數(shù)值計算方法講稿7

1、第四章 插 值 法 1 引言問題的提出 在實際問題中常遇到這樣的函數(shù) ,其在某個區(qū)間 上是存在的。但是,通過觀察或測量或試驗只能得到在區(qū)間上有限個離散點上的函數(shù)值或者的函數(shù)表達式是已知的,但卻很復雜而不便于計算,希望用一個簡單的函數(shù)來描述它。插值問題的數(shù)學提法:已知函數(shù)在個點上的函數(shù)值,求一個多項式,使其滿足,。即要求該多項式的函數(shù)曲線要經(jīng)過上已知的這個點同時在其Y它點上估計誤差為。x 當時,求一次多項式,要求通過兩點yx當時,求二次多項式,要求通過三點yx 2.拉格朗日插值公式2-1插值多項式的存在唯一性過n+1個點，作多項式函數(shù)可構造（n+1）(n+1)線性方程組確定參數(shù) 要證明插值多項式

2、存在唯一，只要證明參數(shù)存在且唯一，即只要證明其系數(shù)行列式不為零即可。系數(shù)行列式為： 此為范德蒙行列式。利用行列式性質(zhì)可得 由于時，故所有因子，于是。即插值多項式存在唯一。2-2線性插值與拋物線插值一、 線性插值（一次插值）1.問題的提法已知函數(shù)在區(qū)間的端點上的函數(shù)值，求一個一次函數(shù)使得。其幾何意義是已知平面上兩點,求一條直線過該已知兩點。yx2.插值函數(shù)和插值基函數(shù)由直線的點斜式公式可知：把此式按照和寫成兩項： （兩點式），記 ，并稱它們?yōu)橐淮尾逯祷瘮?shù)。該基函數(shù)的特點如下表：從而,此形式稱之為拉格朗日型插值多項式。其中,插值基函數(shù)與、無關，而由插值結點、所決定。一次插值多項式是插值基函數(shù)的線

3、性組合,相應的組合系數(shù)是該點的函數(shù)值、。二、 二次插值多項式(拋物線插值)1.問題的提出已知函數(shù)在點上的函數(shù)值 ,。求一個次數(shù)不超過二次的多項式,使其滿足,。其幾何意義為:已知平面上的三個點 ，,求一個二次拋物線,使得該拋物線經(jīng)過這三點。yx2.插值基本多項式（構造插值基函數(shù)）有三個插值結點,構造三個插值基本多項式，要求滿足：(1)基本多項式為二次多項式；(2)它們的函數(shù)值滿足下表：100010001因為,故有因子,而其已經(jīng)是一個二次多項式,僅相差一個常數(shù)倍,可設,又因為，故得：,從而 , 同理可得到 ，。3.拉格朗日型二次插值多項式由前述，拉格朗日型二次插值多項式, 是三個二次插值基函數(shù)多項

4、式的線性組合,因而其是次數(shù)不超過二次的多項式,且滿足 。三、拉格朗日型n次插值多項式1. 問題的提出：已知函數(shù)在n+1個不同的點上的函數(shù)值分別為,求一個次數(shù)不超過n的多項式,使其滿足,，即n+1個不同的點可以唯一決定一個n次多項式。2. 插值基函數(shù)過n+1個不同的點分別決定n+1個n次插值基函數(shù)。每個插值基本多項式滿足：(1).是n次多項式;(2).，而在其它n個點。由于，故有因子因其已經(jīng)是n次多項式，故而僅相差一個常數(shù)因子。令: 由，可以定出，進而得到： 令 則 于是可改寫成 3.n次拉格朗日型插值多項式是n+1個n次插值基本多項式的線性組合，相應的組合系數(shù)是。即是一個次數(shù)不超過n的多項式,

5、且滿足, 。例求過點(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項式。解：用4次插值多項式對5個點插值。，; , , , , ;所以 四、拉格朗日插值多項式的截斷誤差我們在a,b上用多項式來近似代替函數(shù)f(x),其截斷誤差記作， 。 x 下面來估計截斷誤差：定理1：設函數(shù)y=f(x)的n階導數(shù)y=f(n)(x)在a,b上連續(xù)，y=f(n+1)(x)在(a,b)上存在；插值節(jié)點為ax0x1xnb,是n次拉格朗日插值多項式；則對任意xa,b有： 其中x(a,b),x依賴于x；證明：由插值多項式的要求：=0， k=0,1,2,n; 設其中K(x)是待定的；固定xa,b且xxk， k=0,1,n;構造函數(shù) 則H(xk)=0，k=0,1,2,n，且所以，H(t)在a,b上有n+2個零點，反復使用羅爾中值定理：存在x(a,b),使H(n+1)(x)=0;因是n次多項式，故而是首項系數(shù)為1的n+1次多項式，故有于是得：所以 得證。設 ,則 易知，線性插值的截斷誤差為 ; 二次插值的截斷誤差為: 例: 用lg10=1,