平面基本性質(zhì)及推論

1、第3講平面的基本性質(zhì)及推論【2013年高考會(huì)這樣考】1 本講以考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為主，同時(shí)考查邏輯推理能力與空間想象能力.2有時(shí)考查應(yīng)用公理、定理證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線共面的問題.3能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1 掌握平面的基本性質(zhì)，在充分理解的基礎(chǔ)上結(jié)合圖形理解點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及 等角定理.2 異面直線的判定與證明是本部分的難點(diǎn)，定義的理解與運(yùn)用是關(guān)鍵.KAOJIiZIZHUDAOXUE B 01 考基自主導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)梳理1. 平面的基本性質(zhì)及推論(1) 基本性質(zhì)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平

2、面內(nèi).(2) 基本性質(zhì)2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.(3) 基本性質(zhì)3:如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.推論1:經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.2. 直線與直線的位置關(guān)系(1) 位置關(guān)系的分類共面直線平行相交 異面直線：既不相交又不平行的直線(2) 異面直線所成的角定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'/ a, b'/ b,把a(bǔ)'與b'所成的銳角或直角叫做異面直線a, b所成的角(或

3、夾角).3. 直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系(1) 直線和平面有：平行、相交和在平面內(nèi)三種位置關(guān)系.(2) 平面和平面有：平行、相交函種位置關(guān)系.4. 平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.5. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.6. 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)助修 < 博兩種方法異面直線的判定方法：(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面. 三個(gè)作用(1)公理1的作用：檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面

4、內(nèi)判斷直線上 的點(diǎn)在平面內(nèi).（2）公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法.公理3的作用：判定兩平面相交；作兩平面相交的交線；證明多點(diǎn)共線.雙基自測1. （人教B版教材習(xí)題改編）下列命題是真命題的是（）.A 空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面B .空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C. 一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面D .梯形一定是平面圖形解析 空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)；空間中兩兩相交不交于一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，C錯(cuò)；故D正確.答案 D2. 已知a, b是異面直線，直線 c平行于直線a,那么c與b（ ）.A 一定

5、是異面直線B. 一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線解析 由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b/6,貝U a/b，與已知a、b為異面直線相矛盾.答案 C3. （2011浙江）下列命題中錯(cuò)誤的是（）.A .如果平面a丄平面3,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面3B .如果平面a不垂直于平面 3,那么平面 a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面3C.如果平面 a丄平面 y平面 肚平面 y aCl 3= l ,那么I丄平面丫D .如果平面a丄平面3,那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面3解析 對(duì)于D,若平面a丄平面3,則平面a內(nèi)的直線可能不垂直于平面3,甚至可

6、能平行于平面3,其余選項(xiàng)均是正確的.答案 D4. （2011武漢月考）如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線（）.D. 48 對(duì)A . 12 對(duì)B . 24 對(duì)C. 36 對(duì)解析AB四條，因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈?2X 4,廠=24（對(duì)）.如圖所示,與 AB異面的直線有B1C仁CC1 , A1D1 , DD1置且正方體共有12條棱,排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線 答案 B5. 兩個(gè)不重合的平面可以把空間分成 部分.02答案 3或4KAOXIANGTAIMJIUDAOXUW 考向探究導(dǎo)桁考向一 平面的基本性質(zhì)【例1】?正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是A

7、B、AD、BQi的中點(diǎn)，那么, 正方體的過P、Q、R的截面圖形是（）.A 三角形B 四邊形C 五邊形D.六邊形審題視點(diǎn)過正方體棱上的點(diǎn) P、Q、R的截面要和正方體的每個(gè)面有交線. 解析如圖所示，作 RG/PQ交C1D1于G,連接QP并延長與CB交于M,連接MR交BB1于 E,連接PE、RE為截面的部分外形.同理連PQ并延長交CD于N,連接NG交DD1于F，連接QF , FG.截面為六邊形PQFGRE .答案 D畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共可以更快的確定交線的位點(diǎn)即可確定.作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件,置.【訓(xùn)練1】下列如圖所示是正方體和正四

8、面體,P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是 解析A Q B在圖中，可證Q點(diǎn)所在棱與面 PRS平行，因此,P、Q、R、S四點(diǎn)不共面.可證A1A 與 BC中四邊形PQRS為梯形；中可證四邊形 PQRS為平行四邊形；中如圖所示取的中點(diǎn)為 M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且 PMQNRS為正六邊形. 答案考向二異面直線【例2】？如圖所示，B正方體ABCDAiBiCiDi中，M、N分別是AiBi、B1C1的中點(diǎn).問：(1) AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2) DiB和CCi是否是異面直線？說明理由.審題視點(diǎn)第(1)問，連結(jié)MN , AC,證MN /AC,即卩AM與CN共面；

9、第(2)問可采用反 證法.解AB(1)不是異面直線理由如下： 連接 MN、AiCi、Ac.T M、N分別是AiBi、BiCi的中點(diǎn)，二 MN / A1C1.又t AiA 綉 CiC ,二A1ACC1為平行四邊形， A1C1 / AC,. MN / AC, A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故 AM和CN不是異面直線.是異面直線證明如下：/ ABCDA1B1C1D1 是正方體， B、C、G、D1 不共面.假設(shè)d1b與CC1不是異面直線， 則存在平面 a使D1B?平面a, CC1?平面a-D1, B、C、C1 a,與 ABCDA 1B1C1D1 是正萬體矛盾.假設(shè)不成立，即 D1B與CC1是異面直線.證

10、明兩直線為異面直線的方法(1) 定義法(不易操作).(2) 反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)， 經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.【訓(xùn)練2】 在下圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示 直線GH、MN是異面直線的圖形有(填上所有正確答案的序號(hào) ).解析如題干圖(1)中，直線GH /MIN ;圖中，G、H、N三點(diǎn)共面，但 M?面GHN，因此直線 GH與MN異面;圖(3)中，連接 MG , GM /HN，因此 GH與MN共面；圖中，G、M、N共面，但 H?面GMN ,GH與MN異面.所以圖(2)、(4)中GH與

11、MN異面.答案(4)考向三異面直線所成的角【例3】?(2011寧波調(diào)研)正方體ABCDA 1B1C1D1中.(1)求AC與A1D所成角的大??；若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求 A1C1與EF所成角的大小.審題視點(diǎn)平移AiD到BiC,找出AC與AiD所成的角，再計(jì)算.可證AiCi與EF垂直.如圖所示，連接 ABi, BiC，由ABCDAiBiCiDi是正方體， 易知AiD / BiC，從而BiC與AC所成的角就是 AC與AiD所成的角.T ABi= AC= BiC,/ BiCA = 60 °即AiD與AC所成的角為如圖所示，連接AC、AC 丄 BD , AC / AiCi, E、F分

12、別為AB、AD的中點(diǎn), EF / BD , EF 丄AC. EF 丄 AiCi.即AiCi與EF所成的角為90°丄'快"沖”求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.【訓(xùn)練3】A是厶BCD平面外的一點(diǎn)，E, F分別是BC, AD的中點(diǎn).求證：直線 EF與BD是異面直線；(2)若AC丄BD , AC= BD，求EF與BD所成的角.證明 假設(shè)EF與BD不是異面直線，則 EF與BD共面，從而 DF與BE共面，即 AD與BC共面，

13、所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是厶BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾. 故 直線EF與BD是異面直線.解如圖，取CD的中點(diǎn)G,連接EG、FG,貝U EG / BD，所以相交直線 EF與EG所成的 角，即為異面直線 EF與BD所成的角.i在Rt EGF中，由EG = FG = gAC ,求得/ FEG = 45 °即異面直線EF與BD所成的角 為45°考向四 點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共點(diǎn)的證明【例4】？正方體AB和AAi的中點(diǎn).求證:ABCDAiBiCiDi 中，E、F 分別是 E、C、F四點(diǎn)共面；(2)CE、DiF、DA 三線共點(diǎn).審題視點(diǎn)由EF /CDi可得;先證CE與DiF相交

14、于P,再證P 3D. 證明(1)如圖，連接EF , CDi, AiB./ E、F分別是AB、AAi的中點(diǎn)， EF / BAi.又 AiB/ DiC,. EF / CDi, E、C、Di> F四點(diǎn)共面.(2) / EF / CDi, EF V CDi, CE與DiF必相交，設(shè)交點(diǎn)為 P,則由 P CE, CE?平面 ABCD ,得P 平面ABCD.同理P 平面ADD iAi.又平面ABCD門平面 ADDiAi = DA , P直線DA , CE、DiF、DA三線共點(diǎn).要證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上，也就是利用平面的基本性質(zhì)3,即證點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上或者選擇其中兩點(diǎn)

15、確定一直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上.B FC【訓(xùn)練4】如圖所示，已知空間四邊形 ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、 G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且CB = Cf =求證：三條直線 EF、GH、AC交于一點(diǎn).證明/ E、H分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，iCF CG 2-EH 綉2BD，而CB = CD = 3, FG =-，且 FG / BD.BD 3四邊形EFGH為梯形，從而兩腰 EF、GH必相交于一點(diǎn)P./ P 直線 EF , EF?平面 ABC, P 平面 ABC.同理，P 平面ADC. P在平面 ABC和平面 ADC 的交線 AC 上，故 EF、GH、AC 三直線交于 占八

16、、KAOTIZHUANKIANGTUPO 9 考題專項(xiàng)突破閱卷報(bào)告10點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全致誤【問題診斷】 由于空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮 點(diǎn)、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當(dāng)直線和平面的個(gè)數(shù)較多時(shí)，各種位置關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會(huì)導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的判斷.【防范措施】 借助正方體、三棱錐、三棱柱模型來分析.【示例】？（2011四川）ll, 12, b是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）A 11 -L |2, l2 -L l3? l1 / l3B . I 1 丄 I2, l 2 / b? ll 丄 l3C l 1 / l2 /! l 3? l1 , l2 , l3 共面D . I1 , S, l 3 共點(diǎn)? l1 , l2 , l 3 共面錯(cuò)因 受平面幾何知識(shí)限制， 未能全面考慮空間中的情況.實(shí)錄 甲同學(xué)：A 乙同學(xué):C丙同學(xué)：D.正解 在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯(cuò)；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故 D錯(cuò).答案 B【試一試】（2010江西）D過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使I與棱AB, AD , AA