陜西省高中數(shù)學 第一章 推理與證明 歸納推理與類比推理異同點比較素材講解 北師大版選修2-2

1、歸納推理與類比推理異同點比較合情推理是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式在解決問題的過程中，合情推理具有猜側(cè)和發(fā)表結(jié)論，探索和提供思路的作用有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)在能力高考的要求下，推理方法就顯得更加重要在復習中要把推理方法形成自己的解決問題的意識，使得問題的解決有章有法，得心應手合情推理包括歸納推理和類比推理.一.歸納推理和類比推理的聯(lián)系:歸納推理與類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理由這兩種推理得到的結(jié)論都不一定正確,其正確性有待進一步證明.二.歸納推理和類比推理的區(qū)別:(一) 歸納推理1.歸納推理定義: 由某類

2、事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理說明：歸納推理的思維過程大致如下：2.歸納推理的特點: （1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍 (2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗因此，它不能作為數(shù)學證明的工具 (3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題歸納推理是從個別事實中概括出

3、一般原理的一種推理模型，歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法.3.歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題說明：歸納推理基于觀察和實驗，像“瑞雪兆豐年”等農(nóng)諺一樣，是人們根據(jù)長期的實踐經(jīng)驗進行歸納的結(jié)果物理學中的波義耳馬略特定律、化學中的門捷列夫元素周期表、天文學中開普勒行星運動定律等，也都是在實驗和觀察的基礎上，通過歸納發(fā)現(xiàn)的(二).類比推理（以下簡稱類比）1.類比推理定義:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理2. 類比

4、推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）3.說明：類比推理的思維過程大致如下圖所示：類比推理是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物, 同時,類比推理比歸納推理更富于想像,因而也就更具有創(chuàng)造性. 人類在科學研究中建立的不少假說和教學中許多重要的定理，公式都是通過類比提出來的,工程技術中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類比推理的啟迪下而獲得的因此，類比推理已成為人類發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要工具.例1. 如圖，是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中

5、花盆擺放的規(guī)律，第n個圖形中的花盆數(shù)an= 【答案】 an=3n2-3n+1.【解析】仔細觀察發(fā)現(xiàn):圖案的花盆數(shù)為:1個, a1=1; 圖案的花盆中間數(shù)為3,上下兩行都是2個, a2=2+3+2; 圖案的花盆中間數(shù)為5,上面兩行由下到上分別遞減1個,而且關于中間行上下對稱, a3=3+4+5+4+3;可以猜想: 第n個圖形中的花盆中間數(shù)為2n-1,上面每行由下到上分別遞減1個,最上面有n個,而且關于中間行上下對稱,因此an=n+(n+1)+(2n-1)+(n+1) + n=3n2-3n+1.【評析】上例是利用歸納推理解決問題的.歸納推理分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可

6、靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，對科學的發(fā)現(xiàn)是十分有用的觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學研究的最基本的方法之一.例2.如圖，過四面體V-ABC的底面上任一點O分別作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側(cè)面交點 求證：為定值分析 考慮平面上的類似命題：“過ABC（底）邊 AB上任一點O分別作OA1AC，OB1BC，分別交BC、AC于A1、B1，求證為定值”這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值1另外，過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1于是類比到空間圍形，也可用兩種方法證明其定值為1證明：如圖，設平面OA1 VABCM，平面OB1 VBACN，平面OC1 VCAB=L，則有MOA1MAV，NOB1NBV，LOC1 LCV得=。在底面ABC中，由于AM、BN、CL交于一點O，用面積法易證得：=1。=1?！局R小結(jié)】類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分數(shù)來類比,平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等等我們必須清楚