電磁場于電磁波指導(dǎo)書-5

1、第五章 恒定磁場重點和難點該章重點及處理方法與靜電場類似。但是磁感應(yīng)強度的定義需要詳細(xì)介紹，尤其要強調(diào)磁場與運動電荷之間沒有能量交換，電流元受到的磁場力垂直于電流的流動方向。說明磁導(dǎo)率與介電常數(shù)不同，磁導(dǎo)率可以小于1，而且大多數(shù)媒質(zhì)的磁導(dǎo)率接近1。講解恒定磁場時，應(yīng)與靜電場進(jìn)行對比。例如，靜電場是無散場，而恒定磁場是無旋場。在任何邊界上電場強度的切向分量是連續(xù)的，而磁感應(yīng)強度的法向分量是連續(xù)的。重要公式磁感應(yīng)強度定義：根據(jù)運動電荷受力：根據(jù)電流元受力：根據(jù)電流環(huán)受力：真空中恒定磁場方程：積分形式：微分形式：已知電流分布求解電場強度：1，2，畢奧薩伐定律。3，安培環(huán)路定律。面電流產(chǎn)生的矢量磁位及

2、磁感應(yīng)強度分別為線電流產(chǎn)生的矢量磁位及磁感應(yīng)強度分別為矢量磁位滿足的微分方程：無源區(qū)中標(biāo)量磁位滿足的微分方程：媒質(zhì)中恒定磁場方程：積分形式：微分形式：磁性能均勻線性各向同性的媒質(zhì)：場方程積分形式：場方程微分形式：矢量磁位微分方程：矢量磁位微分方程的解：恒定磁場邊界條件：1，。對于各向同性的線性媒質(zhì)，2，。對于各向同性的線性媒質(zhì)，題 解5-1 在均勻線性各向同性的非磁性導(dǎo)電媒質(zhì)（即）中，當(dāng)存在恒定電流時，試證磁感應(yīng)強度應(yīng)滿足拉普拉斯方程，即。證 在均勻線性各向同性的非磁性導(dǎo)電媒質(zhì)中，由及，得對等式兩邊同時取旋度，得但是，考慮到恒等式，得又知，由上式求得。5-2 設(shè)兩個半徑相等的同軸電流環(huán)沿x軸放

3、置，如習(xí)題圖5-2所示。試證在中點P處，磁感應(yīng)強度沿x軸的變化率等于零，即Paaaz習(xí)題圖5-2xyo解 設(shè)電流環(huán)的半徑為a，為了求解方便，將原題中坐標(biāo)軸x換為坐標(biāo)軸z，如圖示。那么，中點P的坐標(biāo)為（z，0，0），電流環(huán)位于處，電流環(huán)位于處。根據(jù)畢奧沙伐定律，求得電流環(huán)在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為取圓柱坐標(biāo)系，則，因此 同理可得，電流環(huán)在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為那么，P點合成磁感應(yīng)強度為 由于和均與坐標(biāo)變量z無關(guān)，因此P點的磁感應(yīng)強度沿z軸的變化率為零，即ao aaPxyACB習(xí)題圖5-35-3 已知邊長為a的等邊三角形回路電流為I，周圍媒質(zhì)為真空，如習(xí)題圖5-3所示。試求回路中心點的磁感應(yīng)強度。解

4、 取直角坐標(biāo)系，令三角形的AB邊沿x 軸，中心點P位于y軸上，電流方向如圖示。由畢奧沙伐定律，求得AB段線電流在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為式中，即由于軸對稱關(guān)系，可知BC段及AC段電流在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度與AB段產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度相等。因此，P點的磁感應(yīng)強度為5-4 已知無限長導(dǎo)體圓柱半徑為a，通過的電流為I，且電流均勻分布，試求柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強度。解 建立圓柱坐標(biāo)系，令圓柱的軸線為Z軸。那么，由安培環(huán)路定律得知，在圓柱內(nèi)線積分僅包圍的部分電流為，又，則即在圓柱外，線積分包圍全部電流，那么即習(xí)題圖5-5(b)YXrYXcabJY習(xí)題圖5-5(a)5-5 已知無限長導(dǎo)體圓柱的半徑為a，其內(nèi)部存在的圓

5、柱空腔半徑為b，導(dǎo)體圓柱的軸線與空腔圓柱的軸線之間的間距為c，如習(xí)題圖5-5（a）所示。若導(dǎo)體中均勻分布的電流密度為，試求空腔中的磁感應(yīng)強度。解 柱內(nèi)空腔可以認(rèn)為存在一個均勻分布的等值反向電流，抵消了原有的電流而形成的。那么，利用疊加原理和安培環(huán)路定律即可求解。已知半徑為，電流密度為的載流圓柱在柱內(nèi)半徑r處產(chǎn)生的磁場強度H1為求得，或?qū)憺槭噶啃问綄?yīng)的磁感應(yīng)強度為同理可得半徑為，電流密度為的載流圓柱在柱內(nèi)產(chǎn)生的磁場強度為對應(yīng)的磁感應(yīng)強度為上式中的方向及位置如習(xí)題圖5-5（b）示。因此，空腔內(nèi)總的磁感應(yīng)強度為5-6 兩條半無限長直導(dǎo)線與一個半圓環(huán)導(dǎo)線形成一個電流回路，如習(xí)題圖5-6所示。若圓環(huán)半

6、徑r =10cm，電流I = 5A，試求半圓環(huán)圓心處的磁感應(yīng)強度。rI0X習(xí)題圖5-6Y解 根據(jù)畢奧沙伐定律，載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強度為 設(shè)半圓環(huán)圓心為坐標(biāo)原點，兩直導(dǎo)線平行于X軸，如圖所示。那么，對于半無限長線段，因此，在圓心處產(chǎn)生的磁場強度為同理線段在圓心處產(chǎn)生的磁場強度為對于半圓形線段, , 因此，它在半圓心處產(chǎn)生的磁場強度為 那么，半圓中心處總的磁感應(yīng)強度為5-7 若在處放置一根無限長線電流，在y = a處放置另一根無限長線電流，如習(xí)題圖5-7所示。試YZ-aaI0IX習(xí)題圖5-7求坐標(biāo)原點處的磁感應(yīng)強度。解 根據(jù)無限長電流產(chǎn)生的磁場強度公式，求得位于處的無限長線電流在原點產(chǎn)生的磁場為位

7、于處的無限長線電流產(chǎn)生的磁場為因此，坐標(biāo)原點處總磁感應(yīng)強度為yz-w/2w/2IodxJxP5-8 已知寬度為W的帶形電流的面密度，位于z = 0平面內(nèi)，如習(xí)題圖5-8所示。試求處的磁感應(yīng)強度。dyyzyo習(xí)題圖5-8(a)習(xí)題圖5-8(b)解 寬度為，面密度為的面電流可看作為線電流，其在P點產(chǎn)生的磁場為 由對稱性可知，z方向的分量相互抵消，如習(xí)題圖5-8（b）所示，則 YZPah0IX習(xí)題圖5-9因此，在處的磁感應(yīng)強度為5-9 已知電流環(huán)半徑為a，電流為I，電流環(huán)位于z = 0平面，如習(xí)題圖5-9所示。試求處的磁感應(yīng)強度。解 由畢奧沙伐定律得因為處處與正交，則即由對稱性可知，P點磁場強度只有

8、分量，所以因此，處的磁感應(yīng)強度為zzdr05-10 當(dāng)半徑為a的均勻帶電圓盤的電荷面密度為，若圓盤繞其軸線以角速度旋轉(zhuǎn)，試求軸線上任一點磁感應(yīng)強度。解 如習(xí)題圖 5-10所示，將圓盤分割成很多寬度為的載流圓環(huán)dI，它在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度，根據(jù)題5-9結(jié)果,得知因為習(xí)題圖5-10因此5-11 已知位于y = 0平面內(nèi)的表面電流，試證磁感應(yīng)強度B為0XYZ習(xí)題圖5-11解 有兩種求解方法。解法一：將平面分割成很多寬度為的無限長線電流，那么由題5-8結(jié)果獲知，當(dāng)時因此，積分求得同理，當(dāng)時，那么，積分求得解法二：由題5-8知，即 令y 0的區(qū)域中磁場強度為H2，那么，在的邊界上，。由此求得 ，因此5-

9、12 已知N邊正多邊形的外接圓半徑為a，當(dāng)通過的電流為I時，試證多邊形中心的磁感應(yīng)強度為IIIO習(xí)題圖5-12式中為正多邊形平面的法線方向上單位矢量。若時，中心B值多大？解 如習(xí)題圖5-12所示，載流線圈每邊在中心O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為所以，N條邊在中心O處產(chǎn)生的磁場為 當(dāng)時，此結(jié)果即是半徑為的電流環(huán)在中心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。5-13 若表面電流位于平面內(nèi)，試證式中為在處取極值的一維函數(shù)。解 由安培環(huán)路定理得知，因，再利用斯托克斯定理得由函數(shù)的定義可知，一維函數(shù)的量綱為長度的倒數(shù)。因此，為體電流密度,即上式對于任何表面都成立，因此被積函數(shù)為零，即5-14 若位于圓柱坐標(biāo)系中處的無限長線電流的電

10、流為I，方向與正Z軸一致，試證磁感應(yīng)強度為解 由函數(shù)的定義可知，為二維函數(shù)在圓柱坐標(biāo)系中的表示，其量綱為面積的倒數(shù)。因此，為位于處的z方向的電流密度。那么由安培環(huán)路定律得知，即再利用斯托克斯定理，求得 上式對于任何表面均成立，因此被積函數(shù)為零，即5-15 若無限長的半徑為a的圓柱體中電流密度分布函數(shù)，試求圓柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強度。解 取圓柱坐標(biāo)系，如習(xí)題圖5-15所示。當(dāng)時，通過半徑為r的圓柱電流為oxyz習(xí)題圖 5-15由求得當(dāng)時由求得5-16 證明矢量磁位A滿足的方程式的解為（提示：利用函數(shù)在處的奇點特性）。證明 已知因此xyo習(xí)題圖 5-175-17 已知空間y 0區(qū)域為磁性媒質(zhì)，其相對磁導(dǎo)

11、率區(qū)域為空氣。試求：當(dāng)空氣中的磁感應(yīng)強度時，磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強度B；當(dāng)磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強度時，空氣中的磁感應(yīng)強度B0。解 根據(jù)題意，建立的直角坐標(biāo)如圖5-17所示。 設(shè)磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強度為已知在此邊界上磁感應(yīng)強度的法向分量連續(xù)，磁場強度的切向分量連續(xù)。因此，求得，即 設(shè)空氣中的磁感應(yīng)強度為則由邊界條件獲知，求得，即5-18 已知均勻繞制的長螺線管的匝數(shù)為N，長度為L，半徑為a，電流為I，如習(xí)題圖5-18(a)所示。試求： 螺線管內(nèi)部中點o處的磁感應(yīng)強度；orRxzyPIdl習(xí)題圖5-18(b)f 螺線管外部P點的磁感應(yīng)強度，圖中。PoNL2ad習(xí)題圖5-18(a)解 螺線管可看作是線密

12、度為的圓柱面電流，如圖習(xí)題圖5-18(b)所示。由題5-9的結(jié)果得知，電流為的電流環(huán)在中點o處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為那么，螺線管在中點o處產(chǎn)生的總磁感應(yīng)強度為 為了計算螺線管外的場強，可將螺線管看作為由N個同軸電流環(huán)組成。已知在xoy平面內(nèi)，單個電流環(huán)I在點產(chǎn)生的矢量磁位為 式中，。考慮到，那么因此 當(dāng)電流環(huán)位于xoy平面時，r = d，那么，在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為考慮到，對于P點而言，可以認(rèn)為每個電流環(huán)均處于xoy平面內(nèi)。因此，P點磁感應(yīng)強度增加N倍，即5-19 根據(jù)式（5-2-9b），證明。證明 式（5-2-9b）為則利用高斯定理，同時考慮到，求得但由電流連續(xù)性原理獲知，。因此，。5-20 證

13、明在邊界上矢量磁位A的切向分量是連續(xù)的。解 已知磁通與矢量磁位A的關(guān)系為 類似證明磁場強度的切向分量是連續(xù)的方法，緊靠邊界作一個閉合矩形方框。當(dāng)方框面積趨近零時，穿過方框的磁通也為零，那么求得這樣，由此獲知，即邊界上矢量磁位的切向分量是連續(xù)的。5-21 當(dāng)磁導(dǎo)率為的磁棒插入電流為I的螺線管中，若單位長螺線管的匝數(shù)為N，磁棒的半徑為a，螺線管的內(nèi)徑為。試求：及區(qū)域中的磁感應(yīng)強度B，磁場強度H及磁化強度；磁棒中的磁化電流密度及磁棒表面的表面磁化電流密度。BACDmz習(xí)題圖 5-22解 根據(jù)題意，螺線管中磁棒位置如圖5-22所示。取圓柱坐標(biāo)系，且令螺線管的軸線與z軸一致。作一個矩形閉合回路，其中AB

14、和CD邊垂直于螺線管壁，AD邊緊靠在螺線管外壁，BC邊平行于螺線管內(nèi)壁，其長度為。沿該矩形閉合回路積分，由安培環(huán)路定律知可以認(rèn)為，螺線管中的磁場強度方向均與螺線管的軸線平行，螺線管外附近無漏磁。那么當(dāng)矩形回路的BC邊位于磁棒內(nèi)時，若令磁棒內(nèi)的磁場強度為H1，則上述閉合積分變?yōu)橐虼?，磁棒?nèi)的磁場強度為磁棒內(nèi)的磁感應(yīng)強度為磁棒內(nèi)的磁化強度為若令磁棒與螺線管壁之間的磁場強度為H2，則上述閉合積分變?yōu)?磁棒與螺線管壁之間的磁感應(yīng)強度為磁棒與螺線管壁之間磁化強度為 磁棒中的磁化電流密度為磁棒側(cè)面的表面磁化電流密度為5-22 已知半徑為a的鐵氧體球內(nèi)部的磁化強度，試求：球內(nèi)磁化電流密度及球面的表面磁化電流密度；磁化電流在球心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B。解 球內(nèi)磁化電流密度為球面的表面磁化電流密度為由題5-9的結(jié)果獲知，位于處寬度為的環(huán)行電流在球心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度那么，整個球面上磁化電流在球心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為5-23 當(dāng)磁矩為25Am2的磁針位于磁感應(yīng)強度B = 2T的均勻磁場中，試求磁針承受的最大轉(zhuǎn)矩。解 當(dāng)磁矩方向與磁感應(yīng)強度方向垂直