數(shù)值計(jì)算方法思考題

1、數(shù)值計(jì)算方法思考題第一章 預(yù)篇1什么是數(shù)值分析？它與數(shù)學(xué)科學(xué)和計(jì)算機(jī)的關(guān)系如何？2何謂算法？如何判斷數(shù)值算法的優(yōu)劣？3列出科學(xué)計(jì)算中誤差的三個(gè)來源，并說出截?cái)嗾`差與舍入誤差的區(qū)別。4什么是絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差？什么是近似數(shù)的有效數(shù)字？它與絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差有何關(guān)系？5什么是算法的穩(wěn)定性？如何判斷算法穩(wěn)定？為什么不穩(wěn)定算法不能使用？6判斷如下命題是否正確：（1）一個(gè)問題的病態(tài)性如何，與求解它的算法有關(guān)系。（2）無論問題是否病態(tài)，好的算法都會(huì)得到好的近似解。（3）解對(duì)數(shù)據(jù)的微小變化高度敏感是病態(tài)的。（4）高精度運(yùn)算可以改善問題的病態(tài)性。（5）用一個(gè)穩(wěn)定的算法計(jì)算良態(tài)問題一定會(huì)得到好的近似值。（6）用

2、一個(gè)收斂的迭代法計(jì)算良態(tài)問題一定會(huì)得到好的近似值。（7）兩個(gè)相近數(shù)相減必然會(huì)使有效數(shù)字損失。（8）計(jì)算機(jī)上將1000個(gè)數(shù)量級(jí)不同的數(shù)相加，不管次序如何結(jié)果都是一樣的。7考慮二次代數(shù)方程的求解問題ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的.與之等價(jià)地有.對(duì)于a = 1, b = -100 000 000 , c = 1應(yīng)當(dāng)如何選擇算法？8指數(shù)函數(shù)有著名的級(jí)數(shù)展開如果對(duì)x < 0用上述的級(jí)數(shù)近似計(jì)算指數(shù)函數(shù)的值，這樣的算法結(jié)果是否會(huì)好？為什么？9考慮數(shù)列xi, i = 1, n, 它的統(tǒng)計(jì)平均值定義為它的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)上它等價(jià)于作為標(biāo)準(zhǔn)差的兩種算法，你如何評(píng)價(jià)它們的得與失？第二章 非線

3、性方程求根1判斷如下命題是否正確：(a) 非線性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收斂階高于割線法；(c) 任何方法的收斂階都不可能高于Newton法；(d) Newton法總是比割線法更節(jié)省計(jì)算時(shí)間；(e) 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難于計(jì)算，則應(yīng)當(dāng)考慮選擇割線法；(f) Newton法是有可能不收斂；(g) 考慮簡單迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。如果| g¢(x*) | <1，則對(duì)任意的初始值，上述迭代都收斂。2什么叫做一個(gè)迭代法是二階收斂的？Newton法收斂時(shí)，它的收斂階是否總是二階的？3求解單變量非線性方程的單根，下面的3種方法，它們的收

4、斂階由高到低次序如何？(a) 二分法(b) Newton方法(c) 割線方法4求解單變量非線性方程的解，Newton法和割線方法，它們每步迭代分別需要計(jì)算幾次函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值？ 5求解某個(gè)單變量非線性方程，如果計(jì)算函數(shù)值和計(jì)算導(dǎo)數(shù)值的代價(jià)相當(dāng)，Newton法和割線方法它的優(yōu)劣應(yīng)如何評(píng)價(jià)？ 第三章 解線性方程組的直接法1用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元？2高斯消去法與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線性方程組Ax = b有何不同？A要滿足什么條件？3喬列斯基分解與LU分解相比，有什么優(yōu)點(diǎn)？4哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計(jì)算穩(wěn)定？5什么樣的線性方程組可用追趕法求解并

5、能保證計(jì)算穩(wěn)定？6何謂向量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。7何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A = (ai j )的三種范數(shù)| A|1，| A|2，| A|，| A|1與| A|2哪個(gè)更容易計(jì)算？為什么？8什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程組是病態(tài)的？9滿足下面哪個(gè)條件可判定矩陣接近奇異？（1）矩陣行列式的值很小。（2）矩陣的范數(shù)小。（3）矩陣的范數(shù)大。（4）矩陣的條件數(shù)小。（5）矩陣的元素絕對(duì)值小。10判斷下列命題是否正確：（1）只要矩陣A非奇異，則用順序消去法或直接LU分解可求得線性方程組Ax = b的解。（2）對(duì)稱正定的線性方程組總是良態(tài)的。（3）一個(gè)單位下三角矩陣的逆仍為單位

6、下三角矩陣。（4）如果A非奇異，則Ax = b的解的個(gè)數(shù)是由右端向量b的決定的。（5）如果三對(duì)角矩陣的主對(duì)角元素上有零元素，則矩陣必奇異。（6）范數(shù)為零的矩陣一定是零矩陣。（7）奇異矩陣的范數(shù)一定是零。（8）如果矩陣對(duì)稱，則| A|1 = | A| 。（9）如果線性方程組是良態(tài)的，則高斯消去法可以不選主元。（10）在求解非奇異性線性方程組時(shí)，即使系數(shù)矩陣病態(tài)，用列主元消去法產(chǎn)生的誤差也很小。（11）| A |1 = | AT | 。（12）若A是n ´ n的非奇異矩陣，則。（13）一個(gè)奇異的矩陣不可能有LU分解；（14）一個(gè)非奇異的對(duì)稱矩陣，如果不是正定的則不能有Cholesky分解

7、。11假設(shè)矩陣A有cond(A) = 1，從而A是好條件的。問下面的哪些矩陣條件數(shù)也一定是1？（a）cA，其中c是任意的非零常數(shù)； （d）QA，其中Q是任意的正交矩陣；（b）DA，其中D是非奇異的對(duì)角矩陣； （e）A的逆矩陣；（c）BA，其中B是任意的非奇異矩陣； （f）A的轉(zhuǎn)置矩陣。第四章 解線性方程組的迭代法1寫出求解線性方程組Ax = b的迭代法的一般形式。并給出它收斂的充分必要條件。2給出迭代法收斂的充分條件、誤差估計(jì)及其收斂速度。3寫出解線性方程組Ax = b的雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法的計(jì)算公式，它們的基本區(qū)別是什么？4何謂矩陣A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)？何謂A不可約？5將雅可比迭代、高

8、斯-塞德爾迭代和具有最優(yōu)松弛參數(shù)的SOR迭代，按收斂快慢排列。6判斷下列命題是否正確。（1）雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代同時(shí)收斂且后者比前者收斂快。（2）高斯-塞德爾迭代是SOR迭代的特殊情形。（3）A對(duì)稱正定則SOR迭代一定收斂。（4）A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)，則解線性方程組Ax = b的雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代均收斂。（5）A對(duì)稱正定則雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代都收斂。（6）SOR迭代法收斂，則松弛參數(shù)0< w < 2。點(diǎn)。第五章 矩陣特征值和特正向量的求解1判斷如下命題是否正確：(a) 對(duì)應(yīng)于給定特征值的特征向量是唯一的；(b) 每個(gè)n階的方陣一定有n個(gè)線性無關(guān)

9、的特征向量；(c) 實(shí)矩陣的特征值一定是實(shí)的；(d) 一個(gè)n階方陣奇異的充分必要條件是：0是該矩陣的特征值；(e) 任意的n階的方陣，一定與某個(gè)對(duì)角矩陣相似；(f) 如果兩個(gè)n階方陣的特征值相同，這兩個(gè)矩陣一定相似；(g) 一個(gè)n階方陣的所有特征值都為0，這個(gè)矩陣一定是零矩陣；2下面各類的任意n階矩陣，哪些矩陣的特征值一定可以用有限的代數(shù)運(yùn)算精確求解？(a)實(shí)對(duì)稱矩陣； (d)上三角矩陣；(b)對(duì)角矩陣； (e)上Hessenberg矩陣；(c)三對(duì)角矩陣； (f)沒有重特征值的實(shí)矩陣。3對(duì)非奇異的矩陣，將下面各算法的復(fù)雜度由低到高排列出來：(a)計(jì)算矩陣的所有特征值和特征向量；(b)用列主元

10、Gauss消去法計(jì)算矩陣的LU分解；(c)計(jì)算矩陣的逆；(d)回帶求解系數(shù)矩陣為上三角的線性方程組。4求解特征值問題的條件數(shù)與求解線性方程組問題的條件數(shù)是否相同，兩者分別是什么？實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值問題總是良態(tài)的嗎？第六章 函數(shù)插值1什么是拉格朗日插值基函數(shù)？它們是如何構(gòu)造的？有何重要性質(zhì)？2什么是牛頓基函數(shù)？它與單項(xiàng)式基1, x, , xn有何不同？3什么是函數(shù)的n價(jià)均差？它有何重要性質(zhì)？4寫出n + 1個(gè)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式與牛頓均差插值多項(xiàng)式。它們有何異同？5用上題給出的三種不同基底構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，試按工作量由低到高給出排序。6給出插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)表達(dá)式。如何用它估計(jì)

11、截?cái)嗾`差？7埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別是什么？什么是泰勒多項(xiàng)式？它是什么條件下的插值多項(xiàng)式？8為什么高次多項(xiàng)式插值不能令人滿意？分段低次插值與單個(gè)高次多項(xiàng)式插值相比有何優(yōu)點(diǎn)？9三次樣條插值三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個(gè)更優(yōu)越？請(qǐng)說明理由。10確定n + 1個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù)要多少個(gè)參數(shù)？為確定這些參數(shù)，需加上什么條件？11判斷下列命題是否正確？（1）對(duì)給定的數(shù)據(jù)作插值，插值函數(shù)個(gè)數(shù)可以任意多。（2）如果給定點(diǎn)集的多項(xiàng)式插值是唯一的，則其多項(xiàng)式表達(dá)式也是唯一的。（3）li (x) (i= 0, 1, n )是關(guān)于節(jié)點(diǎn)xi ( i =0, 1, , n)的拉格朗日插值基函數(shù)，則對(duì)任

12、何次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式P (x)都有。（4）當(dāng)f (x)為連續(xù)函數(shù)，節(jié)點(diǎn)xi (i= 0, 1, n )為等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln (x)，則n越大Ln(x)越接近f (x).（5）同上題，若構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)Sn (x)，則n越大得到的三次樣條函數(shù)Sn (x)越接近f (x).（6）高次拉格朗日插值是很常用的。（7）函數(shù)f (x)的牛頓插值多項(xiàng)式Pn (x)，如果f (x)的各階導(dǎo)數(shù)均存在，則當(dāng)xi ®x0 (i= 1, 2, n ) 時(shí)，Pn (x)就是f (x)在x0點(diǎn)的泰勒多項(xiàng)式。12為更好地保持被逼近函數(shù)的凸性，你選擇下述哪種方法：（a）Lagrange插值多

13、項(xiàng)式；（b）3次樣條插值函數(shù)；（c）3次Hermite插值函數(shù)。13數(shù)據(jù)量特別大時(shí)，你選擇下述哪種方法：（a）Lagrange插值多項(xiàng)式；（b）3次Hermite插值函數(shù)；（c）3次樣條插值函數(shù)；（d）最小二乘擬合。第七章 函數(shù)逼近1f , g ÎC a , b，它們的內(nèi)積是什么？如何判斷函數(shù)族j 0, j 1, , j nÎC a , b在a ,b上線性無關(guān)？2什么是函數(shù)f ÎC a , b在區(qū)a , b上的n 次最佳一致逼近多項(xiàng)式？3什么是f 在a , b 上的n次最佳平方逼近多項(xiàng)式？什么是數(shù)據(jù)的最小二乘曲線擬合？ 4什么是 a , b 上帶權(quán)r (x)的正交

14、多項(xiàng)式？什么是 -1, 1 上的勒讓德多項(xiàng)式？它有什么重要性質(zhì)？5什么是切比雪夫多項(xiàng)式？它有什么重要性質(zhì)？6用切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)做插值得到的插值多項(xiàng)式與拉格朗日插值有何不同？7什么是最小二乘擬合的法方程？用多項(xiàng)式做擬合曲線時(shí)，當(dāng)次數(shù)n較大時(shí)為什么不直接求解法方程？8計(jì)算有理分式Rmn (x)為什么要化為連分式？9哪種類型函數(shù)用三角插值比用多項(xiàng)式插值或分段多項(xiàng)式插值更合適？12判斷下列命題是否正確？（1）任何f (x) ÎC a , b都能找到n次多項(xiàng)式Pn (x) Î Hn，使| f (x) - Pn (x) | £ e ( e 為任給的誤差限)。（2）是f (x

15、)在 a , b上的最佳一致逼近多項(xiàng)式，則對(duì)成立。（3）f (x) ÎC a , b在a , b上的最佳平方逼近多項(xiàng)式Pn (x) Î Hn則。（4）是首項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式，Qn (x) Î Hn是任一首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則。（5）是-1 , 1上首項(xiàng)系數(shù)為1的切比雪夫多項(xiàng)式。Qn (x) Î Hn是任一首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則（7）當(dāng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)用最小二乘擬合比用插值好。第八章 數(shù)值積分1給出計(jì)算積分的梯形公式及中矩形公式，說明它們的幾何意義。2什么是求積公式的代數(shù)精確度？梯形公式及中矩形公式的代數(shù)精確度是多少？3對(duì)給定求積公式的節(jié)點(diǎn)，給出兩種

16、計(jì)算求積系數(shù)的方法。4什么是牛頓-柯特斯求積？它的求積節(jié)點(diǎn)如何分布？它的代數(shù)精確度是多少？5什么是辛普森求積公式？它的余項(xiàng)是什么？它的代數(shù)精確度是多少？6什么是復(fù)合求積法？給出復(fù)合梯形公式及其余項(xiàng)表達(dá)式。7給出復(fù)合辛普森公式及其余項(xiàng)表達(dá)式。如何估計(jì)它的截?cái)嗾`差？8什么是龍貝格求積？它有什么優(yōu)點(diǎn)？9什么是高斯型求積公式？它的求積節(jié)點(diǎn)是如何確定的？它的代數(shù)精確度是多少？為何稱它是具有最高代數(shù)精確度的求積公式？10牛頓-柯特斯求積和高斯求積的節(jié)點(diǎn)分布有什么不同？對(duì)同樣數(shù)目的節(jié)點(diǎn)，兩種求積方法哪個(gè)更精確？為什么？11描述自動(dòng)求積的一般步驟。怎樣得到所需的誤差估計(jì)？12判斷如下命題是否正確：（1）如果被

17、積函數(shù)在區(qū)間a , b 上連續(xù)，則它的黎曼（Riemann）積分一定存在。（2）數(shù)值求積公式計(jì)算總是穩(wěn)定的。（3）代數(shù)精確度是衡量算法穩(wěn)定性的一個(gè)重要指標(biāo)。（4）n + 1個(gè)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少是n次，最多可達(dá)到2n + 1次。（5）高斯求積公式只能計(jì)算區(qū)間-1, 1上的積分。（6）求積公式的階數(shù)與所依據(jù)的插值多項(xiàng)式的次數(shù)一樣。（7）梯形公式與兩點(diǎn)高斯公式精度一樣。（8）高斯求積公式系數(shù)都是正數(shù)，故計(jì)算總是穩(wěn)定的。（9）由于龍貝格求積節(jié)點(diǎn)與牛頓-柯特斯求積節(jié)點(diǎn)相同，因此它們的精度相同。（10）階數(shù)不同的高斯求積公式?jīng)]有公共節(jié)點(diǎn)。13用n個(gè)點(diǎn)的Newton-Cotes方法計(jì)算函數(shù)區(qū)間-1, 1上的積分，點(diǎn)數(shù)n增加時(shí)，計(jì)算的精度是否會(huì)提高？第九章 常微分方程數(shù)值解1判斷