1995考研數(shù)一真題及解析

1、1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1) _.(2) _.(3) 設(shè),則_.(4) 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑_.(5) 設(shè)三階方陣、滿足關(guān)系式：,且,則_.二、選擇題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1) 設(shè)有直線及平面,則直線 ( )(A) 平行于 (B) 在上 (C) 垂直于 (D) 與斜交 (2) 設(shè)在上,則、或的大小順序是( ) (A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)可導(dǎo),則是在處可導(dǎo)的 ( ) (A) 充分必要條件 (B) 充分條件但非必要條件 (C) 必要條件但非充分條件 (D) 既非充分條件又非必要條件 (

2、4) 設(shè),則級(jí)數(shù) ( )(A) 與都收斂 (B) 與都發(fā)散 (C) 收斂而發(fā)散 (D) 發(fā)散而收斂 (5) 設(shè),則必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分.)(1) 設(shè),其中、都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,求.(2) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),并設(shè),求 .四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分.)(1) 計(jì)算曲面積分,其中為錐面在柱體內(nèi)的部分.(2) 將函數(shù)展開成周期為4的余弦級(jí)數(shù).五、(本題滿分7分)設(shè)曲線位于平面的第一象限內(nèi),上任一點(diǎn)處的切線與軸總相交,交點(diǎn)記為.已知,且過點(diǎn),求的方程.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),曲線積分

3、與路徑無關(guān),并且對(duì)任意恒有,求.七、(本題滿分8分)假設(shè)函數(shù)和在上存在二階倒數(shù),并且,試證：(1) 在開區(qū)間內(nèi)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使.八、(本題滿分7分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為,對(duì)應(yīng)于的特征向量為,求.九、(本題滿分6分)設(shè)是階矩陣,滿足(是階單位陣,是的轉(zhuǎn)置矩陣),求.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.)(1) 設(shè)表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則的數(shù)學(xué)期望_.(2) 設(shè)和為兩個(gè)隨機(jī)變量,且, ,則_.十一、(本題滿分6分)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度.1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題

4、(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】這是型未定式求極限,令,則當(dāng)時(shí),所以,故 .(2)【答案】【解析】 .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式：.(3)【答案】【解析】利用向量運(yùn)算律有 (其中).(4)【答案】【解析】令,則當(dāng)時(shí),有而當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)收斂,即時(shí),此冪級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)時(shí),即時(shí),此冪級(jí)數(shù)發(fā)散,因此收斂半徑為.(5)【答案】【解析】在已知等式兩邊右乘以,得,即.因?yàn)?,所以=.二、選擇題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(C)【解析】這是討論直線的方向向量與平面的法向量的相互關(guān)系問題.直線的方向向量,平面的法向量,.應(yīng)選(C).(2)【答

5、案】(B) 【解析】由可知在區(qū)間上為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),故由微分中值定理,.所以,故應(yīng)選擇(B).(3)【答案】(A) 【解析】由于利用觀察法和排除法都很難對(duì)本題作出選擇,必須分別驗(yàn)證充分條件和必要條件.充分性:因?yàn)?所以,由此可得 在處可導(dǎo).必要性:設(shè)在處可導(dǎo),則在處可導(dǎo),由可導(dǎo)的充要條件知 . 根據(jù)重要極限,可得 , 結(jié)合,我們有,故.應(yīng)選(A).(4)【答案】(C)【解析】這是討論與斂散性的問題.是交錯(cuò)級(jí)數(shù),顯然單調(diào)下降趨于零,由萊布尼茲判別法知,該級(jí)數(shù)收斂.正項(xiàng)級(jí)數(shù)中,.根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法以及發(fā)散,發(fā)散.因此,應(yīng)選(C).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法：設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則1

6、 當(dāng)時(shí),和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；2 當(dāng)時(shí),若收斂,則收斂；若發(fā)散,則發(fā)散；3 當(dāng)時(shí),若收斂,則收斂；若發(fā)散,則發(fā)散.(5)【答案】(C)【解析】是交換單位矩陣的第一、二行所得初等矩陣,是將單位矩陣的第一行加到第三行所得初等矩陣；而是由先將第一行加到第三行,然后再交換第一、二行兩次初等交換得到的,因此 ,故應(yīng)選(C).三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分.)(1)【解析】這實(shí)質(zhì)上已經(jīng)變成了由方程式確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)與帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)相結(jié)合的問題.先由方程式,其中確定,并求.將方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得 ,解得 . 現(xiàn)再將對(duì)求導(dǎo),其中,可得 .將式代入得 .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

7、：如果函數(shù)都在點(diǎn)具有對(duì)及對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有；.(2)【解析】方法一：用重積分的方法.將累次積分表成二重積分,其中如右圖所示.交換積分次序.由于定積分與積分變量無關(guān),改寫成. .方法二：用分部積分法.注意,將累次積分寫成四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分.)(1)【解析】將曲面積分化為二重積分.首先確定被積函數(shù) ,對(duì)錐面而言, .其次確定積分區(qū)域即在平面的投影區(qū)域(見右圖),按題意：,即.作極坐標(biāo)變換,則,因此 .(2)【解析】這就是將作偶延拓后再作周期為4的周期延拓.于是得的傅氏系數(shù)：.由于(延拓后)在分段單調(diào)、連續(xù)且.于是有展

8、開式.五、(本題滿分7分)【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則處的切線方程為 .令,得,切線與軸的交點(diǎn)為.由,有.化簡(jiǎn)后得伯努利方程 .令,方程化為一階線性方程 .解得 ,即 ,亦即 .又由,得,的方程為 .六、(本題滿分8分)【解析】在平面上與路徑無關(guān)(其中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)), ,即 .對(duì)積分得 ,其中待定.代入另一等式得對(duì), . 下面由此等式求.方法一：易求得原函數(shù)于是由式得 .即 ,亦即 .求導(dǎo)得 ,即 .因此 .方法二：取特殊的積分路徑：對(duì)式左端與右端積分分別取積分路徑如下圖所示.于是得 .即 ,亦即 .其余與方法一相同.七、(本題滿分8分)【解析】(1)反證法.假設(shè),使.則由羅爾定理,與使；從而由羅

9、爾定理, ,.這與矛盾.(2)證明本題的關(guān)鍵問題是：“對(duì)誰(shuí)使用羅爾定理？”換言之,“誰(shuí)的導(dǎo)數(shù)等于零？”這應(yīng)該從所要證明的結(jié)果來考察.由證明的結(jié)果可以看出本題即證在存在零點(diǎn).方法一：注意到 ,考察的原函數(shù),令,在可導(dǎo),.由羅爾定理,使.即有,亦即 .方法二：若不能像前面那樣觀察到的原函數(shù),我們也可以用積分來討論這個(gè)問題：.(取).令,其余與方法一相同.八、(本題滿分7分)【解析】設(shè)對(duì)應(yīng)于的特征向量為,因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱矩陣,且實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交,故,即.解之得 .于是有 ,所以 .九、(本題滿分6分)【解析】方法一：根據(jù)有,移項(xiàng)得 .因?yàn)?故.所以.方法二：因?yàn)?所以 ,即 .因?yàn)?故.所以.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.)(1)【解析】由題設(shè),因?yàn)槭仟?dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),所以服從的二項(xiàng)分布.由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算公式,有,根據(jù)方差性質(zhì)有 .(2)【解析】令,則.由概率的廣義加法公式 ,有十一、(本題滿分6分