《認(rèn)識方程》教學(xué)設(shè)計與反思

1、認(rèn)識方程教學(xué)設(shè)計與反思 【教學(xué)課題】認(rèn)識方程 【教學(xué)內(nèi)容】北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)五年級（上冊）第1-2頁例1、例2，“試一試”和“練一練”，練習(xí)一第5題?！窘滩姆治觥看藘?nèi)容是在學(xué)生已掌握“用字母表示數(shù)”的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，同時又是即將學(xué)習(xí)“解方程”的基礎(chǔ)。教材選擇了天平這個直觀教具，提出了“觀察天平圖、用式子表示天平兩邊物體質(zhì)量關(guān)系”的要求。在學(xué)生觀察、按要求寫式子，以及對寫出的式子進(jìn)行分析歸納的基礎(chǔ)上，認(rèn)識等式和方程。教學(xué)方程的意義，并非讓學(xué)生簡單地認(rèn)識方程的外在特征，即“含有未知數(shù)的等式”，而是要讓學(xué)生體會方程的本質(zhì)特征，即揭示事件中最主要的數(shù)量關(guān)系。必須引導(dǎo)學(xué)生借助日常生

2、活經(jīng)驗，利用具體的問題情境去探尋相應(yīng)的等量關(guān)系，從而構(gòu)建“方程”的概念，才能更好地理解方程的意義。【教學(xué)方法】自主探究、合作交流 、教師指導(dǎo)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1理解方程的概念，體會等式與方程之間的關(guān)系，會用方程描述簡單情境中的等量關(guān)系。2經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象成方程的過程，積累將等量關(guān)系數(shù)學(xué)化、符號化的活動經(jīng)驗，初步感受方程的建模思想?！窘虒W(xué)重點】列方程表示簡單的數(shù)量關(guān)系?！窘虒W(xué)難點】理解方程的意義，即等號兩邊的兩件事情是等價的?！窘虒W(xué)過程】一、認(rèn)識代數(shù)式與不等式1日歷問題出示本月的日歷圖，提問：仔細(xì)觀察相鄰兩行的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？根據(jù)學(xué)生的回答，揭示：上面一行數(shù)比下一行數(shù)少7。（或下一行數(shù)比上一行

3、數(shù)多7）引導(dǎo)：如果周三這天的日期用x表示，那么它上一行的這一天就可以怎樣表示？下一行的這一天呢？這3天的和怎么表示？課件呈現(xiàn)：x-7，x+7, 3x。小結(jié)：像這樣的式子，數(shù)學(xué)上稱為代數(shù)式。（板書：代數(shù)式）2三角形路線圖出示路線圖，提問：郵遞員送信，從郵局經(jīng)超市到學(xué)校的路程，你能用代數(shù)式表示嗎？根據(jù)學(xué)生的回答，課件呈現(xiàn)：x+4。引導(dǎo)：當(dāng)然，還有另一條路可走。比較這兩種走法，你會選擇哪一種，為什么？根據(jù)學(xué)生回答，課件呈現(xiàn)：x+4>6。啟發(fā)：這里的x是未知的，x+4>6就一定成立嗎？結(jié)合圖形，誰解釋一下。引導(dǎo)學(xué)生明確：三角形任意兩邊的和大于第三邊。進(jìn)一步要求：三角形兩邊的差與第三邊的關(guān)系

4、呢？也就是x-4<6。小結(jié)：像這樣的式子，數(shù)學(xué)上稱為不等式。（板書：不等式）二、認(rèn)識等式與方程1天平圖課件呈現(xiàn)動態(tài)天平，引導(dǎo)：這是一架天平。我在兩端的托盤里分別放上砝碼，你能用不等式表示天平左右兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系嗎？根據(jù)學(xué)生回答，課件呈現(xiàn)：40+20<100。進(jìn)一步提出要求：要使天平平衡，左右兩邊所放物體質(zhì)量應(yīng)該怎樣呢？我們可以把右盤中100克砝碼換成多少？（60克木塊）那么這時能用怎樣的式子來表示呢？學(xué)生回答后，課件呈現(xiàn)：40+20=60。再次提出要求：如果右盤中100克保持不變，我們可以把左盤中20克砝碼換成多少？（60克木塊）那么這時天平平衡了，你又能得到怎樣的式子？根據(jù)學(xué)生

5、回答，課件呈現(xiàn)：40+60=100。小結(jié)：像這樣左右兩邊相等的式子，數(shù)學(xué)上稱為等式。（板書：等式）2未知量引導(dǎo)：現(xiàn)在，如果我把木塊放下去，請猜測一下，天平有可能出現(xiàn)平衡的狀態(tài)嗎？如果平衡，你能得到怎樣的等式呢？根據(jù)學(xué)生的質(zhì)疑，啟發(fā)：我們發(fā)現(xiàn)木塊的質(zhì)量沒有標(biāo)出來，是未知的，如何表示呢？學(xué)生回答后，明確：用字母x表示未知數(shù)。課件呈現(xiàn)：20+x=100。介紹：人類能夠用字母表示未知數(shù)，并且讓未知數(shù)平等地參與運(yùn)算經(jīng)歷了漫長的過程。數(shù)學(xué)史料1 700多年前，我國數(shù)學(xué)家李冶在測圓海鏡中首次應(yīng)用了“天元術(shù)”，他用“天元”表示未知數(shù)。14世紀(jì)初，朱世杰在四元玉鑒中又創(chuàng)立了“四元術(shù)”，這是我國古代數(shù)學(xué)的一次飛躍

6、。進(jìn)一步啟發(fā)：天平除了可能平衡，還可能出現(xiàn)哪些情況呢？你又能得到怎樣的式子？根據(jù)學(xué)生回答，課件呈現(xiàn)：20+x>100與20+x<100。進(jìn)一步要求：我們繼續(xù)操作，這時天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系又怎么表示呢？學(xué)生回答后，課件呈現(xiàn)：2x=160。3分類引導(dǎo)分類：從日歷問題中，我們得到代數(shù)式；從路線圖和天平圖中，得到不等式；通過天平演示，也得到了等式。仔細(xì)觀察這9道式子的特征，你能嘗試著給它們分類嗎？學(xué)生討論后，分類探究，教師巡視指導(dǎo)。學(xué)生匯報分類情況。提問：分類可以幫助我們更清晰地認(rèn)識事物的特征。你這樣分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？根據(jù)學(xué)生回答，確定分類標(biāo)準(zhǔn)：按是否是等式來分類。（或是否含有未知數(shù)）

7、學(xué)生匯報分類情況，并操作演示。進(jìn)一步要求：在原有分類的基礎(chǔ)上，再選擇另一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行第二次分類。學(xué)生完善自己的分類。小結(jié)：通過第一次分類，我們得到是等式和不是等式兩類。在此基礎(chǔ)上，我們又進(jìn)行第二次分類，得到含有未知數(shù)和不含未知數(shù)的式子兩類。這樣通過兩次分類，就得出4組式子。我們分別研究一下它們的特征。根據(jù)學(xué)生回答，明確4組式子類型：含有未知數(shù)但不是等式；不含未知數(shù)也不是等式；不含未知數(shù)是等式；含有未知數(shù)是等式。4概念小結(jié)：像這一組含有未知數(shù)的等式，數(shù)學(xué)上稱為方程。（板書：方程概念）人類探索方程，歷史源遠(yuǎn)流長。數(shù)學(xué)史料2 最早的方程，記錄在古埃及的紙草卷中。最早的方程組則記錄在我國古代的九章算術(shù)中

8、。1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾最早用x、y、z等字母表示未知數(shù)，才形成了現(xiàn)在的方程。揭示課題。（板書：方程的意義）5判斷呈現(xiàn)“練一練”第1題8道式子。提問：我們初步了解方程的概念，你能判斷哪些式子是方程嗎？引導(dǎo)啟發(fā)：你覺得怎樣就能快速準(zhǔn)確地辨認(rèn)出方程呢？學(xué)生回答后，小結(jié)：我們?nèi)匀灰プ》匠痰膬蓷l基本特征：是不是等式，有沒有未知數(shù)。進(jìn)一步提問：這些式子中哪些是等式呢？它的特征又是什么？學(xué)生匯報。6關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生觀察8道式子，探索等式與方程的關(guān)系。學(xué)生在小組內(nèi)討論，再嘗試著用自己的方式表示。兩名學(xué)生匯報。小結(jié)：數(shù)學(xué)家是用集合圖來描述的，等式與方程之間是包含和包含于的關(guān)系。方程是一類特殊的等式。所以說

9、：“所有方程都是等式，但等式不一定是方程?！比?、鞏固概念，明確意義1寫方程學(xué)生寫方程，同桌間交流。2看圖列方程課件呈現(xiàn)：“練一練”第3題。啟發(fā)：要想深刻地認(rèn)識方程的特征，還需要在實際問題情境中具體應(yīng)用。生看圖列方程。小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)存在相等的數(shù)量關(guān)系時，就能用方程來描述。因此，方程的實質(zhì)是“等號左右兩邊所描述的兩件事情是等價的”。3用方程表示數(shù)量關(guān)系課件呈現(xiàn)：“練習(xí)一”第2題。引導(dǎo)：生活中有許多這樣的等量關(guān)系，怎樣用方程表示呢？學(xué)生說數(shù)量關(guān)系列方程。小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)理解了題中的等量關(guān)系，并根據(jù)它確定未知量和已知量后，就能列出方程解決問題。因此，方程的深層含義是“把未知量和已知量聯(lián)系起來的等

10、式模型”。四、總結(jié)拓展，感悟經(jīng)典1總結(jié)通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？小結(jié)：這節(jié)課，我們初步認(rèn)識了方程，了解了方程的意義，學(xué)會用方程描述簡單情境中的等量關(guān)系。同學(xué)們覺得方程有用嗎？方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型。2經(jīng)典介紹：最后，我們來共同分享九章算術(shù)·方程中的經(jīng)典名題。出示題目“五雀六燕”，借助圖形解釋。小結(jié)：一道題目，得到兩個等量關(guān)系，列出兩道方程。方程的內(nèi)容非常豐富，方程的應(yīng)用非常廣泛，方程能幫助我們準(zhǔn)確清晰地認(rèn)識、描述和把握現(xiàn)實世界。方程思想是永恒的好數(shù)學(xué)。 【板書設(shè)計】 認(rèn)識方程含有未知數(shù)的等式，稱為方程。 代數(shù)式 不等式 等 式 方 程“方程”教學(xué)反思九章算術(shù)第八章

11、為方程。北魏劉徽在其注釋中最早界定了方程的概念：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實。令每行為率。二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之。并列為行，故謂之方程?！睂嶋H上，這是通過算籌擺出的增廣矩陣來求解方程組。劉徽同時明確方程的價值：“以御錯糅正負(fù)?！边@一精辟論斷，隨時間沙淘，今朝愈發(fā)輝映。 “錯糅”，當(dāng)人們認(rèn)識、刻畫和把握錯綜復(fù)雜的現(xiàn)實世界時，首先要提煉數(shù)量間的相等關(guān)系，這樣才能從列方程的角度描述方程所反映的等量關(guān)系。正如東北師大史寧中教授表述方程的實質(zhì)：“表示等式左右兩邊的兩件事情等價?！边@與等量關(guān)系息息相關(guān)。列方程體現(xiàn)了建模思想，彰顯了方程思想方法的永恒魅力。因此，從紛雜中尋求等量關(guān)

12、系是構(gòu)建方程的關(guān)鍵所在?！罢?fù)”，實行對消和還原，是算術(shù)與代數(shù)兩者運(yùn)算上的根本區(qū)別。解方程時的移項，要涉及正負(fù)對消。把本來淹沒在方程中的未知量x暴露出來，就是還原了x的本來面目。這從解方程的角度指明方程是通過變形轉(zhuǎn)化求解未知數(shù)。正如華師大張奠宙教授給出方程的深層含義：“把未知量和已知量聯(lián)系起來尋求未知量的等式模型?！苯夥匠腆w現(xiàn)了化歸思想，突出了方程工具性特征。所以說，“以御錯糅正負(fù)”，它不僅外顯方程的功用，而且蘊(yùn)隱方程的內(nèi)涵。方程思想的核心在于建模和化歸。即依據(jù)等量關(guān)系列方程和依據(jù)等式性質(zhì)解方程，它分別體現(xiàn)著抽象和運(yùn)算的過程。標(biāo)準(zhǔn)中對方程教學(xué)提出明確要求：“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，

13、體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型?！睂W(xué)生在問題情境中，探索、研究，尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)量之間的相等關(guān)系，把日常語言描述抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)（數(shù)量關(guān)系式），再轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號（方程式）。因此，設(shè)置數(shù)學(xué)情境，經(jīng)歷方程建模過程，掌握建模思想，學(xué)會化歸方法，是設(shè)計方程教學(xué)必須遵循的準(zhǔn)則。方程（equation）是表示兩個數(shù)學(xué)式（如兩個數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算）之間相等關(guān)系的一種式子，通常在兩者之間有一等號“=”?！胺匠痰囊饬x”屬于概念教學(xué)?！昂形粗獢?shù)的等式叫做方程?！毙W(xué)教材采用“屬+種差”的方式定義。鄰近屬為“等式”，種差為“含有未知數(shù)”。這是形式層面的靜態(tài)結(jié)論，凸顯方程的外部特征。同

14、時定義附加了“像20+x=100，2x=160”這樣的限定。這就區(qū)別于函數(shù)，也避免“x=5是不是方程”的形式化爭論。經(jīng)歷方程模型生成過程，尋找相等關(guān)系并列方程表示，這是發(fā)現(xiàn)層面的動態(tài)過程。由方程的外在形式過渡到深層含義或本質(zhì)，是學(xué)生認(rèn)知概念的深化和躍升。方程的意義，蘇教版放在五年級下冊，人教版放在五年級上冊，時間安排稍有差異。但其知識建構(gòu)都是以“用字母表示數(shù)”為基礎(chǔ)，再進(jìn)行方程概念教學(xué)?！坝米帜副硎緮?shù)”的形式就是代數(shù)式，是由算術(shù)走向方程的先鋒。長期以來，它的應(yīng)有價值在小學(xué)階段沒有引起足夠重視，這從判斷是否是方程的習(xí)題中可見。學(xué)生認(rèn)識方程、等式、不等式，卻叫不出代數(shù)式。因此，本課的設(shè)計就從代數(shù)式

15、切入，聯(lián)絡(luò)知識點，層層漸進(jìn)。日歷圖中蘊(yùn)藏豐富的代數(shù)關(guān)系，這里只取相鄰行之間日期的和差代數(shù)表示，力求簡明。闡述不等式，本課選擇天平和三角形路線圖兩個模型。借助天平刻畫兩端托盤里的物體質(zhì)量關(guān)系，不平衡就可以用不等式表達(dá)。演示形象直觀，數(shù)量關(guān)系顯而易見。三角形路線圖，從幾何圖形的角度引出三角形三邊關(guān)系。即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。同樣存在不等關(guān)系。天平是等式與方程本質(zhì)特征的絕妙化身。天平平衡，意味著存在相等的數(shù)量關(guān)系，這與等式或方程反映兩件事情等價不謀而合。在一定程度上提醒我們，不能習(xí)慣性地把“等號”看成執(zhí)行運(yùn)算或賦值結(jié)果的表示，它是描述兩件事情等價的關(guān)系符號。含有“等號

16、”，是等式模型的標(biāo)志。引入未知量后，聯(lián)立已知量和未知量來尋求未知量的等式模型，就是方程。分類以比較為基礎(chǔ)，有助于人們清晰地認(rèn)識事物的特征。需要縝密、全面的視角看問題，注重觀察、分析、抽象和概括，關(guān)鍵是選好標(biāo)準(zhǔn)。本課選擇“是不是等式，有沒有未知數(shù)”作標(biāo)準(zhǔn)，對9道式子進(jìn)行分類和再分類操作，得出4組不同類型，再分組研究，最終引出方程，從而滲透數(shù)學(xué)分類思想。一般而論，把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，寓于習(xí)題中，不僅鞏固新知，還成為生長點，激發(fā)出新的認(rèn)識與想法。這種處理是一種有效的模式。呈現(xiàn)8道式子，逐一判斷出等式或方程，目的是強(qiáng)化理解兩者的特征，也揭示兩者的聯(lián)系。等式與方程是包含和包含于的關(guān)系，等式包含方程

17、，方程包含于等式。數(shù)學(xué)上常用集合圖表示。因此，“所有方程都是等式，但等式不一定是方程”結(jié)論成立。而學(xué)生對兩者關(guān)系“部分與整體”的理解或嘗試創(chuàng)作圖畫表示，都初步體現(xiàn)集合思想。兩則數(shù)學(xué)史料介紹，前一則涉及李冶測圓海鏡中“天元術(shù)”和朱世杰四元玉鑒中“四元術(shù)”，側(cè)重于我國古代數(shù)學(xué)家對未知量的描述；后一則提及古埃及紙草卷、中國九章算術(shù)與法國笛卡爾的成就，著眼于人類對方程漫長發(fā)展歷程的探究。引入數(shù)學(xué)史，旨在體現(xiàn)方程知識的傳承性，感受無數(shù)數(shù)學(xué)家的卓越貢獻(xiàn)?！拔迦噶唷睘榫耪滤阈g(shù)·方程中的經(jīng)典名題。它借助天平刻畫燕雀之間的質(zhì)量關(guān)系，明確數(shù)量間存在著相等或不等關(guān)系。等量關(guān)系存在，才能據(jù)此列方程。實際上

18、，它是由2道一元一次方程構(gòu)成的方程組。本例放在全課結(jié)尾，一是感知方程的充要條件，即尋找并確立等量關(guān)系；另一是感知古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，即重實用與重算法?！皩懛匠獭睓z驗學(xué)生的概念理解。要避免出現(xiàn)形如“5+7=x”的式子。該式用算術(shù)方法可求，它不是方程。方程中未知數(shù)要參與運(yùn)算，避免單獨(dú)放在等號一邊。四則運(yùn)算僅提供一種算法，方程則展示數(shù)學(xué)思想。這從概念應(yīng)用上可知?！翱磮D列方程”為揭示方程的本質(zhì)。4幅情境圖涉及生活中質(zhì)量、價錢與容積，前兩圖是例題變式練習(xí)，仍用天平圖表示?！坝梅匠瘫硎緮?shù)量關(guān)系”為說明方程的深層含義。涉及一般實際問題情境，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，更能突出方程的實際價值。這2題都要求學(xué)生嘗試抽象出數(shù)量關(guān)系，再建立方程。在經(jīng)歷中感受方程與實際問題的聯(lián)系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想的過程，實現(xiàn)從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡。本課遵循3大板塊設(shè)計：創(chuàng)設(shè)情境，經(jīng)歷探究分類操作，形成概念鞏固反饋，總結(jié)拓展。第1板塊的知識儲備