《完全平方公式（1）》名師教案(人教版八年級上冊數(shù)學）

1、第十四章 整式的乘法與因式分解14.2 乘法公式 第2課時14.2.1完全平方公式陳麗一、教學目標一學習目標1.會推導(dǎo)完全平方公式；2.完全平方公式結(jié)構(gòu)特征；3.會用完全平方差公式進行計算.二學習重點完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.三學習難點 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 ,靈活運用完全平方公式.二、教學設(shè)計一課前設(shè)計1.預(yù)習任務(wù)1閱讀類任務(wù)：兩數(shù)和差的平方等于這兩個數(shù)的平方和再加減它們積的2倍.即 2模仿類任務(wù)： 例：原式= =10404原式= =-100-100+ =9801【設(shè)計意圖】通過數(shù)的簡便運算引起學生的興趣 ,同時穩(wěn)固多項式乘多項式的乘法運算.3探索歸納類任務(wù)：計算以下各式.觀察上面的計

2、算結(jié)果 ,你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：兩數(shù)和差的平方等于這兩個數(shù)的平方和再加減它們積的2倍.結(jié)論：【設(shè)計意圖】由數(shù)的運算過度到式的運算 ,符合學生的認知規(guī)律 ,表達由特殊到一般的數(shù)學思想.4探究類任務(wù)：多項式添一項就是完全平方式 ,那么增添項為 【設(shè)計意圖】深刻理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征. 2.預(yù)習自測1【知識點】完全平方公式【解題過程】解：×3+32 【思路點撥】兩個因式都是完全相同的二項式 , ,具備完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 ,運用完全平方公式進行計算.【答案】2 【知識點】完全平方公式【解題過程】解： + =【思路點撥】 兩數(shù)差的平方：具備完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 ,因此運用公式進行計算【答案

3、】3以下多項式乘法中 ,能用完全平方公式計算的是 A. B. C. D. 【知識點】理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征【解題過程】A C. D.都符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征 ,B可以變形為完全平方公式.【思路點撥】相乘的兩個兩項式 ,兩項都互為相反數(shù) ,可以變形為兩數(shù)和的平方 ,符合完全平方公式的結(jié)構(gòu) ,是否符合 ,不能只看外表 ,要看實質(zhì)【答案】B 4 【知識點】完全平方公式【思路點撥】多項式的乘法積要得到三項式 ,且是完全平方積的形式就對式子進行變形 ,逆用完全平方公式【答案】 (二)課堂設(shè)計1.知識回憶1單項式與單項式相乘 ,利用乘法交換律和結(jié)合律 ,把它們的系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相乘 ,其余字母連

4、同它的指數(shù)不變 ,一起作為積的因式.2多項式與多項式相乘 ,就是用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項 ,再把所得的積相加. 3兩數(shù)和乘以兩數(shù)差等于兩數(shù)的平方差.2.問題探究探究一 完全平方公式的推導(dǎo)活動1 回憶舊知問題1 前面我們學習了整式的乘法 ,知道了多項式與多項式相乘的法那么 ,根據(jù)所學知識 ,計算以下多項式的積 ,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1 23 師生活動：學生計算 ,師生共同分析結(jié)果【設(shè)計意圖】承前啟后 ,為本節(jié)內(nèi)容的引入作鋪墊；讓學生在計算過程中進一步穩(wěn)固多項式的乘法法那么 ,體會多項式乘法與本節(jié)內(nèi)容的關(guān)系 ,從一般到特殊；三個算式既具有代表性也具有層次性 ,可以為抽象概括出一般的

5、結(jié)論奠定根底. 活動2 整合舊知 追問1：上述問題中相乘的兩個多項式有什么共同特點？追問2：相乘的兩個多項式的各項與它們的積中的各項有什么關(guān)系？追問3：你能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用式子表示出來嗎？追問4：你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行推導(dǎo)嗎？師生活動：學生觀察并獨立思考 ,嘗試著進行概括 ,發(fā)現(xiàn)相乘的兩個多項式均為相同的兩數(shù)和差的形式 ,即兩數(shù)和差的平方 ,積恰好是兩數(shù)的平方和再加上減去兩數(shù)乘積的2倍.用一般化的式子可以表示為 ,運用多項式的乘法法那么便可以推導(dǎo)這公式.【設(shè)計意圖】讓學生經(jīng)歷具體-抽象的過程 ,體會研究數(shù)學問題從具體到抽象的思想方法 ,體會從特殊到一般的數(shù)學思想.探究二 理解完全平方公式 活動1

6、理解完全平方公式前面我們研究的式子稱為完全平方公式 ,你能將完全平方公式用文字語言表述嗎？師生活動：學生答復(fù)以下問題 ,相互補充【設(shè)計意圖】讓學生將符號語言轉(zhuǎn)化成文字語言 ,開展學生的數(shù)學語言表達能力；學生在用文字語言表述公式內(nèi)容時 ,可以加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解.活動2 完全平方公式代數(shù)說理和幾何驗證問題2 你能驗證上面你猜測的結(jié)論嗎？方法一：計算方法二：請從一個邊長為a的正方形紙板上剪下一個邊長為b的小正方形 ,如下圖 ,你能根據(jù)圖中的面積說明你猜測的結(jié)論成立嗎？師生活動：教師提出問題 ,學生獨立思考 ,然后小組交流 ,學生代表展示求解過程 ,師引導(dǎo)學生答復(fù)分解問題.【設(shè)計意圖】重視公式的

7、幾何背景 ,可以幫助學生運用幾何直觀理解、解決有關(guān)代數(shù)問題.從而讓學生體會數(shù)形結(jié)合的思想.探究三 完全平方公式的應(yīng)用例1 以下各式中 ,不可以用完全平方公式計算的是 A. B. C. D. 【知識點】平方差公式【解題過程】A C都是一個數(shù)與它的相反數(shù)的乘積 ,能通過變形運用完全平方公式 ,D兩個相同也能用完全平方公式 ,B有相同項有相反項不符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征.【思路點撥】完全平方公式的特征 ,學生穩(wěn)固法那么 ,充分發(fā)揮學生主體性.【答案】B針對練習以下各式相乘 不能用完全平方公式計算的有( )A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個【知識點】完全平方公式的應(yīng)用【解題過程】兩個多項

8、式兩項都互為相反數(shù) ,可以變形為完全相同項 ,符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征中既有相同項 ,也有互為相反數(shù)的項 ,不符合完全平方的結(jié)構(gòu)特征 ,因此選B【思路點撥】完全平方差公式的特點：兩個因式完全相同 ,或者變形后完全相同.【答案】B例2 (1)(3x2 )2 (2) (x+2y)2思考：你知道運用完全平方公式要做到哪幾步嗎？公式中的a和b分別是什么？師生活動：師生共同分析解答 ,教師板書1 ,學生板書2 ,在解答1的過程中 ,教師要引導(dǎo)學生明確此題中哪一個數(shù)或式子相當于公式中的a,b,然后依照公式 ,寫出完全平方后的積 ,再化簡得出結(jié)果【知識點】完全平方公式【解題過程】解：(1) (3x2 )2

9、 = 2(x+2y) 2=或者(x+2y) 2 = 【思路點撥】先觀察式子 ,是否符合完全平方的結(jié)構(gòu)特征 ,然后運用公式進行計算 ,注意乘積2倍的符號【答案】見解題過程【設(shè)計意圖】及時應(yīng)用穩(wěn)固新知識點針對練習 (b+2a)2【知識點】完全平方公式【解題過程】解：(b+2a)2 = = 【思路點撥】先觀察式子 ,是否符合完全平方的結(jié)構(gòu)特征 ,需要用加法交換律對式子進行變形 ,然后運用完全平方公式計算【答案】例3 1 2 【知識點】完全平方公式【解題過程】解：1原式= =×200×1=40401（2） 原式= = = = 【思路點撥】辨析式子的結(jié)構(gòu)特點 ,合理運用平方差公式和完

10、全平方公式【答案】見解題過程【設(shè)計意圖】及時應(yīng)用穩(wěn)固新知識點 ,同時引出公式的廣泛性,揭示數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想.針對練習1 2 【知識點】完全平方公式【解題過程】1=×100×2=9604 2= = 【思路點撥】辨析式子的特點 ,合理進行變形 ,運用完全平方公式進行計算.【答案】見解題過程【設(shè)計意圖】讓學生熟練公式 ,感受整體意識.例4 身邊的數(shù)學學校游泳池準備在暑期進行擴建 ,游泳池平面圖原來是一個邊長為20米的正方形 ,現(xiàn)在方案每邊邊長增加12米 ,請你算一算 ,擴修后的游泳池平面圖的面積是多少平方米？【知識點】完全平方公式 ,【解題過程】=×30×2=1

11、024m2【思路點撥】辨析式子的特點 ,合理進行變形 ,利用完全平方公式計算.【答案】擴修后的游泳池平面圖的面積是1024平方米.【設(shè)計意圖】讓學生在問題情境中探究 ,提高學習興趣 ,增強合作意識 ,體會成功的喜悅.并且感知數(shù)學來源于生活 ,也效勞于生活.3.課堂總結(jié) 知識梳理1理解完全平方公式推導(dǎo)過程 ,理解完全平方公式的代數(shù)表示和幾何意義,完全平方公式:兩數(shù)和差的平方等于兩數(shù)的平方和加上減去兩數(shù)乘積的2倍.符號語言表示為：2完全平方公式結(jié)構(gòu)特征:左邊是二項式和的平方 ,右邊是二項式平方的和加上或減去積的二倍.3會用完全平方差公式進行計算.重難點歸納1完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.2理解完全平方

12、公式的結(jié)構(gòu)特征;3靈活運用完全平方公式.考前須知：公式中的a、b既可以代表數(shù) ,也可以代表式；要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用完全平方公式；有些多項式的乘法外表上不能運用公式 ,但經(jīng)過變形后能運用公式.變形方法：一變符號 ,二變項數(shù) ,三變順序.三課后作業(yè)根底型 自主突破1. 在以下多項式的乘法中 ,能用完全平方公式計算的是 A.(2a+b)(2ab) B. (2a+b) (b2a) C.(2a+b)(-2ab) D. (2ab)(-2ab)【知識點】辨析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征【解題過程】ABD的兩個因式中都有相同項和互為相反數(shù)的項 ,不符合公式特征 ,而C只有相反項 ,但可以經(jīng)過變形變成相同項 ,

13、因此選C【思路點撥】完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是完全相同的兩項式或者互為相反數(shù)的兩項式【答案】C2. 以下運算正確的選項是 Ax+2(x2)=x22 B.(x+3y)= C(x+y)2=x2+y2 D.(3a2)(3a2)=4+9a2 【知識點】平方差公式 ,完全平方公式【解題過程】A符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征 ,但是積應(yīng)該是兩數(shù)的平方差 ,2沒有平方 B符合完全平方公式結(jié)構(gòu)特征 ,正確 ,C是x+y) 一個整體的平方 ,D式子符合平方差公式特征 ,但積不是兩數(shù)的平方差 ,因此選B【思路點撥】平方差公式是兩數(shù)和乘以兩數(shù)差等于兩數(shù)的平方差 ,而完全平方是兩數(shù)和或差的平方等于兩數(shù)的平方和加或減兩數(shù)乘積的

14、兩倍.【答案】B3.2x+ = + + 【知識點】完全平方公式【解題過程】=(±3y)2【答案】 ±3y , ,±【思路點撥】兩數(shù)和的平方要得到三項式 ,直接運用完全平方公式【答案】 ±3y , ,±4.以下各式計算結(jié)果是 的是 A B. C D. 【知識點】完全平方公式【解題過程】= 【思路點撥】觀察式子的特征 ,靈活運用平方差公式.【答案】C5. 假設(shè)( )【知識點】完全平方公式【解題過程】 = , (-4xy)【思路點撥】運用和的平方與差的平方進行計算.【答案】-4xy6.將面積為 的正方形邊長均增加2 ,那么正方形的面積增加 A4 B.

15、 2a+4 C D. 【知識點】完全平方公式【解題過程】 = 【思路點撥】觀察式子的結(jié)構(gòu)特點 ,變形成完全平方公式的根本模型 ,運用公式計算即可.【答案】C能力型 師生共研7.計算： 是完全平方式 ,那么 m的值為 A2 B. C-6 D. 【知識點】完全平方公式【數(shù)學思想】方程思想 ,分類思想【解題過程】 , ·x ·2x·6 【思路點撥】觀察式子的結(jié)構(gòu)特點 ,變形成完全平方公式的根本模型 ,運用公式計算即可【答案】D8. 計算：(m+n+p)(m+np)=【知識點】平方差公式 ,完全平方公式【解題過程】(m+n+p)(m+n-p)=m+n2- p2= - p2

16、【思路點撥】相同項是m+n ,相反項是p,因此把m+n看成公式里的a,p看成公式里的b.=【答案】 - p2探究型 多維突破9.如果多項式 ,那么 的最小值是 A2019 B.2019 C2019 D.2019 【知識點】完全平方公式 ,平方的非負性【解題過程】=0 , 0 , 的最小值為2019.【思路點撥】觀察式子的特征 ,平方的非負性 ,靈活運用完全平方公式【答案】B10. 假設(shè)實數(shù)x.y.z滿足 那么以下式子一定成立的是 A B. C D. 【知識點】平方差公式【數(shù)學思想】方程思想【解題過程】此題主要考查整式的運算.根據(jù)完全平方公式和多項式的乘法法那么可得：可化為- ,即 =0 ,把

17、看作一個整體可得： ,所以 故此題正確答案為D【思路點撥】完全平方公式的逆用【答案】D自助餐1.以下二次三項式是完全平方式的是 A B. C. D. 【知識點】辨析完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征【解題過程】AC的兩個平方項不同號 ,不符合公式特征 ,而D沒有乘積的2倍 ,因此選B【思路點撥】完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征：平方項同號；中間項乘積的2倍【答案】B2. 用完全平方式計算79.8的最正確選擇是 A. B. C. D. 【知識點】完全平方公式【思路點撥】最接近于數(shù)的整十 ,整百【解題過程】79.8=【答案】A3.假設(shè)=,那么a、b的值為 A. B. C. D. 【知識點】完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征【思路點撥】因為一次項系數(shù)為-8 ,所以ab異號 ,又因為b為正數(shù).