函數(shù)的極限ppt課件

1、 14 函數(shù)的極限函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限極限的通俗定義、極限的幾何意義、極限的部分保號性、極限的準(zhǔn)確定義、左右極限極限的通俗定義、極限的準(zhǔn)確定義、極限的幾何意義、程度漸近線一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量的變化趨勢： x x0，x x0-0，x x0+0，x ，x -，x +0limxxf (x)=A或f (x) A(當(dāng)x x0)函數(shù)極限的通俗定義： 在自變量的某個變化過程中，假設(shè)對應(yīng)的函數(shù)值 f(x)無限接近于某一確定的常數(shù)A，那么這個確定

2、的常數(shù)A就叫做在這一變化過程中函數(shù)f(x)的極限當(dāng)x x0時，f(x)以 A為極限記為分析： 當(dāng)xx0時，f(x) A當(dāng)|x-x0| 0 時，|f (x)-A|能恣意小任給e 0， 當(dāng)|x-x0|小到某一時辰，有|f (x)-A|0， 存在d 0， 使當(dāng)|x-x0| d 時 ，有|f (x)-A|0， d0， x：0|x-x0|d ，有|f (x)-A|e 0limxx函數(shù)極限的準(zhǔn)確定義： 設(shè)函數(shù)f (x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義假設(shè)對于恣意給定的正數(shù)e (不論它多么小)，總存在正數(shù)d，使得對于適宜不等式0|x-x0|d的一切x ，對應(yīng)的函數(shù)值f (x)都滿足不等式|f (x)-A|0，

3、 d0， 使當(dāng)0|x-x0|d 時，有|f (x)-A|e 的幾何意義： 假設(shè) f (x)=A，0limxx因此對于恣意給定的正數(shù)e ，恣意取一正數(shù)d ， 當(dāng)0|x-x0|d 時，都有|f (x)-A|=|c-c|=0e成立，所以舉例： 證明: 這里|f(x)-A|=|c-c|=0，.lim0ccxx= 例 1 證明0limxxc=c成立|f (x)- A|=|x- x0| e當(dāng) 0|x- x0| d=e 時，總可取d=e ，因此對于恣意給定的正數(shù)e ， 能使不等式所以.lim00 xxxx= 證明：這里|f(x)- A|=|x- x0|， 例 2 證明0limxxx=x0|f(x)-1|=|

4、(2x-1)-1|=2|x-1|e ，使當(dāng)0|x-1|d時，有只需 |x-1| 0，d = 0， 2e所以. 1) 12(lim1=-xx 分析： |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，為了使|f(x)-A|0 ， d =e 0 ，所以只需 |x-1|d ，即取d = e |f(x)- 2|=|x-1|e ，使當(dāng)0|x-1|d ，有112-xx |f (x)- 2|= | -2|=|x+1-2|=|x-1|， 要使|f (x)-2|e ，. 211lim21=-xxx 分析：留意函數(shù)在x=1是沒有定義的 但這與函數(shù)在該點是否有極限并無關(guān)系 例 4 證明211lim21=-xxx

5、Ay=f (x)x0O yxA-eA+ex0+dx0-d取0e0(或 A0(或f(x)0， 取正數(shù)e A，根據(jù)極限的定義， 對于這個取定的正數(shù)e ，必存在著一個正數(shù)d ，當(dāng)0|x- x0|d 時，不等式 |f(x)-A|e , 或A-e f (x)0 定定理理 1 如果0limxxf(x)=A，而且 A0(或 A0(或f(x)21|A| 定定理理 1 如果0limxxf(x)=A，而且 A0(或 A0(或f(x)0)極限的部分保號性： 證明： 設(shè)f(x)0 假設(shè)上述結(jié)論不成立，即設(shè)A0， 那么由定理 1 就有 x0 的某一去心鄰域 ， 在該鄰域內(nèi) f(x)0， d0， x： x0- d xx0

6、，有|f (x)-A|+=0， X 0， x: |x|X，有 | f (x)-A|X的一切x，對應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|e，那么常數(shù)A叫做函數(shù)f (x)當(dāng)x 時的極限極限的準(zhǔn)確定義： 結(jié)論：Axfx=)(lim)(limxfx-Axfxx=+)(lim00y=f (x)O xy-XXA-eA+eA極限xlimf (x)=A 的定義的幾何意義：所以 01lim=xx 證明：. 01ex解不等式得 ，eX時，要證存在正數(shù)X， 分析：設(shè)分析：設(shè)e是恣意給定的正數(shù)是恣意給定的正數(shù)由于對e0， X= ，e1使當(dāng)|x|X時，有 例 7 證明xlimx1=0程度漸近線：直線y=0是函

7、數(shù)y = 的圖形的程度漸近線x1知 01lim=xxxyO11xy1=假設(shè) ，cxfx=)(limOxy p 2p2y=arctan x 例如，函數(shù)y=arctanx的圖形的程度漸近線有兩條：那么直線y=c是函數(shù)y=f (x)的 圖形的程度漸近線普通地，2p=y2p-=y和5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w

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