【學(xué)習】第4章計算機控制系統(tǒng)的經(jīng)典分析方法

1、School of Automation Engineering整理課件School of Automation Engineering整理課件School of Automation Engineering整理課件sTez TeeeezTTjTTj .)(令令 ，則則 由此可得由此可得 和和 的基本對應(yīng)關(guān)系：的基本對應(yīng)關(guān)系： 映射為映射為 的的，左半平面左半平面映射在映射在平面的單位圓內(nèi)，右半平面則映射在單位圓平面的單位圓內(nèi)，右半平面則映射在單位圓外。外。School of Automation Engineering整理課件T 當當 S 平面的點沿虛軸由平面的點沿虛軸由 變化到變化到 時，

2、時，Z 平平面的相角也從面的相角也從 變化到變化到 ，。School of Automation Engineering整理課件S 平面可分為許多寬度為 的平行帶，其中 的帶稱為，其余均為。22ss s平面中的周期帶與z平面中相對應(yīng)的單位圓 School of Automation Engineering整理課件n等線（等衰減）映射 s平面上的等 垂線，映射到z平面上的軌跡，是以原點為圓心、以 為半徑的圓| eTzSchool of Automation Engineering整理課件等等 線（等頻率）映射線（等頻率）映射 在采樣周期T 確定的情況下，s平面上的等 水平線，映射到 z 平面上的

3、軌跡，是一簇從原點出發(fā)的射線，其相 角 ，以實軸正方向為基準 zTSchool of Automation Engineering整理課件等阻尼 線映射 2nnndj1js s平面上的等阻尼 線可用式 描述 2dn1映射到z平面為 ddnd2ss2eexp(j)expj21TszTTd2s2|exp1zds2z =School of Automation Engineering整理課件【解】 實部相同而虛部相差 的整數(shù)倍的點均映射為同一點11010j OSOReZIm0.533 2533. 02533. 00533. 010/2)101(310/2)101(210/211321 jTsjTsT

4、seezeezeez101,1321jss 、。例例1 如圖所示，在如圖所示，在 S 平面有三個點，分別為：平面有三個點，分別為：School of Automation Engineering整理課件 School of Automation Engineering整理課件（1）直接求特征方程的根來判別穩(wěn)定性（2）修正的Routh穩(wěn)定性判則 勞斯古爾維茨判據(jù)為連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)，可以通過一種變換（雙線性變換）將離散系統(tǒng)特征方程對應(yīng)的單位圓內(nèi)的根映射位為左半平面的根，這樣就可用Routh判據(jù)來分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 School of Automation Engineering整理課件設(shè)離散

5、系統(tǒng)的特征多項式為【證】引入雙線性變換引入雙線性變換11 11zzwwwz或可以將可以將 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 ，然后就可借助勞斯判，然后就可借助勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。據(jù)判斷穩(wěn)定性。 1iz0iewR 0111001112111 22222222wRzzyxwRwRyxzyxyjyxjyxjyxjvuwjvuwjyxzeee 及 令)(zSchool of Automation Engineering整理課件例2 設(shè)采樣系統(tǒng)的特征方程為010181224001224003911119111171145)()(03911911745)(012323231123wwwwwwwwwwwwwzwwzzzzwwz

6、作Routh陣列化簡后：變換得進行 根據(jù)勞斯判據(jù)根據(jù)勞斯判據(jù) 在在 w右右 半半平面有兩個根，故該采樣系統(tǒng)有平面有兩個根，故該采樣系統(tǒng)有兩個根在單位圓外，因此系統(tǒng)不兩個根在單位圓外，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定穩(wěn)定 )(wSchool of Automation Engineering整理課件 例3 如圖所示的系統(tǒng)，為保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，放大系數(shù)的倍數(shù) K 的取值范圍。該系統(tǒng)的廣義對象為)(tr)(sE)(*sE)(sC) 1( ssKseTs11T368.01264.0368.0)1(1)(21zzzKssKZzzGSchool of Automation Engineering整理課件0104. 0736

7、. 2528. 0264. 1632. 0110368. 0264. 0368. 1368. 0)(368. 0264. 0368. 1368. 0264. 0368. 0)(1)()()(222KwKKwwwwzKzKzzKzKzzKzGzGzRzC變換并化簡：進行 ， 令特征方程為即School of Automation Engineering整理課件420 26.3K 0104. 0736. 24 . 2 0528. 0264. 10K 0632. 00104. 0736. 20528. 0264. 1104. 0736. 2632. 012.KKKKKKwKwKKwRouth得到：由

8、表作School of Automation Engineering整理課件（3）。0.)(1110 nnnnazazazaz設(shè)離散系統(tǒng)的設(shè)離散系統(tǒng)的為為 構(gòu)造構(gòu)造 Jury：School of Automation Engineering整理課件001110020322100112112100012112100.mllllllccccccccbbbbbbbbbbaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnn 從第從第3 行開始，所有奇數(shù)行行開始，所有奇數(shù)行n用以下公式計算：用以下公式計算：第第(n2)行系數(shù)行系數(shù)第第(n1)行系數(shù)行系數(shù)上兩行末列系數(shù)之商上兩行末列系數(shù)之商School

9、 of Automation Engineering整理課件 若特征方程式中 a00，則只有當Jury表中所有奇數(shù)行第一列系數(shù)均大于零時，該方程的全部特征根才位于單位圓內(nèi)。即 00.00000000mlcba School of Automation Engineering整理課件例4 已知系統(tǒng)的特征方程為 構(gòu)造Jury表065)(2 zzz14.1735253525253516156651 其奇數(shù)行首列系數(shù)有兩個小于零，故系統(tǒng)其奇數(shù)行首列系數(shù)有兩個小于零，故系統(tǒng)，且有且有 2 2 個根位于單位圓外。個根位于單位圓外。School of Automation Engineering整理課件：

10、0)()1(0)(11znzzzSchool of Automation Engineering整理課件例5 已知系統(tǒng)特征方程為試判斷其穩(wěn)定性。02 . 048. 0)(3 zzz028. 1)2 . 048. 01()1()1()1(068. 12 . 048. 01)1(3 n【解】【解】 系統(tǒng)滿足必要條件系統(tǒng)滿足必要條件School of Automation Engineering整理課件7168. 072. 0048. 072. 00048048. 072. 096. 048. 096. 0096. 048. 048. 0096. 096. 012 . 01048. 02 . 02

11、. 048. 001 可見奇數(shù)行首列系數(shù)均大于零，故系統(tǒng)穩(wěn)定可見奇數(shù)行首列系數(shù)均大于零，故系統(tǒng)穩(wěn)定School of Automation Engineering整理課件構(gòu)造Jury表： （最后一行不必再判斷）22212211111aaaaaa 0)(212 azazz 0)1(0)1(設(shè)系統(tǒng)特征方程為設(shè)系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為0122 a為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須滿足School of Automation Engineering整理課件由此可推得即 122 a12 a1)0( 0)1(0)1(1)0(這等價于這等價于由此可得二階離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件的

12、簡便形式：由此可得二階離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件的簡便形式：School of Automation Engineering整理課件 ) 1()(ssksGo368.0368.1)264.0368.0()1()1()(221 zzzksskZzzG0)264. 0368. 0()368. 1368. 0()(1)(2 kzkzzGz)(tr)(sE)(*sE)(sC)(sGseTs11T)(zGSchool of Automation Engineering整理課件39.218.51264.0368.011264.0368.0)0()1( kkk00632. 00)264. 0368. 0()368

13、. 1368. 0(1)1()2( kkkk3 .260736. 2104. 00)264. 0368. 0()368. 1368. 0(1) 1()3( kkkk39.20 kSchool of Automation Engineering整理課件1)(sksG已知如圖所示采樣統(tǒng)，已知如圖所示采樣統(tǒng)， ，試討論試判斷采樣周期為，試討論試判斷采樣周期為 1s或或4s 時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。)(tr)(sE)(*sE)(sC)(sGseTs11T)(zGTTTTezezeTzeTssZzzG)1 (1) 1()1() 1(1)1 ()(2210)1 ()2(2TTezTzS

14、chool of Automation Engineering整理課件將采樣周期 代入上式，得到特征方程為sT10632. 02 zzsT1625. 05 . 02, 1jz求得采樣周期 時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為閉環(huán)極點的模為 796. 0625. 05 . 02221 zz1z顯然，極點 和 均位于 z 平面的單位圓內(nèi)，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2zSchool of Automation Engineering整理課件將采樣周期 代入上式，得到特征方程為sT4sT4求得采樣周期 時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為閉環(huán)極點的模為 796. 0625. 05 . 02221 zz1z 顯然，極點 位于z平面的單位圓內(nèi)

15、，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 0)41 (242ezz2707. 11z7293. 02zSchool of Automation Engineering整理課件)(tr)(*teseTs1) 1( ssK)(ty該圖所示系統(tǒng)對應(yīng)的開環(huán)z傳遞函數(shù)為 TTTTTezezeTzeTKezzzTssKZzzG)1 (1) 1()1(111) 1()1 ()(221相應(yīng)的特征方程為 0)1 (1) 1(12KeKTKzTKeKzTTSchool of Automation Engineering整理課件1T1K5K按例7，選擇采樣周期 ，此時 是穩(wěn)定的，這是根據(jù)例7得到的結(jié)論。這里，保持采樣周期不變，若

16、將 代入特征方程式，則0)5(14112ezez解得： 277. 1236. 02, 1jz很明顯，兩個極點的模 ，兩個根都位于z平面單位圓外，所以此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。 121 zz采樣周期取一定值時，加大開環(huán)增益 ，可使閉環(huán)系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。 KSchool of Automation Engineering整理課件n連續(xù)系統(tǒng)的定義為上述誤差的終值，即采樣系統(tǒng)的定義為，即 ：)()()(tctrte )(limteetss )()()(*tctrte )(lim)(lim*kTeteektss 1、計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義 School of Automation Engineering

17、整理課件 連續(xù)系統(tǒng)通常按系統(tǒng)來分類，根據(jù)映射關(guān)系，的積分環(huán)節(jié)，即 ，映射至 為，所以采樣系統(tǒng)則按其開環(huán)脈沖傳函在z =1 處的極點個數(shù)來分類，分別有 、系統(tǒng)。School of Automation Engineering整理課件如圖所示的單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)誤差傳函)()(11)()()(zGzDzRzEze 由此可得)()()(11)()()(zRzGzDzRzzEe (1)終值定理法 )(sR)(zET)(sE)(zD)(*sC)(zC)(zGSchool of Automation Engineering整理課件根據(jù)終值定理，系統(tǒng)在采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為)()()(11)1(lim)()1(

18、lim1111*zRZGzDzzEzezzss 與與及及的特性均的特性均有關(guān)。有關(guān)。School of Automation Engineering整理課件則穩(wěn)態(tài)誤差可表示為其中 為穩(wěn)態(tài)pzzzssKzGzDzGzDzzGzDze 11)()(lim11)()(11lim)1(1)()(11)1(lim11111*)(1)(ttr 111)( zzR其 Z 變換為)()(lim1zGzDKzp(2)靜態(tài)誤差系數(shù)法 School of Automation Engineering整理課件n對系統(tǒng)，開環(huán)傳函 在 處無極點，即不含積分環(huán)節(jié)， Kp 為有限值，所以；n對系統(tǒng)，開環(huán)傳函 在 處有一個極點

19、，即含有一個積分環(huán)節(jié)， Kp 為無窮大，所以；n對于的系統(tǒng)，開環(huán)傳函 處有多個極點，即含有多個積分環(huán)節(jié)， Kp 為無窮大，所以；School of Automation Engineering整理課件 School of Automation Engineering整理課件其中 為2)1()( zTzzRvzzzssKzGzDzTzGzDzzTzTzzGzDze1)()()1(lim11)()()1()1(lim)1()()(11)1(lim11211* )()()1(lim11zGzDzTKzv r (t) = t 其其 Z 變換為變換為穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 。School of Automat

20、ion Engineering整理課件azzssKzGzDzTzzzTzGzDze1)()()1(lim11)1(2)1()()(11)1(lim2123211* 其中 為)()()1(lim1212zGzDzTKza 221)(ttr 322)1(2)1()( zzTzR 其其 Z 變換為變換為穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 School of Automation Engineering整理課件)()()1(lim11zGzDzTKzv)()() 1(lim1212zGzDzTKza*sse)( 1)(ttrttr)(2/)(2ttr)1/(1pKvK/1aK/1000)()(lim1zGzDKzpSc

21、hool of Automation Engineering整理課件例8 計算機控制系統(tǒng)的如下圖所示。設(shè)采樣周期 秒，試確定系統(tǒng)分別在單位階躍、單位斜坡和單位拋物線函數(shù)輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 10.T 解 系統(tǒng)的開環(huán)z傳遞函數(shù)為 11(1e )0.632( ) ( )(1)(0.368)(1)(e )zzG zZ G szzzz系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 (1)(0.368)0.6320zzzSchool of Automation Engineering整理課件令 代入上式，求得 11wzw2( )0.6321.2642.1040www由于系數(shù)均大于零，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。先求出靜態(tài)誤差系數(shù)： p

22、110.632lim( )lim(1)(0.368)zzzKG zzz靜態(tài)速度誤差系數(shù)為v1110.632lim(1) ( )10 lim100.368zzzKzG zTz靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為2a21110.632lim(1)( )100 lim(1)00.368zzzKzG zzzTSchool of Automation Engineering整理課件ssp101eK單位階躍輸入信號作用下： ssv110.110eK單位斜坡輸入信號作用下 ： ssa1eK單位拋物線輸入信號作用下： School of Automation Engineering整理課件令 ，此時誤差完全由擾動信號 引起，

23、即)()(tyten由終值定理可求得擾動作用下的由終值定理可求得擾動作用下的設(shè)設(shè)擾動作用點在被控對象上，則有擾動作用點在被控對象上，則有( )( )1( ) ( )NNG zYzD z G z*11ss11lim(1) ( )lim(1)( )NNzzezE zzYz School of Automation Engineering整理課件n8 位 （單極性），其分辨率為 當 輸入小于 0.0039 時， 則處于而輸出為零。對單位反饋系統(tǒng)，若 , 由于的，當輸出 時，其誤差信號 將進入A/D 的死區(qū)，從而 的轉(zhuǎn)換結(jié)果為零，此時存在穩(wěn)態(tài)誤差這不是由系統(tǒng)原理引起的誤差，而是。0039. 02121

24、8 nq0039.0* sseSchool of Automation Engineering整理課件如圖所示與其相應(yīng)的，分析其穩(wěn)態(tài)誤差。)1).(1)(1()1).(1)(1()(21210sTsTsTssssKsGnvm 0 0I IIIIIvKaK000 KKKpK系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型與與的關(guān)系為的關(guān)系為傳函的一般形式School of Automation Engineering整理課件的開環(huán)傳函.)1()1).(1)(1()1).(1)(1()1()(1)(1112112110非非積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)各各分分式式 sKsKsKZzsTsTsTssssKZzsGseZzGvvvnvmsT Sc

25、hool of Automation Engineering整理課件n對 系統(tǒng)，1)1()1()(11非非積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)各各項項非非積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)各各分分式式 zKzzsKZzzG0)()1(lim10)()1(lim11)1(lim)(lim2121111 zGzTKzGzTKKzKzzzGKzazvzzp誤差系數(shù)誤差系數(shù)School of Automation Engineering整理課件n對系統(tǒng)，1)1()1()1()(121121非非積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)各各項項非非積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)各各項項 zzKzKTzzsKsKZzzG0)()1(lim1)1()1)(1(lim1)()1(lim

26、1)(lim21221111 zGzTKaKzKTzzzTzGzTKvzGKzzzzp誤差系數(shù)誤差系數(shù)School of Automation Engineering整理課件n類似地也可求得 系統(tǒng)的誤差系數(shù) 與比較，二者完全一致，而與 無關(guān)。KKKKavp School of Automation Engineering整理課件盡管采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的計算公式中包含了 ，但實際計算中公式中的 與系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳函的 相對消，因此?！咀ⅰ?以上結(jié)論只對成立，其它情況不一定能完全對消 T。School of Automation Engineering整理課件計算機控制系統(tǒng)的響應(yīng)特性分析也包括動

27、態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析 通常動態(tài)性能指標包括延遲時間td、上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts、最大超調(diào)量 等，其定義均與連續(xù)系統(tǒng)一致。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是時間 時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。一般認為輸出進入穩(wěn)態(tài)值附近5或3的范圍內(nèi)就可以表明動態(tài)過程已經(jīng)結(jié)束。 t School of Automation Engineering整理課件 盡管動態(tài)性能指標的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，但在 Z 域分析時，只能針對的值，而在采樣間隔內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)并不能被表示出來，因此不能精確描述和表達采樣系統(tǒng)的真實特性。在采樣周期較大時，尤其如此。School of Automation Engineering整理課件例9 已知計算機控

28、制系統(tǒng)如下圖所示，設(shè)采樣周期T=1s ，試分析系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)特性。解 廣義z傳遞函數(shù)為 112111e0.368(10.717)( )(1)(1)(10.368)TszzG zZsszz閉環(huán)z傳遞函數(shù)為 1212( )0.3680.264( )1( )10.632G zzzzG zzzSchool of Automation Engineering整理課件1,20.5j0.618z12|0.7949zz系統(tǒng)閉環(huán)極點為 ，模為 ， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)的輸出的z變換為 1212312345678910111213( )( ) ( )0.3680.264 121.6320.632 0.3681

29、.41.41.1470.8950.802+0.8680.993 1.0771.0811.0320.981+0.961Y zz R zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz1415160.9730.997zz12111231112111210.3680.264lim ( )lim(1) ( )lim(1)121.6320.6320.3680.264 lim(1)1(1)(10.632)tzzzzzy tzY zzzzzzzzzzz系統(tǒng)的輸出的終值為 School of Automation Engineering整理課件系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的過渡過程具有衰減振蕩的形式，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其超調(diào)量

30、為40%，且峰值出現(xiàn)在第三、四個采樣周期之間，約經(jīng)過12個采樣周期結(jié)束過渡過程，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值為1。School of Automation Engineering整理課件S平面繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的特征方程：0)()(1sGsD形式完全相同！形式完全相同！S平面繪制根軌跡的所有規(guī)則z平面都適用，繪制方法完全相同。0)()(1zGzDz平面繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的特征方程：但應(yīng)注意：z平面上的穩(wěn)定邊界是單位圓而不是一條直線 School of Automation Engineering整理課件例10 系統(tǒng)如下圖所示，設(shè)采樣周期T=1s,且)(sR)(zET)(sE)(zD)(*sC)(zC)(zG(0

31、.046)(1.13)( )(1)(0.135)(0.018)z zzG zzzz(0.135)(0.018)(0.67)( )(1)(0.046)(0.713)K zzzD zzzz試繪制系統(tǒng)的根軌跡，并確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的K值。 School of Automation Engineering整理課件解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2(1.13)(0.67)( ) ( )(1) (0.713)Kz zzD z G zzz系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。Z 平面的臨界放大系數(shù)由根軌跡與單位圓的交點求得，為 。5.2879K 。 School of Automation Engineering整理課件 連續(xù)系

32、統(tǒng)的頻域特性在正弦信號作用下，系統(tǒng)的。此定義同樣適用于離散系統(tǒng)，只是對應(yīng)的輸入輸出信號均為。School of Automation Engineering整理課件即離散系統(tǒng)頻率特性相當于考察脈沖傳函當 z 沿單位圓變化時的特性。TjezTjzGeG )()(線性計算機控制系統(tǒng)的頻率特性可按下式計算School of Automation Engineering整理課件1 計算機控制系統(tǒng)頻率特性繪制方法 (1)數(shù)值計算法 1( )=2 +1G ss例11 已知連續(xù)傳遞函數(shù) ，相應(yīng)的z傳遞函數(shù)為 ，設(shè)采樣周期為T=1s ，試求其頻率特性。 ， TTosTezesseZzG5 . 05 .1121

33、1)(解 連續(xù)環(huán)節(jié)頻率特性為 211(j ) =arctan(2 )j2+141G離散環(huán)節(jié)的頻率特性為 )2sin(6065. 0)2cos(sin)6065. 0(cos3935. 0 sin6065. 0cos3935. 0 060653935. 0)1 ()(225 . 05 . 0ssTjTTjTTjjjeeeeeGSchool of Automation Engineering整理課件因此，可以得到幅值為22sin)6065. 0(cos3935. 0)(TjeG的表達式給出為周期不斷重復(fù)，這里相角以ss0ss22ssjsss22sscos20.6065arccos 02cos20.6065sin2(e)cos (2 )0.6065arccos 2cos20.6065sin2TG School of Automation Engineering整理課件例11系統(tǒng)的的幅頻特性與相頻特性School of Automation Engineering整理課件