB = b, OC = c, D 為 BC 的中點(diǎn)，E 為 AD的中點(diǎn)，貝 U OE =題型三 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例 3】已知空間三點(diǎn) A(0,2,3), B( 2,1,6), C(1 , - 1,5).(1)求以 AB, AC 為邊的平行四邊形的面積；若|a|= ；3，且 a 分別與 AB, AC

8、垂直，求向量 a 的坐標(biāo).思維啟迪：利用兩個向量的數(shù)量積可以求向量的模和兩個向量的夾角.解(1) 7,3(2)向量 a 的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1,- 1,- 1).-基礎(chǔ)演練1.已知 O, A, B, C 為空間四個點(diǎn)，又 OA, OB , OC 為空間的一個基底，則A . O, A,B, C 四點(diǎn)不共線B .O, A,B, C 四點(diǎn)共面，但不共線C.O, A,B, C 四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線D . O, A,B, C 四點(diǎn)不共面答案D2 .已知 a= ( H 1,0,2), b= (6,2 卩1,2，若1A . 2, 2C. - 3,2答案 Aa / b,貝 U 入與卩的值可以是(1-3

9、,2,23 .如圖所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB= 2, E 為 PB 的中點(diǎn),cosDP,Al=撐，若以DA, DC, DP 所在直線分別為 x, y, z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E 的坐標(biāo)為A . (1,1,1)32C. 1 , 1,B.D . (1,1,2)答案 A)2C.仁愛之心對學(xué)生敬畏之心做教育6答案 -2 或丄7.在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4,1,9)、B(10 , - 1,6)、C(x,4,3)為頂點(diǎn)的厶 ABC 是以 BC 為斜邊的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù) x 的值為_.答案 21 女口圖所示，ABCD AiBiCiDi中，ABCD 是平行四邊形若 A

10、E = EC,AIF= 2FD，若 AB = b, AD =c, AA1= a,試用 a, b, c 表示 EF.解 EF = EA+AF=如+ c)1 1+ 3 伍 + 2c) = 3( a b+ c).2 如圖在三棱柱 ABC A1B1C1中，D 為 BC 邊上的中點(diǎn)，試證:AJB/平面 AC1D.8口 r6 .若向量 a= (1,入 2), b= (2, - 1,2)且 a 與 b 的夾角的余弦值為 9 貝卩_仁愛之心對學(xué)生敬畏之心做教育7(1)求 AC1的長;求 BD1與 AC 夾角的余弦值.解(1) AC1的長為_66 .3 如圖所示，平行六面體1,且兩兩夾角為 60高中數(shù)學(xué)組必修2

11、4.3空間直角坐標(biāo)系仁愛之心對學(xué)生敬畏之心做教育8長春三學(xué)校1.已知向量 a= (4, 2, 4), b= (6 , - 3,2)，則(a+ b) (a b)的值為_答案 -132 .下列命題：1若 A、B、C、D 是空間任意四點(diǎn)，則有 AB +BC+ CD + DA = 0;2|a |b|= |a+ b|是 a、b 共線的等價條件；3若 a、b 共線，則 a 與 b 所在直線平行；4對空間任意一點(diǎn)0 與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若 0P= xOA + yOB + zOC(其中 x、y、z R),貝 P、A、B、C 四點(diǎn)共面.其中不正確的所有命題的序號為_.答案3.同時垂直于 a = (2,2,1)和 b= (4,5,3)的單位向量是4.如圖所示，在平行六面體 ABCD AiB1C1Di中，M為 AiCi與 BiD1的父點(diǎn).右 AB= a, AD = b, AAi= c,則下列向量中與 BM 相等的向量是()1 1 A . a+ 尹+ c1 1B. 2 a+ 尹+ c1 1C. 2 a 2 b+ c1 1D.尹b+ c答案 A_ 25.如圖所示，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F 分別在 AiD、AC 上，且 Ai