第二講-5拋物線的參數(shù)方程

1、拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程引例中，空投物資作平拋運(yùn)動(dòng)，其空中運(yùn)引例中，空投物資作平拋運(yùn)動(dòng)，其空中運(yùn)動(dòng)軌跡為：動(dòng)軌跡為：) )g g10001000t t(t為參數(shù)，且0(t為參數(shù)，且0gtgt2 21 1500500y y100t100tx x2 2思考：對(duì)于一般的拋物線，如何建立相應(yīng)思考：對(duì)于一般的拋物線，如何建立相應(yīng)的參數(shù)方程？的參數(shù)方程？xyoM(x,y)例例1 1、設(shè)拋物線的普通方程為、設(shè)拋物線的普通方程為:y:y2 2=2px=2px，M(x,yM(x,y) )為拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，以射線為拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，以射線OMOM為為終邊的角記作終邊的角記作，求此拋物

2、線的參數(shù)方程。，求此拋物線的參數(shù)方程。) ). . . . . . . . .( (6 6t ta an n. . . . . . .x xy y定定義義可可得得，根根據(jù)據(jù)三三角角函函數(shù)數(shù)的的因因?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)M M在在的的終終邊邊上上) )2 2p px x. . . . . .( (5 5y y設(shè)設(shè)拋拋物物線線的的普普通通方方程程為為2 2程程不不包包括括頂頂點(diǎn)點(diǎn)) )的的參參數(shù)數(shù)方方這這就就是是拋拋物物線線( (5 5) )( ( (為為參參數(shù)數(shù)）t ta an n2 2p py yt ta an n2 2p px xy y，得得到到( (6 6) )解解出出x x, ,由由( (5 5) )

3、, ,2 2(t為參數(shù))(t為參數(shù))2pt2pty y2pt2ptx x則有則有),),(0,(0,0),0)( (t t, ,tantan1 1如果令t如果令t2 2t的幾何意義：t表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).0 0) )的的參參數(shù)數(shù)方方程程? ?2 2p py y( (p px x普普通通方方程程為為建建立立拋拋物物線線設(shè)設(shè)拋拋物物線線的的的的定定義義選選取取參參數(shù)數(shù)，思思考考：怎怎樣樣根根據(jù)據(jù)拋拋物物線線2 2(t為參數(shù))(t為參數(shù))2pt2pty y2pt2ptx x2 22 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12

4、2t tt t1 1D D、, ,t tt t1 1C C、t tB B、t t, ,t tA A、t t) ) 所所在在直直線線的的斜斜率率是是( (M M弦弦M M則則, ,t t, ,所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)分分別別是是t t，M M不不同同兩兩點(diǎn)點(diǎn)M M點(diǎn)點(diǎn)的的( (t t為為參參數(shù)數(shù)) )上上異異于于原原2 2p pt ty y2 2p pt tx x1 1、若若曲曲線線c軌跡方程。軌跡方程。M的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的M的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的M M1,0)，點(diǎn)P為線段1,0)，點(diǎn)P為線段( (M M2x上的動(dòng)點(diǎn)，給定點(diǎn)2x上的動(dòng)點(diǎn)，給定點(diǎn)2、設(shè)M為拋物線y2、設(shè)M為拋物線y0 00 02 2點(diǎn)點(diǎn)M

5、 M的的軌軌跡跡方方程程。M M，求求A AB B并并于于A AB B相相交交于于點(diǎn)點(diǎn)O OM MO OB B, ,且且O OA A點(diǎn)點(diǎn)，0 0) )上上異異于于頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的兩兩動(dòng)動(dòng)2 2p px x( (p p線線y yB B是是拋拋物物標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)，A A, ,例例2 2、如如圖圖O O是是直直角角坐坐2 2xyoBAM1 1t t所所以以t t0 0, ,t tt t( (2 2p p) ) )t t( (2 2p pt t即即0 0, ,O OB BO OA A所所以以, ,O OB BO OA A因因?yàn)闉? ) )t t) ), ,2 2p p( (t tt t( (2 2p p(

6、(t tA AB B) ), ,2 2p pt t( (2 2p pt tO OB B) ), , ,2 2p pt t( (2 2p pt tO OA Ay y) ), ,( (x x, ,O OM M0 0) )則則t t且且t t, ,t t) )( (t t, ,2 2p pt t( (2 2p pt t) ), , ,2 2p pt t( (2 2p pt ty y) )B B的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為( (x x, ,A A, , ,解解：根根據(jù)據(jù)條條件件，設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)M M2 21 12 21 12 22 22 21 11 12 22 21 12 22 22 22 22 21 12 2

7、1 12 21 12 21 12 22 22 21 12 21 1B三點(diǎn)共線，B三點(diǎn)共線，M,M,y)且A,y)且A,x,2ptx,2pt(2pt(2ptMBMB),),2pt2pty y, ,2pt2pt(x(xAMAM因?yàn)橐驗(yàn)?)0)(x(xx xy yt t即t即t0,0,y y) )t t所以x(t所以x(t0 0) )t t2py(t2py(t) )t t2px(t2px(t即即0,0,OBOBOMOM所以所以, ,ABABOMOM因?yàn)橐驗(yàn)? 22 22 21 12 21 12 21 12 21 11 12 22 21 12 22 2這就是點(diǎn)M的軌跡方程這就是點(diǎn)M的軌跡方程0)0)0

8、(x0(x2px2pxy y0即x0即xx x2p2p) )x xy yy(y(得到得到(9)代入(10),(9)代入(10),將(8),將(8),0 0 x xt t2pt2pt) )t t化簡(jiǎn)，得y(t化簡(jiǎn)，得y(t) )2pt2ptx)(yx)(y(2pt(2pty)y)(2pt)(2pt2pt2pt所以(x所以(x2 22 22 21 12 21 11 12 22 22 22 21 1最最小??？最最小小值值是是多多少少? ?O OB B的的面面積積B B在在什什么么位位置置時(shí)時(shí)，A A在在例例3 3中中，點(diǎn)點(diǎn)A A, ,探探究究：. .最小值為4p最小值為4pAOB的面積最小，AOB的面積最小，B關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，B關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)A,，即當(dāng)點(diǎn)A,t t當(dāng)且僅當(dāng)t當(dāng)且僅當(dāng)t4p4p4 4) )t t(t(t2p2p2 2t tt t2p2p1)1)(t(t1)1)(t(tt tt t2p2pS S為為所以，所以，AOB的面積AOB的面積1 1t tt t2p2p) )(2pt(2pt) )(2pt(2ptOBOB1 1t tt t2p2p) )(2pt(2pt) )(2pt(2ptOAOA由例3可得由例3可得2 22 21 12 22 22 21 12 22 22